Partielle Integration

Grundidee und Grundformel

Die partielle Integration (auch Produktintegration) ist ein Verfahren der Integralrechnung zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen. Sie ist das Gegenstück zur Produktregel der Differentialrechnung: Ein Produkt wird so umgeformt, dass die Ableitung von einem Faktor auf den anderen übertragen wird.

Sind f,g:[a,b]→ℝ stetig differenzierbar, gilt ∫ₐᵇ f′(x)·g(x) dx = [f(x)·g(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ f(x)·g′(x) dx = f(b)·g(b) − f(a)·g(a) − ∫ₐᵇ f(x)·g′(x) dx.

Sinnvoll ist die Regel, wenn eine Stammfunktion von f′ leicht bekannt ist und das neue Integral ∫ f·g′ einfacher auszuwerten ist. Sie folgt aus der Produktregel (f·g)′=f′·g+f·g′, dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und der Linearität des Integrals.

Für ∫₀¹ x·eˣ dx wählt man f′(x)=eˣ und g(x)=x. Dann sind f(x)=eˣ und g′(x)=1. Daher ist ∫₀¹ x·eˣ dx=[x·eˣ]₀¹−∫₀¹eˣ dx=1.

Unbestimmte Integrale

Bei unbestimmten Integralen werden die Grenzen weggelassen. Die Regel lautet dann ∫ f′(x)·g(x) dx=f(x)·g(x)−∫ f(x)·g′(x) dx.

Das Ergebnis einer Stammfunktionsbestimmung muss die Integrationskonstante C enthalten. Beim Beispiel ∫1·(1/x) dx entsteht durch partielle Integration 1+∫1/x dx. Dies ist als Gleichung unbestimmter Integrale richtig, weil beide Seiten Stammfunktionen von 1/x bezeichnen; die Konstante darf also nicht übersehen werden. Bei einem bestimmten Integral mit 0<a<b wäre [x·(1/x)]ₐᵇ=0.

Auch ein einzelner Term kann durch Einfügen des Faktors 1 behandelt werden. Für den natürlichen Logarithmus gilt ∫ln(x) dx=∫1·ln(x) dx=x·ln(x)−∫x·(1/x) dx=x·ln(x)−x+C.

Kehrt nach mehreren Schritten das Ausgangsintegral wieder, kann man es algebraisch nach dem Integral auflösen. So folgt aus ∫sin(x)cos(x) dx=−cos²(x)−∫sin(x)cos(x) dx: ∫sin(x)cos(x) dx=−½cos²(x)+C. Gleichwertig ist ½sin²(x)+C; beide Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante.

Bei einem Produkt aus Polynom und Exponentialfunktion kann eˣ als f′ gewählt werden, weil seine Stammfunktion wieder eˣ ist. Beispielsweise ergibt wiederholte Anwendung ∫eˣ(2−x²) dx=eˣ(2x−x²)+C.

DI-Methode und wiederholte Anwendung

Die DI-Methode ist eine tabellarische Form der wiederholten partiellen Integration für unbestimmte Integrale. In die D-Spalte kommen die aufeinanderfolgenden Ableitungen von f, in die I-Spalte die aufeinanderfolgenden Stammfunktionen von g. Die diagonalen Produkte werden mit wechselnden Vorzeichen +, −, +, … addiert.

Die Tabelle endet, wenn erstens eine Ableitung Null ist, zweitens das verbleibende Produkt integrierbar ist oder drittens sich eine Zeile wiederholt. Bei ∫cos(x)·x² dx wird f=x² und g=cos(x) gewählt; nach der Ableitung 0 ergibt sich ∫cos(x)·x² dx=sin(x)(x²−2)+2xcos(x)+C.

Wiederholt sich ein Ausdruck, entsteht wie beim Produkt von Sinus und Kosinus eine Gleichung für das Ausgangsintegral. Für ∫e⁻ˣcos(x) dx folgt ∫e⁻ˣcos(x) dx=(e⁻ˣ/2)·(sin(x)−cos(x)).

Ist die (n+1)-te Ableitung von f Null, also f ein Polynom vom Grad n, lässt sich die wiederholte Methode für bestimmte Integrale schreiben als ∫ₐᵇf(x)g(x) dx=∑ₖ₌₀ⁿ(−1)ᵏ[f⁽ᵏ⁾(x)· ⁽ᵏ⁺¹⁾g(x)]ₐᵇ. Dabei bezeichnet ⁽ᵏ⁺¹⁾g eine (k+1)-te Stammfunktion von g. Daraus folgt als Beispiel ∫₀∞xⁿe⁻ᵃˣ dx=n!/aⁿ⁺¹.

Uneigentliche Integrale

Die Regel gilt unter Voraussetzungen auch bei uneigentlichen Integralen, also wenn eine Integrationsgrenze kritisch oder unendlich ist. Für −∞<a<b≤∞ seien f und g auf [a,b[ stetig differenzierbar, der Grenzwert limₓ↗ᵇ f(x)g(x) existiere und ∫ₐᵇf(x)g′(x) dx konvergiere. Dann konvergiert auch ∫ₐᵇf′(x)g(x) dx und es gilt ∫ₐᵇf′(x)g(x) dx=limₓ↗ᵇf(x)g(x)−f(a)g(a)−∫ₐᵇf(x)g′(x) dx. Eine entsprechende Aussage gilt bei einer kritischen linken Grenze.

Praktisch kann man zunächst auf dem kompakten Intervall [a,β] partiell integrieren und anschließend den Grenzübergang β→b durchführen. Für limₓ→∞x·e⁻ˣ=0 erhält man mit f′(x)=e⁻ˣ und g(x)=x: ∫₀∞x·e⁻ˣ dx=∫₀∞e⁻ˣ dx=1.

Verallgemeinerungen in mehreren Dimensionen und für Stieltjesintegrale

In mehreren Dimensionen ist die partielle Integration ein Spezialfall des Gaußschen Integralsatzes. Sei Ω⊂ℝⁿ kompakt mit abschnittsweise glattem Rand ∂Ω, der durch das äußere Normalen-Einheitsfeld n⃗ orientiert ist. Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld v⃗ und ein stetig differenzierbares Skalarfeld φ gilt mit dS⃗=n⃗ dS: ∫Ω φ·div v⃗ dV=∮∂Ωφ·v⃗·dS⃗−∫Ωv⃗·grad φ dV. Dabei ist div die Divergenz eines Vektorfelds und grad der Gradient eines Skalarfelds. Der Randterm ist nun ein Integral über den Rand von Ω.

Für Stieltjesintegrale gilt bei Funktionen f und g von finiter Variation: f(t)g(t)−f(0)g(0)=∫₀ᵗf(s) dg(s)+∫₀ᵗg(s−) df(s). Alternativ lautet die Formel f(t)g(t)−f(0)g(0)=∫₀ᵗf(s−) dg(s)+∫₀ᵗg(s−) df(s)+∑₀<s≤t Δf(s)g(s).

Schwache Ableitung

Partielle Integration ermöglicht in der Theorie partieller Differentialgleichungen eine verallgemeinerte Ableitung. Für eine klassisch differenzierbare Funktion f auf I=]a,b[ und jede unendlich oft differenzierbare Testfunktion φ∈C_c^∞(I), deren Träger kompakt in I liegt, gilt ∫ᴵf′(t)φ(t) dt=−∫ᴵf(t)φ′(t) dt. Der Randterm verschwindet, weil φ(a)=0 und φ(b)=0.

Ist f nur eine L²-Funktion und nicht differenzierbar, kann dennoch eine Funktion g∈L²(I) existieren, für die für jede Testfunktion φ gilt: ∫ᴵg(t)φ(t) dt=−∫ᴵf(t)φ′(t) dt. Dann heißt g schwache Ableitung von f. Die schwach differenzierbaren L²-Funktionen bilden einen Vektorraum und gehören zur Klasse der Sobolev-Räume. Gibt es kein solches g∈L²(I), kann die Bedingung stets mit einer Distribution g erfüllt werden; diese heißt dann Distributionenableitung von f.