Exponentialfunktion

Kernidee und Definition

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form x ↦ a^x mit einer reellen Basis a > 0 und a ≠ 1. Meist sind für den Exponenten x alle reellen Zahlen zugelassen. Anders als bei Potenzfunktionen ist nicht die Basis die Variable, sondern der Exponent. Exponentialfunktionen sind wichtig, weil sie viele Wachstums- und Zerfallsprozesse beschreiben.

Die wichtigste Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion x ↦ e^x, auch exp(x). Ihre Basis ist die eulersche Zahl e = 2,718 281 828 459… Jede Exponentialfunktion mit positiver Basis lässt sich mit dem natürlichen Logarithmus auf die e-Funktion zurückführen: a^x = e^(x · ln a). Deshalb steht die e-Funktion im Mittelpunkt.

Definitionen und Eigenschaften

Die e-Funktion kann auf verschiedene Arten definiert werden. Eine Definition nutzt die Exponentialreihe exp(x) = Σ(n=0 bis ∞) x^n / n!, wobei n! die Fakultät von n ist. Eine andere Definition ist der Grenzwert exp(x) = lim(n→∞) (1 + x/n)^n.

Die reelle Exponentialfunktion exp: R → R_{>0} ist positiv, stetig und surjektiv auf die positiven reellen Zahlen. Sie ist streng monoton wachsend und deshalb bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus ln: R_{>0} → R. Darum wird die Exponentialfunktion auch Antilogarithmus genannt.

Die Potenzreihe konvergiert für alle reellen und komplexen x absolut; ihr Konvergenzradius ist unendlich. Als Potenzreihe ist die Exponentialfunktion in jedem reellen und komplexen Punkt stetig und analytisch.

Rechenregeln und Basiswechsel

Die wichtigste Rechenregel ist die Funktionalgleichung exp(x + y) = exp(x) · exp(y). Mit ihr kann man Potenzen mit reellen oder komplexen Exponenten definieren: a^x := exp(x · ln a) = e^(x · ln a) für a > 0.

Für einen Basiswechsel gilt allgemein a^x = b^(x · log_b(a)). Damit lassen sich Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen ineinander umformen.

Für positive reelle a und b sowie reelle x und y gelten die Potenzgesetze: a^0 = 1, a^1 = a, a^(x+y) = a^x · a^y, a^(x-y) = a^x / a^y, a^(x·y) = (a^x)^y, a^(-x) = 1/a^x = (1/a)^x und a^x · b^x = (a·b)^x. Außerdem kann man Brüche und Wurzeln schreiben als 1/a = a^(-1) und q√(a^p) = a^(p/q).

Ableitung, Integral und Differentialgleichung

Die besondere Bedeutung der e-Funktion liegt darin, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist: d/dx e^x = e^x. Wenn zusätzlich f(0) = 1 gilt, ist sie die einzige Funktion f: R → R mit dieser Eigenschaft. Man kann e^x daher auch als Lösung der Differentialgleichung f'(x) = f(x) mit der Anfangsbedingung f(0) = 1 definieren.

Für allgemeine Exponentialfunktionen folgt aus a^x = e^(x · ln a) und der Kettenregel: d/dx a^(b·x) = b ln a · a^(b·x). Der natürliche Logarithmus ln kann in dieser Formel nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden.

Die Stammfunktion der e-Funktion ist ∫ e^x dx = e^x + C. Für a > 0 und b ≠ 0 gilt ∫ a^(b·x) dx = a^(b·x)/(b ln a) + C.

Die Differentialgleichung y' = αy beschreibt eine Größe y, deren Änderungsrate proportional zu ihrem aktuellen Wert ist. Ihre Lösungen haben die Form y = f(x) = c e^(αx). Für α = 1 ergibt sich y = c e^x.

Komplexe Zahlen und Verallgemeinerungen

Für komplexe Zahlen z wird die Exponentialfunktion ebenfalls durch die Reihe exp(z) = Σ(n=0 bis ∞) z^n / n! definiert; sie konvergiert für alle z ∈ C absolut. Wichtige Eigenschaften bleiben erhalten: exp(z+w) = exp(z) · exp(w), exp(0) = 1, exp(z) ≠ 0 und exp'(z) = exp(z).

Die komplexe Exponentialfunktion ist surjektiv, aber nicht injektiv, von (C,+,0) auf (C \ {0},·,1). Sie ist holomorph und damit eine ganze Funktion; in ∞ hat sie eine wesentliche Singularität. Außerdem ist sie periodisch mit der Periode 2πi: exp(z + 2πki) = exp(z) für k ∈ Z.

Über die komplexe Exponentialfunktion werden trigonometrische Funktionen definiert: sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i), cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2. Das ist äquivalent zur eulerschen Formel e^(iz) = cos(z) + i sin(z). Ebenso lassen sich hyperbolische Funktionen definieren: sinh(z) = (e^z - e^(-z))/2, cosh(z) = (e^z + e^(-z))/2.

Die Exponentialfunktion lässt sich auch auf Banachalgebren, etwa Matrix-Algebren, verallgemeinern. Dort wird sie ebenfalls durch die Reihe exp(x) = Σ x^n/n! definiert. Die Regel exp(x+y) = exp(x)·exp(y) gilt dort aber nur, wenn x und y kommutieren, also xy = yx. Eine wichtige Anwendung ist das Lösen linearer Differentialgleichungssysteme y_dot = A·y mit konstanten Koeffizienten.

Berechnung, Abschätzungen und Anwendungen

Zur numerischen Berechnung reduziert man exp(x) meist auf Werte in einer kleinen Umgebung von 0 und verwendet den Anfang der Potenzreihe. Eine einfache Methode nutzt exp(2z) = exp(z)^2: Man wählt z = 2^(-K)·x, berechnet näherungsweise e^z und quadriert anschließend K-mal. Effizientere Verfahren verwenden Werte wie ln(2), ln(3) und ln(5), um x in ein kleines Intervall wie [-0,4; 0,4] zu transformieren. In Hardware werden zum Beispiel BKM-Algorithmus und CORDIC verwendet.

Wichtige Abschätzungen sind exp(x) > 0 und exp(x) ≥ 1 + x. Daraus folgt für x < 1 auch exp(x) ≤ 1/(1-x). Außerdem wächst die e-Funktion stärker als jede Potenzfunktion: lim(x→∞) x^r/e^x = 0 für r ∈ R.

Exponentialfunktionen treten in vielen Wissenschaften auf. In der Physik beschreiben sie unter anderem radioaktiven Zerfall, Luftdruckverlauf in der Atmosphäre, Ladungskurven eines Kondensators, Selbstinduktion bei einer Spule, Boltzmann-Faktor, Fermi-Dirac-Statistik, Bose-Einstein-Statistik sowie Abkühlung und Erwärmung. In der Chemie führt ein Geschwindigkeitsgesetz du/dx = -ku für eine Reaktion ohne Rückreaktion auf u(x) = ae^(-kx). In Biologie und Epidemien beschreiben sie Anfangsphasen von Populationswachstum und Infektionsausbreitung. In der Stochastik ergibt sich bei n Münzen und n Empfängern für großes n die Näherung P(keine Münze) ≈ 1/e ≈ 0,37 und P(eine Münze) ≈ 1/e ≈ 0,37. In der Wirtschaft erscheinen Exponentialfunktionen bei stetiger Verzinsung und bei Wertstufungen wie Münzen und Banknoten.