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Partielle Integration (Herleitung & Beispiel)
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 38 Zeilen
- echt typisch kaum hat man mal was verstanden kommt der Lehrer und macht's noch schlimmer Integration kennt ihr alle aber was zum Fick ist eine
- partielle [Musik] Integration klingt erstmal mega
- kompliziert partielle Integration ist es aber in Wirklichkeit gar nicht aber lasst uns vorher mal ganz anders anfangen beim Ableiten von dem Produkt
- aus zwei Funktionen wenn ihr das Ableiten wollt klar die Produktregel u mal V abgeleitet ergibt u mal V + U mal V lasass es mal noch umschreiben u v =
- KL auf U mal v- u mal V wenn die Umformung zu schnell ging einfach selbst auf dem Papier machen warum wir das so dumm umformen seht ihr später immerhin
- wollen wir doch was integrieren genau mal angenommen ihr wollt eine Funktion integrieren und egal was ihr macht kein Ahnung was da rauskommen soll ihr kriegt
- es nicht hin weil euch die mathtee einfach jedes Mal wieder von neuem einer reinbrezelt dann gibt's auft den Trick es geht nämlich manchmal dass sich eure
- Funktion als Produkt von zwei anderen Funktionen schreiben lässt dann sagen wir hey der erste sieht aus wie eine Ableitung von irgendwas deshalb nennen
- wir den mal u von x und der zweite sieht dann ganz normal aus den nennen wir mal V von X dann sieht ja euer integral plötzlich so aus integrale über u von X
- mal V von X einige von euch haben bestimmt mitgedacht wir haben ja nicht ohne Grund vor die Produktregel wiederholt und umgeformt wir können ja
- jetzt in das Integral anstatt der linken Seite u mal V die rechte Seite einsetzen also anstatt das Integral über u mal V zu bilden nehmen wir jetzt
- Klammer auf U mal v- u mal V ganz wichtig hier oben stand ein Minus dazwischen also haben wir hier jetzt auch ein Minus dazwischen und zwei
- integrale so was bringt uns das jetzt guckt euch mal das vor Minus auf der rechten Seite an zuerst leit die ab nur um dann wieder die Stammfunktion zu
- bilden und die Grenzen einzusetzen sparen wir uns das einfach und setzen gleich in U mal V einfach die Grenzen ein dann sieht das insgesamt so aus
- links vom minus haben wir den Kram direkt in die Grenzen eingesetzt aber rechts davon immer noch das Integral junge das sieht echt kompliziert aus das
- soll was bringen zuerst mal V kennen wir ja noch von vorhin das war ja der zweite Term in im Produkt und um V Strich zu kriegen genau dazu leiten wir das V
- einfach ab klar umgekehrt hatten wir vorin ja den ersten term ustrich genannt um jetzt auf U zu kommen müss wir die Stammfunktion von uich bilden die
- Konstante die bei jeder Stammfunktion immer dazu kommt ist hier egal wenn wir das haben können wir den Teil in den eckigen Klammern ganz einfach ausrechnen
- einfach u mal V nehmen und einsetzen fertig die eigentliche Schwierigkeit ist jetzt haben wir ja ein neues integral anstatt Integral über u mal V ist es
- jetzt über u mal V aber manchmal kann man das neue integral lösen während man es mitm alten nicht hinkriegt und genau dann bringt einem das mit den ganzen US
- und V was ihr habt euch sicher schon gedacht das ganze hier ist die partielle Integration das ganze war jetzt natürlich brutal trocken deshalb machen
- wir jetzt das typischste Beispiel von allen x mal e hoch x und als Grenzen nehmen wir einfach mal 0 und 1 wie macht man das jetzt los geht's mit der
- Vorbereitung Schritt 0 was ist unser Produkt genau x* e hoch x dann geht's schon mal ab zu Schritt 1 u und v zuordnen was vom Produkt ist uich und
- was V welches ihr wem zuordnet entscheidet nämlich ob es am Ende klappt deswegen auch gleich merken wenn es mal nicht hinhaut mit der partiellen
- Integration einfach mal versuchen stattdessen das erste V und das zweite uich zu nennen und so noch mal probieren weil wir schon wissen wie es geht raten
- wir jetzt mal ganz zufällig wir nehmen e hoch x als und X als V top ab zu Schritt 2 u und v berechnen um weiterzumachen müssen wir
- jetzt auch noch die Ableitung von x und die Stammfunktion von E hoch x ausrechnen klar das kriegt ihr hin x abgeleitet ist 1 und e hoch x
- aufgeleitet wieder e hoch x weil e hoch x abgeleitet ergibt e hoch x Schritt 3 einsetzen setzen wir das doch einfach mal in die Definition von der partiellen
- Integration ein weil man dabei auf einiges achten muss gibt's einen eigenen Schritt dafür die linke Seite ist ja das was wir ausrechnen wollen aber nicht
- können normal die rechte Seite wollen wir jetzt ausrechnen es steht mit unseren zahlen dann das da vorne e hoch x mal x und da einfach als Grenzen 1 und
- 0 hinten ist es Integral über e hoch x von 0 bis 1 achtet auf die Grenzen und vor allem auf das Minus in der Mitte das können wir alles lösen nämlich im
- Schritt 4 lösen vorne setzen wir jetzt die Grenzen ein also zuerst die 1 ergibt e hoch 1 x 1 die untere Grenze 0 eingesetzt also e hoch 0* 0 1* e ist e
- und hinten steht mal 0 also kommt 0 raus der vordere Teil ist also e und hinten das Integral kriegen wir auch hin zuerst müssen wir e hoch x aufleiten ja das
- heißt nicht aufleiten aber modz nicht rum so versteht wenigstens jeder e hoch x aufgeleitet ergibt e hoch x und hinten nicht die Grenzen vergessen die Grenzen
- setzen wir ein dann kommt e hoch 1- e hoch 0 raus irgendwas hoch 0 ist immer 1 und gesamt ist damit unser Ergebnis E- Klam auf E - 1 Klammer zu weil ich das
- Vorzeichen umdreht kommt dann raus 1 das heißt ist integral über x mal e hoch x von 0 bis 1 ist 1 oder so schwer war es doch gar nicht dann mal hier was zum
- Üben für euch nämlich unsere Aufgabe integriere den Sinus von X mal x von 0 bis PI partiell ob ihr das richtig raush habt seht ihr wie immer im lösungsvideo
- einfach hier rechts klicken und erfahren wie man mit dem Sinus partiell integriert haut rein und wie immer guten Rutsch ciao
Zum Nachlesen
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StammfunktionEine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, …