Rotation eines Vektorfeldes

Grundidee und Bedeutung

Die Rotation (auch Rotor) ist in der Vektoranalysis ein Differentialoperator: Er ordnet einem differenzierbaren Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum ein neues Vektorfeld zu. Sie beschreibt die lokale Wirbel- oder Drehwirkung eines Feldes. Bei einem Strömungsfeld gibt sie an jedem Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an, mit der sich ein mitschwimmender Körper dreht. Sie ist daher auch für Geschwindigkeitsfelder wichtig, wird aber ebenso bei anderen Feldern verwendet, etwa beim elektrischen Feld im Induktionsgesetz.

Ein Feld mit Rotation null heißt wirbelfrei; bei Kraftfeldern sagt man insbesondere konservativ. In einem einfach zusammenhängenden Gebiet gilt: Ein Vektorfeld ist genau dann der Gradient einer Funktion, wenn seine Rotation überall null ist. Außerdem gilt stets \operatorname{div}(\operatorname{rot}\,\vec F)=0. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten jedes Feld mit Divergenz null die Rotation eines anderen Vektorfeldes.

Typische Beispiele sind ein Wirbelsturm, dessen Geschwindigkeitsfeld nahe dem Auge eine von null verschiedene Rotation besitzt, und das Gravitationskraftfeld der Sonne: Letzteres ist wirbelfrei und der negative Gradient der potentiellen Energie eines Testteilchens.

Berechnung in kartesischen Koordinaten

Für \vec F=F_x\,\hat e_x+F_y\,\hat e_y+F_z\,\hat e_z lautet die Rotation in kartesischen Koordinaten (x,y,z):

\operatorname{rot}\,\vec F=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat e_x+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat e_y+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat e_z.

Die Basisvektoren \hat e_x,\hat e_y,\hat e_z haben Einheitslänge, sind paarweise senkrecht und zeigen in Richtung zunehmender Koordinaten. Kurz schreibt man \operatorname{rot}\,\vec F=\nabla\times\vec F, wobei \nabla der Nabla-Operator ist. Die oft verwendete Determinantenschreibweise ist nur formal, weil ihre Spalten nicht Vektoren desselben Vektorraums sind.

Der Nabla-Operator ermöglicht die koordinatenunabhängige Schreibweise \mathrm{rot}\,\vec F:=\nabla\times\vec F. Er wird auch für Gradient und Divergenz verwendet. In zwei Dimensionen kann man ein Feld \vec F(x,y)=F_x\hat e_x+F_y\hat e_y als dreidimensionales Feld mit verschwindender z-Komponente auffassen. Seine Rotation zeigt dann in z-Richtung. Deshalb definiert man die zweidimensionale Rotation meist als Skalarfeld: \operatorname{rot}\,\vec F=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.

Andere Koordinatensysteme

In Kugelkoordinaten (r,\theta,\varphi) mit den Einheitsvektoren \hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi gilt für \vec F=F_r\hat e_r+F_\theta\hat e_\theta+F_\varphi\hat e_\varphi:

\operatorname{rot}\,\vec F=\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(F_\varphi\sin\theta)-\frac{\partial F_\theta}{\partial\varphi}\right]\hat e_r+\left[\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_r}{\partial\varphi}-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_\varphi)\right]\hat e_\theta+\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rF_\theta)-\frac{\partial F_r}{\partial\theta}\right]\hat e_\varphi.

In Zylinderkoordinaten (r,\varphi,z) mit \vec F=F_r\hat e_r+F_\varphi\hat e_\varphi+F_z\hat e_z lautet sie:

\operatorname{rot}\,\vec F=\left[\frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial F_\varphi}{\partial z}\right]\hat e_r+\left[\frac{\partial F_r}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial r}\right]\hat e_\varphi+\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rF_\varphi)-\frac{\partial F_r}{\partial\varphi}\right]\hat e_z.

Die jeweiligen Basisvektoren sind auf Einheitslänge normiert und zeigen am betrachteten Punkt in Richtung zunehmender Koordinaten.

Wichtige Eigenschaften und Rechenregeln

Eine koordinatenfreie Definition erhält man als Volumenableitung. Für ein Raumgebiet \mathcal V mit Volumen V, Rand \partial\mathcal V und äußerem Flächenelement \mathrm d\vec A=\hat n\,\mathrm dA gilt im Punkt p:

\mathrm{rot}\,\vec F(p)=\lim_{V\to0}\frac{\oint_{\partial\mathcal V}\hat n\times\vec F\,\mathrm dA}{V}.

Bei einer Strömungsgeschwindigkeit kann die Rotation so als Wirbeldichte verstanden werden. Die Rotation ist außerdem ein Pseudovektorfeld: Bei Spiegelung am Ursprung gilt \vec F'(\vec x)=-\vec F(-\vec x), aber (\operatorname{rot}\,\vec F')(\vec x)=(\operatorname{rot}\,\vec F)(-\vec x).

Sie ist linear: \operatorname{rot}(c\vec F+\vec G)=c\operatorname{rot}\,\vec F+\operatorname{rot}\,\vec G. Wichtige Identitäten sind \operatorname{rot\,grad}f=0 und \operatorname{div\,rot}\vec F=0. Für ein Skalarfeld f gilt \operatorname{rot}(f\vec F)=f\operatorname{rot}\vec F+(\operatorname{grad}f)\times\vec F. Für die zweimalige Rotation gilt \operatorname{rot\,rot}\vec F=\operatorname{grad\,div}\vec F-\Delta\vec F, wobei \Delta der Laplace-Operator ist. Hängt \vec v von einem Skalar s ab, so ist \operatorname{rot}\vec v(s)=\operatorname{grad}s\times\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm ds}.

Drehung, Drehmoment und Integralsatz

Bei einer starren Drehung um die z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \omega gilt \varphi=\omega t. Das Geschwindigkeitsfeld ist

\vec v(x,y,z)=\omega(-y\,\hat e_x+x\,\hat e_y).

Seine Rotation beträgt \operatorname{rot}\vec v=2\omega\,\hat e_z: Sie ist also konstant, parallel zur Drehachse und gleich dem Doppelten der Winkelgeschwindigkeit. Dies erklärt die physikalische Bedeutung der Rotation.

In einem Flächenkraftdichte-Feld \vec f erfährt eine Kugel mit Radius R und Volumen V das Drehmoment \vec M=RV\,\operatorname{rot}\vec f, falls \operatorname{rot}\vec f im Bereich der Kugel konstant ist.

Der klassische Integralsatz von Stokes verbindet die Rotation mit der Zirkulation entlang eines Randes: \iint_{\mathcal F}(\operatorname{rot}\vec A)\cdot\mathrm d\vec f=\oint_{\partial\mathcal F}\vec A\cdot\mathrm d\vec x. Die Orientierung von Flächennormale und Randrichtung folgt der Drei-Finger-Regel und bildet ein Rechtssystem. Die allgemeinere Form lautet \int_V\mathrm{rot}\vec F\,\mathrm dV=\int_A\vec n\times\vec F\,\mathrm dA; aus ihr folgt bei sehr kleinem Volumen die Volumenableitungsdarstellung der Rotation.

Zerlegung und Rotation von Tensorfeldern

Das Helmholtz-Theorem besagt: Zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder \vec v(\vec r), die samt ihren Ableitungen für große Abstände hinreichend rasch gegen null gehen, lassen sich eindeutig zerlegen in \vec v=\vec E+\vec B. Dabei ist \operatorname{rot}\vec E=\vec0 und \operatorname{div}\vec B=0, mit \vec E=-\operatorname{grad}\phi und \vec B=\operatorname{rot}\vec A. In der Physik ist \vec E=-\operatorname{grad}\phi üblich; mathematisch lautet die Konvention \vec E=\operatorname{grad}\phi.

Für ein Tensorfeld zweiter Stufe \mathbf T wird die Rotation durch \mathrm{rot}(\mathbf T)\cdot\vec c=\mathrm{rot}(\mathbf T^\top\cdot\vec c) für alle \vec c definiert. Daraus folgt \mathrm{rot}(\mathbf T)=\nabla\times(\mathbf T^\top). Die Klammerung ist wesentlich: Im Allgemeinen gilt \operatorname{rot}(\mathbf T^\top)=\nabla\times\mathbf T\neq[\nabla\times(\mathbf T^\top)]^\top=\operatorname{rot}(\mathbf T)^\top.

Ist \mathbf T symmetrisch, also T_{ij}=T_{ji}, dann ist seine Rotation spurfrei: \operatorname{Sp}(\operatorname{rot}(\mathbf T))=0. Die Terme mit vertauschten Indizes heben sich auf. Auch für Tensoren bleiben analoge Grundidentitäten erhalten, etwa \mathrm{div}(\mathrm{rot}(\mathbf T)^\top)=\vec0 und \mathrm{rot}(\mathrm{grad}(\vec f))=\mathbf0.