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Ähnlichkeit (Geometrie)
In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als …
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Grundidee der Ähnlichkeit
Zwei geometrische Figuren heißen ähnlich, wenn eine Ähnlichkeitsabbildung die eine Figur in die andere überführt. Eine solche Abbildung kann aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen zusammengesetzt sein. Zu den Kongruenzabbildungen gehören Verschiebung, Drehung und Spiegelung; eine Spiegelung kehrt die Orientierung um. Nur zentrische Streckungen ändern Längen.
Ähnlichkeit erweitert die Kongruenz, also die Deckungsgleichheit, um die Möglichkeit, Figuren zu vergrößern oder zu verkleinern.
Gemeinsame Merkmale und Dreiecke
In ähnlichen Figuren stimmen die Winkel und die Verhältnisse entsprechender Strecken überein. Deshalb sind alle Kreise ähnlich. Ebenso sind jeweils alle regelmäßigen Vielecke mit derselben Eckenzahl ähnlich, zum Beispiel alle gleichseitigen Dreiecke oder alle Quadrate.
Jede kongruente Figur ist auch ähnlich. Umgekehrt müssen ähnliche Figuren nicht kongruent sein, weil sie unterschiedlich groß sein können. Das Zeichen für Ähnlichkeit ist ∼, etwa ΔABC ∼ ΔA′B′C′. Für Kongruenz verwendet man ≃ oder ≅.
Für Dreiecke gelten Ähnlichkeitssätze. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie
- in zwei und damit in allen drei Winkeln übereinstimmen,
- in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen,
- in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen oder
- im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.
Die Strahlensätze treffen wichtige Aussagen über die Verhältnisse der Dreiecksseiten bestimmter ähnlicher Dreiecke.
Kegelschnitte und selbstähnliche Spiralen
Zwei nicht ausgeartete Kegelschnitte, also Ellipsen, Hyperbeln oder Parabeln, sind ähnlich, wenn sie dieselbe Exzentrizität besitzen. Für eine Ellipse oder Hyperbel mit den Halbachsen a und b gilt
ε = √(a² ∓ b²) / a.
Eine Streckung um den Faktor c am Mittelpunkt verändert die Exzentrizität nicht. Alle Parabeln sind ähnlich, denn ihre Exzentrizität ist 1.
Die logarithmische Spirale r = ae^(kφ) kann als Streckung der Spirale r = e^(kφ) am Nullpunkt mit dem Faktor a ≠ 0 betrachtet werden. Sie kann auch durch eine Drehung dieser Spirale um φ₀ = −ln(a)/k entstehen. Eine Kurve heißt selbstähnlich, wenn ihre Bilder unter zentrischen Streckungen zu ihr selbst kongruent sind. Daher ist die Spirale r = e^(kφ) selbstähnlich.
Zusammengesetzte ähnliche Figuren
Reptiles („replicating tiles“) sind ähnliche Figuren, die sich lückenlos zu einer größeren Figur zusammensetzen lassen, welche zu den kleineren Figuren ähnlich ist. Besteht die größere Figur aus n ähnlichen Teilfiguren, heißt sie rep-n-Figur.
Für k ∈ ℕ gilt: Jedes Dreieck ist eine rep-k²-Figur. Jedes gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ist zusätzlich eine rep-2^k-Figur. Dreiecke mit Innenwinkeln 30°, 60° und 90° sind zusätzlich rep-3^k-Figuren. Rechtwinklige Dreiecke, bei denen eine Kathete doppelt so lang ist wie die andere, sind zusätzlich rep-5^k-Figuren.
Auch unter gleichschenkligen Trapezen gibt es rep-4^k- und rep-9^k-Figuren. Besondere konkave, an eine Sphinx erinnernde Fünfecke besitzen ebenfalls rep-4^k- und rep-9^k-Figuren. Bei verschiedenen Arten von Polyominos kommen rep-4^k- und rep-16^k-Figuren vor.
Ähnlichkeit in der fraktalen Geometrie
Die fraktale Geometrie untersucht skaleninvariante Ähnlichkeit in gebrochenen, „fraktalen“ Dimensionen. Diese Ähnlichkeit entsteht durch die Rekursion nichtlinearer Algorithmen. Ein bekanntes Beispiel ist die Mandelbrot-Menge: Ihre Grenzlinie weist an jeder Stelle Ähnlichkeit mit angrenzenden Abschnitten in allen Größenordnungen auf.
