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Brennpunkt (Geometrie)
Verschiedene geometrische Kurven, insbesondere Kegelschnitte, besitzen Brennpunkte. Unter anderem lassen sich diese Kurven anhand der Lage ihrer Brennpunkte …
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Grundidee der Brennpunkte
Brennpunkte sind besondere Punkte geometrischer Kurven, vor allem von Kegelschnitten. Ellipse, Parabel, Hyperbel und Kreis lassen sich über die Lage und Eigenschaften ihrer Brennpunkte beschreiben. Auch wenn nur die gezeichnete Kurvenlinie auf dem Papier gegeben ist, können die Symmetrieelemente und die Brennpunkte mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.
Für das Verständnis ist wichtig: Brennpunkte verbinden eine geometrische Definition mit anschaulichen Eigenschaften, etwa der Reflexion von Lichtstrahlen. Bei Ellipse, Parabel und Hyperbel hängen die Brennpunkte eng mit Achsen, Mittelpunkt, Scheitelpunkten, Sehnen, Tangenten und Normalen zusammen.
Ellipse und Kreis
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abstandssumme zu zwei festen Brennpunkten konstant ist. Diese Abstandssumme wird meist mit 2a bezeichnet. Der Abstand eines Brennpunkts vom Mittelpunkt der Ellipse heißt lineare Exzentrizität und wird gewöhnlich mit e bezeichnet.
Eine wichtige Reflexionseigenschaft lautet: Die Verbindungsgeraden von einem Punkt der Ellipse zu den beiden Brennpunkten liegen spiegelbildlich zur Normalen der Ellipse in diesem Punkt. Deshalb sammeln sich Lichtstrahlen, die von einem Brennpunkt einer reflektierenden, extrudierten Ellipse ausgehen, im anderen Brennpunkt.
Der Kreis kann als Grenzfall einer Ellipse verstanden werden. Dabei fallen die beiden Brennpunkte im Kreismittelpunkt zusammen.
Konstruktion bei der Ellipse
Wenn nur die Linie einer Ellipse gegeben ist, lassen sich Mittelpunkt, Achsen und Brennpunkte mit Zirkel und Lineal bestimmen. Dazu werden bekannte Eigenschaften von Sehnen und Achsen genutzt.
Werden zwei zueinander parallele Sehnen halbiert, liegt der Mittelpunkt M auf der Geraden durch die Mitten dieser beiden Sehnen. Wiederholt man diesen Schritt, kann M durch das Verbinden der Sehnenmitten bestimmt werden.
Ein Kreisbogen um M mit einem Radius kleiner als die halbe Hauptachse MS2 schneidet die Ellipse in Punkten, die eine Sehne IJ bilden. Diese Sehne liegt parallel zur Hauptachse. Eine Parallele zu IJ durch M ergibt die Hauptachse S1S2.
Für die Brennpunkte zeichnet man einen Halbkreis um M mit Radius gleich der halben Hauptachse MS1. Legt man an die Ellipse eine Tangente durch den Scheitelpunkt S3 der Nebenachse, entsteht im Halbkreis eine Sehne KL. Die Lote von K und L auf die Hauptachse schneiden diese in den Brennpunkten F1 und F2.
Parabel
Eine Parabel hat genau einen Brennpunkt. Sie kann als Grenzfall einer Ellipse gedeutet werden: Einer der beiden Brennpunkte ist dabei ins Unendliche gerückt. Für eine Parabel mit der Gleichung y = ax² und Scheitelpunkt im Ursprung hat der Brennpunkt die Koordinaten (0 | 1/(4a)).
Die Brennpunkteigenschaft der Parabel wird beim Parabolspiegel genutzt. Parallele Strahlen werden im Brennpunkt eines Paraboloids konzentriert. Umgekehrt kann eine Punktquelle im Brennpunkt parallele Strahlung erzeugen.
Ist nur die Parabellinie gegeben, kann man Achse und Brennpunkt mit Zirkel und Lineal konstruieren. Werden zwei zueinander parallele Sehnen halbiert, ist die Gerade g1 durch die Sehnenmitten parallel zur gesuchten Achse. Errichtet man die Senkrechte g2 auf g1, entsteht eine Sehne der Parabel. Die Mittelsenkrechte ms dieser Sehne liefert den Scheitelpunkt S und ist zugleich die Parabelachse.
Für den Brennpunkt wird die Tangente t als Winkelhalbierende verwendet. Der Winkel alpha wird von der Parallelen g3 zur Achse ms durch den Punkt H und vom Abstand |HF| eingeschlossen. Die Tangente t halbiert auf der Scheitelgeraden g4 die Strecke IS im Punkt J. Mit der zur Tangente t senkrechten Geraden g5 erhält man schließlich den Brennpunkt F.
Hyperbel
Eine Hyperbel besitzt zwei Brennpunkte. Für jeden Punkt der Hyperbel ist die Abstandsdifferenz zu diesen beiden Brennpunkten konstant. Damit unterscheidet sie sich von der Ellipse, bei der die Abstandssumme konstant ist.
Zweischalige Hyperboloide bündeln Licht nicht wie Rotationsparaboloide oder verlängerte Rotationsellipsoide. Licht, das vom inneren Brennpunkt ausgeht, wird an der Hyperboloidschale jedoch so reflektiert, als ob es vom äußeren Brennpunkt ausginge.
Hyperbeln treten außerdem in Interferenzmustern auf. Sie entstehen dort durch die Überlagerung von Kreiswellen, deren Quellen in den Brennpunkten der Hyperbeläste liegen. Die Abstandsdifferenz der beiden kohärenten Lichtquellen zu einer Hyperbel der Lichtverstärkung ist n · lambda. Dabei ist n eine natürliche Zahl für jede Hyperbel und lambda die Wellenlänge.
Konstruktion bei der Hyperbel
Wenn nur die Linie einer Hyperbel gegeben ist, kann man zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal die Verwandtschaft zur Ellipse nutzen. Die Achsen lassen sich über Mittelpunkte paralleler Sehnen bestimmen; zum Finden der Brennpunkte nutzt man die formale Ähnlichkeit der Gleichungen beider Kegelschnitte.
Zuerst werden in beiden Ästen der Hyperbel zwei zueinander parallele Sehnen halbiert. Durch die Mitten werden Geraden gezogen. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt M0, ähnlich wie bei der Ellipse.
Ein Kreisbogen um M0 mit beliebigem Radius schneidet die Hyperbel in Punkten, die eine Sehne AN bilden. Diese Sehne liegt parallel zur Hauptachse. Eine Parallele zu AN durch M0 ergibt die Hauptachse g3 und die Scheitelpunkte S1 und S2. Die Mittelsenkrechte ms der Sehne AN ist die zweite Achse.
Für die Brennpunkte wird eine Hilfsellipse verwendet. Dazu braucht man die halben Längen der Haupt- und Nebenachse. Auf der Hyperbelachse ms wird mit beliebigem Abstand k zur Achse g3 ein Halbkreis um M1 mit Radius |M0S2| gezeichnet. Über den Schnittpunkt O erhält man die halbe Länge der Nebenachse |M1O| = bE. Eine Senkrechte zu ms durch M1 liefert die Brennpunkte F1E und F2E der Hilfsellipse sowie mit |F2EO| die halbe Hauptachse aE. Weitere Halbkreise, Parallelen und Schnittpunkte führen schließlich zu Q; der Halbkreis um M0 durch Q bestimmt die beiden Brennpunkte F1 und F2 der Hyperbel.
