Zählen

Grundidee des Zählens

Zählen ist eine Handlung, mit der die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge gleichartiger Objekte ermittelt wird. Dabei werden Zählschritte ausgeführt, meist Einerschritte, und eine Folge von Zahlwörtern durchlaufen, etwa „eins, zwei, drei“ oder in größeren Schritten „zwei, vier, sechs, acht“. Eine aufsteigende Zahlenfolge heißt vorwärts zählen, eine absteigende rückwärts zählen.

Auch das Bestimmen einer Anzahl durch Addition wird Zählen genannt. „Zählung“ bezeichnet entweder den Vorgang oder sein Ergebnis, beispielsweise eine Volkszählung. Das Abzählen festgelegter Einheiten, Objekte oder Ereignisse ist eine Form der Messung: Es bestimmt eine Quantität.

Menschen verfügen nach archäologischen Zeugnissen seit mindestens 50.000 Jahren über Zählverfahren. Sie dienten in alten Kulturen dazu, Anzahl und Vollständigkeit etwa von Gruppenmitgliedern, Beutetieren, Besitz oder Schulden zu erfassen. Das Zählen trug zur Entwicklung von Zahlennotation, Zahlensystemen und Schrift bei.

Zählen, Sprache und Zahlensysteme

Zählen gilt als sprachliche Fertigkeit, die der Mensch vermutlich erst im Verlauf seiner biosozialen Phylogenese, also der Stammesentwicklung, erworben hat. Nach der dargestellten Annahme können Tiere wie Vögel bei kleinen Anzahlen bemerken, dass zum Beispiel ein Ei fehlt, sie können die Menge aber nicht durchzählen. Zählen setzt Abstraktionsvermögen voraus: Einzelne Dinge müssen als gleichartige, zählbare Einheiten aufgefasst werden.

Körperteile wie Augen, Ohren und Hände treten paarweise auf. Das bedeutet aber nicht zwingend, dass dafür schon Zahlen oder ein Zahlwort für „Zwei“ vorhanden sein müssen. Sprachlich können der Paral oder Dual eine Zweizahl ausdrücken; sie stehen neben dem Singular, der Einzahl. Der Dual wird historisch als älter als der Plural, die Mehrzahl, vermutet. Manche Sprachen entwickelten außerdem einen Trial für die Dreizahl und einen Paukal für einen kleinen Plural; ein Quadral für eine Vierzahl ist in keiner Sprache belegt.

Für höhere Zahlen mussten entweder neue Zahlwörter geschaffen oder Systeme aus kleineren Zahlwörtern gebildet werden. Entstanden sind Quinärsysteme mit Basis 5, Dezimalsysteme mit Basis 10 und Vigesimalsysteme mit Basis 20. Als Grund werden Zählen mit einer Hand, beiden Händen oder mit Fingern und Zehen angenommen. Das Zählen von Fingergliedern führte einhändig zu Duodezimalsystemen mit Basis 12 und zweihändig zu Zahlensystemen mit Basis 60.

Regeln und Hilfen beim Abzählen

Um die Anzahl einer endlichen Menge zu bestimmen, wird jedem Objekt nacheinander, beginnend mit 1, die jeweils nächstgrößere natürliche Zahl zugeordnet. Sind keine Objekte mehr übrig, gibt die zuletzt zugeordnete Zahl die gesuchte Anzahl an. Mathematisch entspricht dieses Zuordnen einer Bijektion. Hände oder ein Handzähler können helfen, Fehler zu vermeiden.

Eine unendliche Menge lässt sich nicht auf diese Weise zählen. Als mathematischer Ersatz dient ihre Mächtigkeit; dieser Aspekt wird mit Kardinalzahlen behandelt. Mehrere Objekte können außerdem simultan, also gleichzeitig ohne Abzählen, erfasst werden. Das beschleunigt das Zählen mit Gruppen fester Größe: Bei Zweier- oder Fünfergruppen wird jeweils 2 oder 5 addiert, etwa „fünf, zehn, fünfzehn, zwanzig …“.

Sind zusätzlich zur Anzahl Reihenfolge oder Rang wichtig, werden Ordinalzahlen verwendet. Nummerieren unterscheidet sich vom Zählen: Zahlen dienen hier nur zur Unterscheidung. Bei Identifikationsnummern können Zahlen ausgelassen werden, etwa wenn Geburtsdaten kodiert sind. Dann ist die Nummer nicht gleich dem Rang; solche Nummern bilden eine Nominalskala.

Null, Distanzen und Inklusivzählung

In Mathematik und Informatik kann es sinnvoll sein, bei 0 zu zählen oder zu nummerieren, zum Beispiel bei Speicherzellen und Arrays in den meisten Programmiersprachen. Ein Gebäudebeispiel ist das Erdgeschoss als 0. Etage, das erste Geschoss darüber und der Keller als −1. Etage. Beginnen Raumnummern einer Etage bei 0, können bei 100 Räumen die Endziffern 0 bis 99 verwendet werden; die 100er-Stelle zeigt dann die Etage an, ohne Nummern auszulassen.

Bei einer Distanz innerhalb einer Folge wird anders als bei der Anzahl der Elemente gezählt: Beim zweiten Element beginnt die Distanz mit 1. Die Distanz eines Elements zu sich selbst ist 0. Bei fortlaufender Nummerierung erhält man die Distanz durch Subtraktion der beiden Nummern. Vom ersten zum zehnten Element beträgt sie daher 9, obwohl zehn Elemente aufgelistet werden.

Die historische Inklusivzählung zählte bei Distanzen und Zeiträumen sowohl Start- als auch Ende mit. Sie wurde von der Antike bis in die nachmittelalterliche Zeit angewendet. Dadurch sind Ergebnisse für Distanzen nach heutigem Verständnis um 1 zu groß. Beim Addieren zweier aufeinanderfolgender inklusiv gezählter Distanzen muss 1 abgezogen werden, weil das verbindende Element sonst doppelt gezählt wird. Der Artikel kennzeichnet die Angaben zu diesem Abschnitt allerdings als nicht hinreichend belegt.

Typische Anwendungen der Inklusivzählung

Bei Tagen gilt heute bei „in n Tagen“ normalerweise, dass der laufende Tag nicht mitgezählt wird. Dennoch wird im deutschen Sprachraum „in acht Tagen“ für eine Kalenderwoche verwendet. Vergleichbare Bezeichnungen sind französisch dans quinze jours („in fünfzehn Tagen“) für zwei Wochen sowie griechisch δεκαπενθήμερο und spanisch quincena. Im römischen Kalender waren die Nonen der jeweils neunte Tag vor den Iden. Eine Oktav in der Liturgie umfasst eine Woche einschließlich des folgenden achten Tages. Auch Angaben wie Christi Himmelfahrt 40 Tage nach Ostern, Darstellung des Herrn 40 Tage nach Weihnachten und pentēkostē, „am fünfzigsten Tag“ nach Ostern, zählen den Festtag mit. In der historischen Chronologie dürfen Regierungsjahre nicht einfach addiert werden, weil ein Jahr mit Herrscherwechsel doppelt gezählt wurde.

Beim Zählen von Sekunden wird in den Vereinigten Staaten „Ein-Mississippi, Zwei-Mississippi, Drei-Mississippi“ gesprochen. Im Deutschen lautet eine Methode „Einundzwanzig, Zweiundzwanzig, …, Neunundzwanzig, Dreißig-Dreißig, Einunddreißig …“. Deutsche Sprecher sprechen bewusst und deutlich im Schnitt 4 Silben pro Sekunde; deshalb die Doppelung „Dreißig-Dreißig“. Die inklusiv gezählte erste Sekunde wird dabei als einundzwanzigste bezeichnet.

Auch musikalische Intervalle zählen Anfangs- und Endton mit. Deshalb hat die Prime den Abstand 0 Töne, die Sekunde 1 Ton, die Terz 2, die Quarte 3, die Quinte 4, die Sexte 5, die Septime 6 und die Oktave 7 Töne. In der C-Dur-Tonleiter C–D–E–F–G–A–H–c entspricht der Abstand vom Grundton C den Werten 0 bis 7, die Intervallnamen aber 1 bis 8. Eine Quarte und eine Quinte ergeben eine Oktave: Nicht 4 + 5 = 8, sondern die Tonabstände 3 + 4 = 7. Entsprechend besteht die Oktave aus 7 und nicht aus 8 Stammtönen.