Menge (Mathematik)

Grundidee und Schreibweisen

Eine Menge ist ein grundlegender Begriff der Mathematik. Sie ist ein abstraktes Objekt, das aus einzelnen Objekten besteht; diese heißen Elemente. Entscheidend ist nur, welche Elemente enthalten sind. Eine Menge ist nicht dasselbe wie ihre Elemente: Ein Apfel und die Menge, die nur diesen Apfel enthält, sind verschiedene Gegenstände.

Für jedes Objekt muss eindeutig feststehen, ob es zur betrachteten Menge gehört oder nicht. Mengen sind ungeordnet: Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. Außerdem kann ein Element in einer Menge nicht „mehrmals“ vorkommen. Wenn Reihenfolge wichtig ist, spricht man von Folgen oder Tupeln; wenn zusätzlich gezählt wird, wie oft Elemente vorkommen, von Multimengen.

Endliche Mengen können durch Aufzählung angegeben werden, zum Beispiel M = {blau, gelb, rot}. Dabei gilt {blau, rot, gelb} = {blau, gelb, rot} = {blau, blau, gelb, rot}, weil Reihenfolge und Wiederholung nichts ändern. Statt Kommata werden manchmal Semikola benutzt, um Verwechslungen mit Dezimalzahlen zu vermeiden.

Mengen können auch durch eine Eigenschaft beschrieben werden, etwa M = {x | x ist eine Grundfarbe}. Das liest man als: „M ist die Menge aller x, für die gilt: x ist eine Grundfarbe.“ Diese beschreibende Schreibweise ist besonders wichtig bei unendlichen Mengen. Weitere Schreibweisen nutzen Auslassungspunkte, zum Beispiel {3, 6, 9, 12, …, 96, 99}, wenn das Bildungsgesetz klar ist. Mengen können außerdem durch Mengenoperationen oder induktiv beschrieben werden, also durch ein Grundelement und Regeln, mit denen weitere Elemente entstehen.

Elemente, Gleichheit und Größe

Ist ein Objekt x Element einer Menge M, schreibt man x ∈ M. Ist x kein Element von M, schreibt man x ∉ M. Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Formal: A = B :⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B). Diese Eigenschaft heißt Extensionalität: Nicht die Beschreibung einer Menge ist entscheidend, sondern ihr tatsächlicher Inhalt.

Viele Mengen werden intensional beschrieben, also durch eine Bedingung P(x), die genau für ihre Elemente gilt. Man schreibt zum Beispiel A = {x | x ∈ D ∧ P(x)} oder kürzer A = {x ∈ D | P(x)}. Ob zwei solche Beschreibungen dieselbe Menge liefern, kann schwierig sein; dafür muss man zeigen, dass die Bedingungen logisch gleichwertig sind. Häufig nutzt man für Gleichheitsbeweise die Äquivalenz A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).

Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Sie wird meist mit |M|, manchmal mit #M notiert. Für endliche Mengen ist sie eine natürliche Zahl einschließlich 0. Der Begriff wird auch auf unendliche Mengen verallgemeinert; dabei können zwei unendliche Mengen unterschiedlich mächtig sein.

Die leere Menge enthält kein Element. Sie wird mit ∅ oder {} bezeichnet und hat die Mächtigkeit |∅| = 0. Aus der Extensionalität folgt, dass es nur eine leere Menge gibt. Wichtig ist der Unterschied zwischen ∅ und {∅}: Die zweite Menge enthält ein Element, nämlich die leere Menge. Eine nichtleere Menge ist eine Menge, die nicht leer ist und mindestens ein Element enthält. Eine bewohnte Menge ist eine Menge, die ein Element enthält; in klassischer Logik ist das gleichbedeutend mit „nichtleer“, in konstruktiver Mathematik muss man beide Begriffe unterscheiden. Die Allklasse umfasst alle Elemente des betrachteten Grundbereichs; in der Mengenlehre ist sie die Klasse aller Mengen und unter üblichen Voraussetzungen keine Menge, sondern eine echte Klasse.

Teilmengen und grundlegende Operationen

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Formal: A ⊆ B :⇔ ∀x (x ∈ A → x ∈ B). Dann heißt B Obermenge von A. Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst, und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. A ist echte Teilmenge von B, wenn A ⊆ B gilt und A ≠ B ist. Für „Teilmenge“ und „echte Teilmenge“ gibt es zwei verbreitete Notationssysteme; im Artikel wird A ⊆ B für Teilmenge und A ⊂ B für echte Teilmenge verwendet.

Die Schnittmenge enthält genau die Elemente, die in allen betrachteten Mengen vorkommen. Für zwei Mengen gilt A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Man liest: „A geschnitten mit B“ oder „der Durchschnitt von A und B“. Mengen ohne gemeinsame Elemente heißen disjunkt oder elementfremd; ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die in mindestens einer der betrachteten Mengen vorkommen. Für zwei Mengen gilt A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Das „oder“ ist dabei nicht-ausschließend: Elemente, die in beiden Mengen liegen, gehören ebenfalls zur Vereinigung. Für die Vereinigung einer leeren Menge von Mengen gilt ⋃∅ = ∅.

Die Differenzmenge A \ B ist die Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B liegen: A \ B := {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}. Im Gegensatz zu Schnitt und Vereinigung ist die Differenz weder kommutativ noch assoziativ. Ist B ⊆ A, heißt A \ B auch Komplement von B in A. Wenn eine Grundmenge feststeht, schreibt man für das Komplement von B auch B^C, überline B, ∁B oder B′. Die symmetrische Differenz A △ B enthält die Elemente, die in genau einer der beiden Mengen liegen: A △ B := (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

Produktmenge und Potenzmenge

Das kartesische Produkt verbindet Mengen auf andere Weise als Schnitt, Vereinigung oder Differenz. Seine Elemente sind nicht einfache Elemente der Ausgangsmengen, sondern geordnete Paare. Für zwei Mengen A und B gilt: A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Das ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B stammt.

Für endlich viele Mengen A1, …, An wird das kartesische Produkt mit n-Tupeln verallgemeinert: A1 × … × An := {(a1, …, an) | ai ∈ Ai für i = 1, …, n}. Sind alle Mengen gleich A, schreibt man kurz A^n. Für Familien von Mengen mit beliebiger Indexmenge Λ wird das Produkt als Menge von Funktionen beschrieben, die jedem Index λ ein Element der passenden Menge Aλ zuordnen. Ob ein solches Produkt nicht leer ist, hängt eng mit dem Auswahlaxiom zusammen.

Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Eine Menge S von Teilmengen von A heißt Mengensystem über A und ist eine Teilmenge der Potenzmenge: S ⊆ P(A). Die Potenzmenge enthält immer ∅ und A. Daher gilt P(∅) = {∅}; das ist eine einelementige Menge. Für eine einelementige Menge {a} gilt P({a}) = {∅, {a}}, also zwei Elemente.

Allgemein gilt: Besitzt A genau n Elemente, so hat P(A) genau 2^n Elemente, also |P(A)| = 2^|A|. Deshalb wird P(A) auch als 2^A geschrieben. Bei unendlichen Mengen ist die Potenzmenge schwieriger zu behandeln: Es gibt kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. In axiomatischen Systemen wie ZFC muss ihre Existenz durch ein Potenzmengenaxiom gefordert werden. Konstruktive Mathematiker betrachten die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich.

Typische Beispiele

Für die Mengen X = {1, 2, 3}, A = {1, 2} und B = {1, 3} gelten mehrere Grundregeln direkt sichtbar: 2 ∈ A, aber 2 ∉ B. Außerdem ist X ⊆ X, A ⊂ X und B ⊂ X, aber A ⊈ B.

Die Schnittmenge ist A ∩ B = {1}, weil nur 1 in beiden Mengen liegt. Die Vereinigung ist A ∪ B = X. Bezüglich der Grundmenge X gelten die Komplemente A^C = {3}, B^C = {2}, X^C = ∅ und ∅^C = X. Für Differenzen gilt A \ B = {2}, B \ A = {3}, X \ A = {3} und A \ X = ∅. Die symmetrische Differenz ist A △ B = {2, 3}.

Die Mächtigkeiten sind |X| = 3, |A| = |B| = 2, |∅| = 0 und |{∅}| = 1. Die Potenzmenge von A ist P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. Für kartesische Produkte gilt A × B = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3)}, A × {3} = {(1,3), (2,3)} und A² = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}. Außerdem gilt A × ∅ = ∅ × A = ∅.

Als konkrete Beispiele nennt der Artikel die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“: {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Dabei ist 33 ein Element dieser Menge, 23 nicht. Außerdem ist die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, …} eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Einordnung und Schulbezug

Mengen sind ein Grundwerkzeug für viele weitere mathematische Begriffe. Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene, des euklidischen Raumes oder allgemeiner topologischer Räume werden oft Punktmengen genannt. Beziehungen zwischen Mengen lassen sich mit Mengendiagrammen veranschaulichen.

In der modernen Mathematik werden Zahlenbereiche mit Methoden der Mengenlehre aufgebaut, ausgehend von der leeren Menge als Grundbaustein. Die üblichen Zahlenmengen stehen in der Beziehung N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Dabei bezeichnen N die natürlichen Zahlen, Z die ganzen Zahlen, Q die rationalen Zahlen, R die reellen Zahlen und C die komplexen Zahlen.

Beziehungen zwischen Elementen verschiedener Mengen heißen Relationen; eindeutige Zuordnungen heißen Abbildungen oder Funktionen. Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene im Zusammenhang mit üblichen Ordnungsrelationen auf.

Der Unterricht zur Mengenlehre an westdeutschen Schulen Anfang der 1970er Jahre führte zu pädagogischen und gesellschaftlichen Kontroversen. Der Artikel verweist dazu auf die „Neue Mathematik“.