Moment (Stochastik)

Bedeutung und Definition

Momente von Zufallsvariablen sind Parameter der deskriptiven Statistik und wichtige Größen der Stochastik. Sie beschreiben Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung stehen in engem Zusammenhang mit Momenten.

Für eine Zufallsvariable X und eine natürliche Zahl k heißt m_k := E(X^k) Moment der Ordnung k oder k-tes Moment von X, sofern dieser Erwartungswert existiert. Das k-te absolute Moment ist M_k := E(|X|^k).

In theoretischen Untersuchungen werden auch Momente nichtganzzahliger Ordnung κ betrachtet. Die Existenz eines Moments bestimmter Ordnung liefert allgemeine Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse. Das erste Moment ist der Erwartungswert μ = E(X), der als Mittelwert aufgefasst werden kann.

Nicht jede Zufallsvariable besitzt Momente beliebig hoher Ordnung. Bei der t-Verteilung existieren Momente nur für Ordnungen, die kleiner als die Anzahl der Freiheitsgrade sind. Bei der Cauchy-Verteilung existiert nicht einmal das erste Moment, also der Erwartungswert; dasselbe gilt für die Lévy-Verteilung. Die Bestimmung einer Verteilung aus vorgegebenen Momenten heißt Momentenproblem und spielt auch in der technischen Mechanik eine Rolle.

Berechnung für reelle Zufallsvariablen

Ist X eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F_X(x) = P(X ≤ x), dann wird das k-te Moment als Stieltjesintegral dargestellt:

m_k = ∫_{−∞}^{∞} x^k dF_X(x).

Für eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f_X gilt:

m_k = ∫_{−∞}^{∞} x^k f_X(x) dx.

Für eine diskrete Zufallsvariable mit möglichen Werten x_i und Wahrscheinlichkeiten p_i = P(X = x_i) gilt:

m_k = ∑_{i=1}^{∞} x_i^k · p_i.

Beide Fälle lassen sich einheitlich mit dem Lebesgue-Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes P schreiben:

m_k = ∫_Ω X^k dP.

Zentrale Momente und Verteilungsform

Zentrale Momente betrachten die Abweichungen der Zufallsvariablen vom Erwartungswert μ = E(X). Das k-te zentrale Moment und das k-te zentrale absolute Moment sind definiert durch

μ_k := E((X − μ)^k) und μ̄_k := E(|X − μ|^k).

Sie heißen zentral, weil sie am Erwartungswert zentriert sind. Das erste zentrale Moment ist immer null: μ_1 = E(X − μ) = E(X) − μ = 0.

Das erste zentrale absolute Moment μ̄_1 = E(|X − μ|) ist die mittlere absolute Abweichung. Das zweite zentrale Moment μ_2 = E((X − μ)^2) ist die Varianz.

Das dritte zentrale Moment ist μ_3 = E((X − μ)^3). Nach Normierung mit der Standardabweichung ergibt sich die Schiefe, auch 3. normiertes oder standardisiertes Moment genannt: E(((X − μ)/σ)^3).

Das vierte zentrale Moment ist μ_4 = E((X − μ)^4). Nach Normierung mit der Standardabweichung ergibt sich die Wölbung, auch 4. normiertes oder standardisiertes Moment genannt: E(((X − μ)/σ)^4).

Schiefe und Wölbung werden gemeinsam als höhere Momente bezeichnet. Die Schiefe ist ein Maß für die Abweichung von einer symmetrischen Verteilung. Die Wölbung wird häufig als Maß für die Abweichung von der Normalverteilung verwendet.

Charakteristische Funktion und Kumulanten

Durch mehrfaches Ableiten der charakteristischen Funktion φ_X erhält man die gewöhnlichen Momente:

E(X^k) = φ_X^(k)(0) / i^k für k = 1, 2, … .

Das k-te Moment kann außerdem mit der momenterzeugenden Funktion bestimmt werden. Ferner lässt es sich als Polynom k-ten Grades in den ersten k Kumulanten κ_1, …, κ_k ausdrücken. Dieses Polynom ist das k-te vollständige Bell-Polynom B_k:

m_k = B_k(κ_1, …, κ_k).

Aussagen über große Abweichungen

Die Markow-Ungleichung zeigt, wie ein absolutes Moment die Wahrscheinlichkeit großer Beträge begrenzt. Existiert das k-te absolute Moment M_k von X, gilt für x > 0:

P(|X| ≥ x) ≤ M_k / x^k.

Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit betragsmäßig großer Werte von X abschätzen. Für k = 2 folgt im Zusammenhang mit der Varianz σ^2 die Tschebyscheffsche Ungleichung:

P(|X − E(X)| ≥ x) ≤ σ^2 / x^2.

Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit großer Abweichungen der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Verbundmomente und Näherungsverfahren

Der Momentenbegriff kann auf mehrere Zufallsvariablen erweitert werden. Für zwei Zufallsvariablen X und Y heißt

m_{kℓ} = E(X^k Y^ℓ) gemeinsames oder Verbundmoment. Das zentrale gemeinsame Moment ist definiert durch

μ_{kℓ} = E((X − E(X))^k (Y − E(Y))^ℓ).

Insbesondere ist μ_{11} die Kovarianz von X und Y. Besitzen X und Y eine gemeinsame Dichte f_{XY}, gilt:

m_{kℓ} = ∫{−∞}^{∞} ∫{−∞}^{∞} x^k y^ℓ f_{XY}(x,y) dx dy.

Ein Näherungsverfahren zur Berechnung von Momenten ist die First-order second-moment Methode.