Dichtefunktion

Grundidee und Definition

Eine Dichtefunktion, kurz Dichte, ist eine reellwertige Funktion aus Stochastik und Maßtheorie. Mit ihrer Hilfe werden aus einem Maß durch Integration neue Maße oder signierte Maße konstruiert.

Gegeben sei ein Maßraum (X, 𝒜, μ) und eine positive μ-quasiintegrierbare Funktion f: X → ℝ. Für jede Menge A ∈ 𝒜 wird durch

μ_f(A) := ∫_A f(x) dμ(x)

ein Maß definiert. Dann heißt f Dichtefunktion dieses Maßes.

Sind μ und ν Maße auf (X, 𝒜) und gilt für eine positive quasiintegrierbare Funktion f_ν:

ν(A) = ∫_A f_ν(x) dμ(x) für alle A ∈ 𝒜,

dann ist f_ν die Dichte von ν bezüglich μ. Sie heißt auch Radon-Nikodým-Dichte oder Radon-Nikodým-Ableitung und wird als dν/dμ notiert.

Für signierte Maße ist die Definition gleich; lediglich die Forderung, dass die quasiintegrierbare Funktion positiv sein muss, entfällt.

Wahrscheinlichkeitsdichten

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen sind Dichtefunktionen bezüglich des Lebesgue-Maßes λ beziehungsweise des Lebesgue-Integrals. Das zugehörige Maß des Grundraums ist eins.

Mit einer solchen Funktion f_P lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß durch

P(A) = ∫_A f_P(x) dλ(x)

definieren. Wahrscheinlichkeitsmaße, die auf diese Weise entstehen, heißen absolutstetige Wahrscheinlichkeitsmaße. Wahrscheinlichkeitsdichten bieten damit einen elementaren Zugang zur Wahrscheinlichkeitstheorie, häufig unter Verwendung des Riemann-Integrals anstelle des Lebesgue-Integrals. In dieser Schreibweise steht dann dx anstelle von dλ(x).

Zähldichten und diskrete Verteilungen

Zähldichten, auch Wahrscheinlichkeitsfunktionen genannt, sind Dichtefunktionen bezüglich des Zählmaßes. Im einfachsten Fall ordnen sie jeder natürlichen Zahl eine positive Zahl zu:

f: ℕ → [0, ∞).

Die Funktionswerte summieren sich zu eins. Dadurch entsteht eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, indem man für jedes k ∈ ℕ festlegt:

P({k}) := f(k).

Wählt man als Maß μ das Zählmaß auf ℕ, gilt für jede Menge A:

P(A) = ∑_{k∈A} f(k) = ∫_A f(k) dμ(k).

Damit sind Zähldichten das diskrete Gegenstück zu Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen bezüglich des Lebesgue-Maßes.

Existenz einer Dichte

Jede positive quasiintegrierbare Funktion kann zusammen mit einem Maß zur Definition eines weiteren Maßes verwendet werden. In diesem Sinn kann sie als Dichtefunktion des neu konstruierten Maßes dienen.

Sind jedoch zwei bereits gegebene Maße μ und ν vorhanden, ist offen, ob ν eine Dichte bezüglich μ besitzt. Diese Frage beantwortet der Satz von Radon-Nikodým: Ist μ σ-endlich und ν absolut stetig bezüglich μ, so besitzt ν eine Dichtefunktion bezüglich μ.