Schiefe (Statistik)

Grundidee und Definition

Die Schiefe ist eine statistische Kennzahl für die Art und Stärke der Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie beschreibt, ob eine Verteilung eher nach rechts oder nach links geneigt ist. Eine negative Schiefe bedeutet linksschief oder rechtssteil: In typischen Fällen fällt die Verteilung links flacher ab als rechts. Eine positive Schiefe bedeutet rechtsschief oder linkssteil: Dann fällt sie typischerweise rechts flacher ab als links.

Für eine Zufallsvariable X ist die Schiefe γ_m das zentrale Moment 3. Ordnung μ_3, normiert durch die dritte Potenz der Standardabweichung σ, falls dieses Moment existiert: γ_m := μ_3/σ^3 = E[((X − μ)/σ)^3] = E[(X − μ)^3]/σ^3. Dabei ist μ = E(X) der Erwartungswert und σ^2 = Var(X) die Varianz. Diese Darstellung heißt auch Momentenkoeffizient der Schiefe. Mit Kumulanten gilt γ_m = κ_3 / √(κ_2^3) = κ_3 / Var(X)^(3/2). Die Schiefe kann jeden reellen Wert annehmen.

Typische Vertreter rechtsschiefer Verteilungen sind die Bernoulli-Verteilung für p < 1/2, die Exponentialverteilung und die Pareto-Verteilung für k > 3.

Eigenschaften und empirische Berechnung

Die Schiefe ist unabhängig von positiven linearen Transformationen. Für a > 0 gilt: γ_m(aX + b) = γ_m(X). Wenn unabhängige normierte Zufallsgrößen X_i addiert werden, gilt γ_m(X_1 + X_2 + … + X_n) = (γ_m(X_1) + γ_m(X_2) + … + γ_m(X_n)) / n^(3/2). Für unabhängige und identisch verteilte Zufallsgrößen ist die Schiefe der Summe also die ursprüngliche Schiefe geteilt durch √n.

Für eine empirische Häufigkeitsverteilung berechnet man die Schiefe mit g_m = m_3/s^3 = (1/n) Σ ((x_i − x̄)/s)^3. Dabei ist x̄ der arithmetische Mittelwert, s die empirische Standardabweichung und x_i sind die Beobachtungswerte. Die Messwerte werden standardisiert durch z_i = (x_i − x̄)/s. Dadurch wird die Schiefe unabhängig von der Maßeinheit der Variablen. Für die standardisierten Werte gilt z̄ = (1/n) Σ z_i = 0 und s_z^2 = (1/n) Σ z_i^2 = 1.

Schätzung aus Stichproben

Wenn die Schiefe γ_m einer Grundgesamtheit unbekannt ist, kann sie mit Stichprobendaten x_1, …, x_n geschätzt werden. Dabei ist n der Stichprobenumfang. Erwartungswert und Varianz der Grundgesamtheit werden durch Stichprobenwerte ersetzt, also durch empirische Momente.

Ein naheliegender Schätzer ist γ̃_m = (1/n) Σ ((x_i − x̄)/s)^3, mit x̄ als Stichprobenmittelwert und s als Stichprobenstandardabweichung. Dieser Schätzer ist jedoch nicht erwartungstreu für γ_m. Erwartungstreu bedeutet hier: Der Schätzer trifft im Durchschnitt über viele Stichproben den wahren Wert der Grundgesamtheit. Als erwartungstreuer Schätzer wird angegeben: γ̂_m = n / ((n − 1)(n − 2)) · Σ ((x_i − x̄)/s)^3.

Weitere Maße der Schiefe

Neben dem Momentenkoeffizienten gibt es weitere Schiefemaße. Auf Karl Pearson geht die Definition S = (μ − x_med)/σ zurück. Dabei ist μ der Erwartungswert, x_med der Median und σ die Standardabweichung. Der Median ist der Wert, der eine Verteilung in zwei gleich große Hälften teilt. Der Wertebereich von S ist [-1, 1]. Für symmetrische Verteilungen gilt S = 0. Rechtsschiefe Verteilungen haben häufig ein positives S, es gibt aber Ausnahmen.

Wenn die Standardabweichung divergiert, kann die Pearsonsche Definition verallgemeinert werden: Eine Verteilung heißt dann rechtsschief, wenn der Median kleiner als der Erwartungswert ist. In diesem Sinn ist die Pareto-Verteilung für jeden Parameter k > 1 rechtsschief.

Der Quantilskoeffizient der Schiefe nutzt Quantile. Ein Quantil ist ein Wert, unter dem ein bestimmter Anteil der Verteilung liegt. Der Koeffizient beschreibt die normierte Differenz zwischen der Entfernung des α-Quantils und des (1 − α)-Quantils zum Median: γ_p = ((x_(1−α) − x_med) − (x_med − x_α)) / (x_(1−α) − x_α), α ∈ (0, 1/2). Er kann Werte zwischen −1 und 1 annehmen. Er existiert auch für Verteilungen, bei denen Erwartungswert oder Standardabweichung nicht definiert sind. Für α = 1/4 ergibt sich der Quartilskoeffizient. Die Pareto-Verteilung besitzt für beliebige Parameter k > 0 positive Quantilskoeffizienten.

Deutung und typische Beispiele

Ist γ_p > 0, so ist die Verteilung rechtsschief; ist γ_p < 0, so ist sie linksschief. Bei γ_p = 0 ist die Verteilung auf beiden Seiten ausgeglichen. Symmetrische Verteilungen haben immer γ_p = 0, aber umgekehrt muss eine Verteilung mit γ_p = 0 nicht symmetrisch sein.

Für gutartige Verteilungen gelten als Faustregeln: Bei rechtsschiefen Verteilungen liegt der Modus x_mod links vom Median x_med, und dieser liegt links vom Mittelwert x̄: x_mod < x_med < x̄. Bei symmetrischen Verteilungen gilt x_mod = x_med = x̄. Bei linksschiefen Verteilungen gilt x_mod > x_med > x̄. Der Modus ist der häufigste Wert beziehungsweise der Gipfel der Verteilung.

Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist und eine Schiefe von null besitzt, kann die Schiefe als Maßzahl dienen, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen. Als möglicher Test wird der Kolmogorow-Smirnow-Test genannt.

Interpretation in Daten

Rechtsschiefe Verteilungen treten häufig beim Pro-Kopf-Einkommen auf. Dort gibt es wenige Personen mit extrem hohem Einkommen und sehr viele Personen mit eher niedrigem Einkommen. Weil bei der momentbasierten Schiefe die Abweichungen vom Mittelwert in der 3. Potenz eingehen, erhalten wenige sehr extreme Werte ein hohes Gewicht. Dadurch entsteht ein Schiefemaß mit positivem Vorzeichen.

Es gibt verschiedene Formeln zur Berechnung der Schiefe. Gängige Statistikpakete wie SPSS, SYSTAT und Stata verwenden besonders bei kleinen Fallzahlen teilweise Formeln, die von der oben beschriebenen momentbasierten Berechnungsvorschrift abweichen.