Technische Mechanik

Grundlagen und Aufgabe

Die Technische Mechanik ist ein Teil der Mechanik. Sie überträgt die Gesetze der klassischen Mechanik auf technische Systeme und untersucht vor allem feste Körper. Ihr Ziel ist insbesondere, Kräfte, Spannungen, Verformungen und Bewegungen rechnerisch zu bestimmen. Dafür verwendet sie mathematische Modelle und zweckmäßige Verfahren zur Analyse mechanischer Systeme.

Die bereitgestellten Berechnungsverfahren werden beispielsweise im Maschinenbau und in der Baustatik eingesetzt. Die eigentliche Bemessung von Bauteilen und Tragwerken sowie die Werkstoffauswahl übernehmen anwendungsnähere Disziplinen wie Konstruktionslehre oder Betriebsfestigkeit. Dort dient die Technische Mechanik als Hilfswissenschaft. Sie gehört besonders in Maschinenbau und Bauingenieurwesen zur grundlegenden Ausbildung, wird aber auch in Elektrotechnik, Verfahrenstechnik, Industriedesign sowie Wirtschafts- und Verkehrsingenieurwesen behandelt.

Klassisch gliedert sie sich in Statik, Festigkeitslehre und Dynamik. In der Technischen Mechanik wird dabei ein methodischer Aufbau gewählt, der die Kenntnisse zur Berechnung von Maschinen und Bauwerken vermittelt. Die Theoretische oder Analytische Mechanik verfolgt dagegen vor allem das Ziel, aus Axiomen wie den Newtonschen Gesetzen eine widerspruchsfreie mathematische Theorie zu entwickeln.

Kräftegleichgewicht ruhender Körper

Die Statik ist die Mechanik ruhender Festkörper. Bei der Statik starrer Körper wird angenommen, dass sich ein Körper unter der Wirkung von Kräften nicht verformt. Alle auf ihn wirkenden Kräfte müssen sich im Gleichgewicht befinden. Aus dieser Gleichgewichtsbedingung lassen sich Gleichungen aufstellen, mit denen unbekannte Kräfte aus bekannten Kräften berechnet werden.

Bei einer Brücke sind beispielsweise die Gewichtskräfte infolge des Eigengewichts bis auf Bautoleranzen bekannt. Weitere Lasten werden angenommen oder berechnet. Daraus können die Kräfte in den Lagern, etwa den Brückenpfeilern, sowie die Kräfte in zu bemessenden Bauteilen wie der Fahrbahnplatte bestimmt werden.

Ein besonders wichtiger Modellkörper ist der Balken, dessen Länge sehr viel größer als seine Breite und Höhe ist. Deformierbare Körper können mithilfe der Baustatik untersucht werden. Die Statik bildet eine Grundlage für Festigkeitslehre und Dynamik, weil die dort benötigten Kräfte häufig zunächst statisch bestimmt werden.

Verformung, Spannung und Festigkeit

Die Festigkeitslehre untersucht grundsätzlich deformierbare Körper, die sich unter Belastung verformen, sich aber wie in der Statik in Ruhe befinden. In der Elastostatik wird elastisches Verhalten angenommen: Der Körper kehrt nach Wegnahme der Belastung in seine ursprüngliche Form zurück. Daneben behandelt die Festigkeitslehre auch plastisches und viskoses Materialverhalten, beispielsweise das Kriechen.

Zentrale Größen sind die mechanische Spannung und die Dehnung. Die Spannung ist die Kraft pro Querschnittsfläche. Die Dehnung ist die Längenveränderung im Verhältnis zur Gesamtlänge. Unter der Annahme des Hooke’schen Gesetzes sind im eindimensionalen Fall und bei konstanter Temperatur die Dehnungen direkt proportional zu den wirkenden mechanischen Spannungen.

Festigkeits- und Steifigkeitsgesetze beschreiben Materialeigenschaften. Daher besteht eine enge Verbindung zur Werkstofftechnik, die sich mit den Materialien und ihren spezifischen Eigenschaften selbst beschäftigt. Ein wichtiges Ziel ist, bei vorgegebenen Kräften und Werkstoffen die erforderlichen Querschnitte von Bauteilen zu berechnen. Die auftretenden Spannungen und Verformungen sollen dabei kleiner als die zulässigen Werte bleiben.

Bewegungen und zeitabhängige Belastungen

Die Dynamik untersucht Bewegungen und zeitlich veränderliche Belastungen, die Beschleunigungen und damit Bewegungen verursachen. Ruhe ist grundsätzlich ein Sonderfall der Bewegung, wird in der Technischen Mechanik aber bereits ausführlich in der Statik behandelt. Die Dynamik konzentriert sich deshalb auf Vorgänge mit Geschwindigkeiten ungleich null. Eine wichtige Bewegungsform sind Schwingungen, etwa in der Baudynamik und Schwingungslehre.

Die Dynamik wird meist in zwei Bereiche gegliedert:

• Die Kinematik beschreibt die Geometrie der Bewegung von Körpern, ohne Kräfte zu berücksichtigen.
• Die Kinetik berücksichtigt zusätzlich zur Bewegung auch Kräfte und Momente.

Die Begriffsverwendung ist nicht überall gleich: In der Physik und teilweise auch in der Technischen Mechanik bezeichnet Dynamik das Gebiet, das sich mit Kräften befasst. Es wird dann in Statik mit Beschleunigung gleich null und Kinetik mit Beschleunigung ungleich null gegliedert.

Obwohl sich die Dynamik gewöhnlich mit festen Körpern beschäftigt, werden auch Hydro- und Aerodynamik einbezogen. In der Baudynamik kann beispielsweise ein Wasserbecken zur Schwingungsdämpfung eines Hochhauses dienen; bei Sendemasten wird die Anregung durch Wind untersucht.

Spezielle und numerische Gebiete

Spezielle Bereiche werden teilweise als Höhere Technische Mechanik bezeichnet. Dazu gehören unter anderem:

• Stabilitätstheorie: Untersuchung der Bewegungsstabilität und der Stabilität belasteter Körper gegen Versagen nach der Theorie II. Ordnung, etwa bei Knickungsvorgängen.
• Rotor- und Maschinendynamik: Untersuchung der Wechselwirkungen zwischen dynamischen Kräften und Bewegungsgrößen in Maschinen, besonders bei rotierenden Baugruppen.
• Bodenmechanik: Beschreibung von Spannungen und Verformungen in Kontinua mithilfe von Stoffgesetzen, die das Verhalten von Böden annähern.
• Biomechanik: mechanische Untersuchung lebender Strukturen.
• Viskoelastizitätstheorie: Untersuchung viskoelastischer Medien als Teil der Kontinuumsmechanik.
• Kontaktmechanik: Untersuchung der statischen und dynamischen, wälzenden oder abrollenden Berührung von Körpern, insbesondere der Flächenpressung in der Berührzone.
• Schwingungslehre, Elastizitätstheorie, Strukturmechanik, Kontinuumsmechanik, experimentelle Mechanik und Rissmechanik.
• Finite-Elemente-Methode als numerisches Berechnungsverfahren.

Teilweise werden außerdem Strömungsmechanik, Hydromechanik und Aerodynamik einbezogen, etwa bei Staumauern, Schiffen, Turbinen, Pumpen, Hochhäusern, Flugzeugen oder Windrädern. Gewöhnlich gelten Strömungslehre und Thermodynamik jedoch als eigenständige ingenieurwissenschaftliche Gebiete. Weitere Spezialaufgaben sind die Lageberechnung und -regelung von Satelliten sowie die Ballistik.

Die klassische Technische Mechanik strebt eine geschlossene mathematische Beschreibung durch Differentialgleichungen an. Daneben gewinnen numerische Methoden zunehmend an Bedeutung.

Historische Entwicklung

Elementare statische und dynamische Probleme lassen sich häufig bereits intuitiv beurteilen, beispielsweise die Belastbarkeit eines Trägers. Eine formale Beschäftigung mit technischen Problemen der Mechanik gab es schon bei Archimedes, der die weiterhin gültigen Gesetze der Hydrostatik entdeckte. Analytisch nutzbare Erkenntnisse sind besonders seit der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts überliefert.

Simon Stevin entwickelte das Kräfteparallelogramm, Johannes Kepler formulierte die bis heute zur Bahnberechnung von Satelliten und Raumsonden verwendeten Keplerschen Gesetze. Galileo Galilei gab der entstehenden Wissenschaft eine mathematische Grundlage und behandelte in seinen Discorsi Festigkeitsprobleme. Isaac Newton entwickelte auf der Grundlage mechanischer Beobachtungen die Infinitesimalrechnung. Im 18. Jahrhundert trugen die Familie Bernoulli und Leonhard Euler wesentlich zur Theorie bei; Euler behandelte unter anderem Knickung, Balkenbiegung und Turbinen. Charles Augustin de Coulomb legte Grundlagen der Reibungslehre.

Im 19. Jahrhundert entwickelten Karl Culmann, August Ritter, Giuseppe Cremona und Carlo Alberto Castigliano praxisnahe Verfahren, die mangels leistungsfähiger Rechenmaschinen vor allem auf genauen geometrischen Zeichnungen beruhten. Christian Otto Mohr ist mit dem Mohrschen Kreis verbunden. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurden durch Hans Lorenz und August Föppl verstärkt Methoden der Theoretischen Mechanik wie Schwingungslehre und Vektordarstellung übernommen.

Im 20. Jahrhundert entwickelten Nikolai Jegorowitsch Schukowski, Ludwig Prandtl und Theodore von Kármán die Aerodynamik für Luft- und Raumfahrt weiter. John Argyris und andere Mathematiker entwickelten die Finite-Elemente-Methode. Im Hochbau kamen iterative numerische Verfahren von Gaspar Kani und Hardy Cross zum Einsatz. Diese Entwicklungen machten die Numerik zu einem wesentlichen Ansatz der Technischen Mechanik.