Erwartungswert

Bedeutung und Grundidee

Der Erwartungswert ist eine grundlegende Kennzahl der Stochastik für eine Zufallsvariable X. Er beschreibt bei endlich vielen möglichen Werten das mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichtete arithmetische Mittel. Er hängt nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung ab, nicht von den Ergebnissen einer einzelnen Versuchsreihe.

Ein endlicher Erwartungswert ist ein Lageparameter: Er gibt die Lage der Verteilung an und kann als Schwerpunkt ihrer Wahrscheinlichkeitsmasse verstanden werden. Deshalb heißt er auch erstes Moment. Anders als ein Stichprobenmittelwert ist er eine feste Größe der Grundgesamtheit. Der Erwartungswert muss kein möglicher Wert von X sein.

Bei vielen unabhängigen Wiederholungen streben die Durchschnittswerte beziehungsweise Stichprobenmittelwerte nach dem Gesetz der großen Zahlen gegen den endlichen Erwartungswert. Übliche Schreibweisen sind E(X), 𝔼(X), E[X] oder μX; in der Physik wird auch ⟨X⟩ verwendet. Je nach Definition kann der Erwartungswert reell oder komplex und endlich sein; in einer erweiterten Definition sind auch +∞ und −∞ möglich. Für manche Zufallsvariablen ist kein Erwartungswert definiert.

Berechnung und allgemeine Definition

Für eine diskrete reelle Zufallsvariable, die die Werte xi mit Wahrscheinlichkeiten pi = P(X = xi) annimmt, gilt bei Existenz:

E(X) = ∑i∈I xi pi = ∑i∈I xi P(X = xi).

Bei abzählbar vielen Werten ist E(X) genau dann endlich, wenn die Reihe absolut konvergiert:

∑i=1∞ |xi|pi < ∞.

Hat X eine Dichtefunktion f, dann gilt:

E(X) = ∫ℝ x f(x) dλ(x),

und bei gewöhnlicher Riemann-Integrierbarkeit auch E(X) = ∫−∞∞ x f(x) dx. Mit der Verteilungsfunktion F lässt sich der Erwartungswert ebenfalls schreiben als

E(X) = ∫0∞ (1 − F(x)) dx − ∫−∞0 F(x) dx.

Für eine nichtnegative Zufallsvariable folgt daraus E(X) = ∫0∞ (1 − F(t)) dt. Allgemein ist der Erwartungswert das Lebesgue-Integral einer Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Σ, P):

E(X) = ∫Ω X dP = ∫ℝ x PX(dx), mit PX = P ∘ X⁻¹.

Er existiert, wenn die Integrale des Positivteils X⁺ und des Negativteils X⁻ nicht beide unendlich sind. Er ist genau dann endlich, wenn X integrierbar ist, also ∫Ω |X(ω)| dP(ω) < ∞. Auch die Darstellung E(X) = ∫−∞∞ x dF(x) als Riemann-Stieltjes-Integral ist möglich.

Zentrale Rechenregeln

Für Zufallsvariablen X1 und X2 mit endlichen Erwartungswerten gilt Linearität, ohne dass Unabhängigkeit nötig ist:

E(aX1 + bX2) = aE(X1) + bE(X2).

Daraus folgen E(cX + d) = cE(X) + d, E(d) = d und für endliche Summen E(∑i=1n Xi) = ∑i=1n E(Xi). Endliche Erwartungswerte sind dabei wichtig: Mit +∞ und −∞ können Summen undefiniert sein.

Aus X ≤ Y, auch fast sicher, folgt E(X) ≤ E(Y). Für ein Ereignis A ist seine Wahrscheinlichkeit der Erwartungswert seiner Indikatorfunktion χA:

P(A) = E(χA).

Außerdem gelten die Dreiecksungleichungen |E(X)| ≤ E(|X|) und E(|X + Y|) ≤ E(|X|) + E(|Y|).

Für nichtnegative Zufallsvariablen gilt insbesondere E(X) = ∫0∞ P(X ≥ x) dx = ∫0∞ P(X > x) dx. Ist X ganzzahlig und nichtnegativ, lautet die entsprechende Summenformel E(X) = ∑i=1∞ P(X ≥ i). Für fast sicher nichtnegative Xi gilt zudem σ-Additivität: E(∑i=1∞ Xi) = ∑i=1∞ E(Xi). Bei monoton wachsenden nichtnegativen Xi mit fast sicherem Grenzwert X gilt limi→∞ E(Xi) = E(X).

Produkte, Funktionen und weitere Verfahren

Sind X1, …, Xn unabhängig und haben endliche Erwartungswerte, dann gilt:

E(∏i=1n Xi) = ∏i=1n E(Xi).

Für nicht unabhängige X und Y wird die Abweichung davon durch die Kovarianz beschrieben:

E(XY) = E(X)E(Y) + Cov(X,Y).

Für eine zusammengesetzte Zufallsvariable Y = ∑i=1N Xi, bei unabhängigen, identisch verteilten Xi und N auf ℕ0, gilt bei vorhandenen ersten Momenten die Wald-Formel E(Y) = E(N)E(X1).

Für Y = g(X) mit Dichte fX rechnet man direkt E(g(X)) = ∫−∞∞ g(x)fX(x) dx. Bei diskretem X gilt E(g(X)) = ∑i g(xi)pX(xi). Im allgemeinen Fall ist E(g(X)) = ∫−∞∞ g(x)dFX(x). Ein endlicher Erwartungswert erfordert jeweils die Endlichkeit des entsprechenden Ausdrucks mit |g(x)|.

Haben X und Y die gemeinsame Dichte f(x,y), dann ist E(g(X,Y)) = ∫−∞∞∫−∞∞ g(x,y)f(x,y) dx dy, sofern der Erwartungswert endlich ist oder g(X,Y) nichtnegativ ist. Die Randdichte von X ist fX(x) = ∫−∞∞ f(x,y) dy.

Weitere Berechnungswege nutzen erzeugende Funktionen: Für gX(t) = ln E(e^(tX)) gilt E(X) = gX′(0); für die charakteristische Funktion φX(t) = E(e^(itX)) gilt E(X) = φX′(0)/i; für MX(t) = E(e^(tX)) gilt E(X) = MX′(0). Nimmt X nur natürliche Zahlen an, gilt mit mX(t) = E(t^X): E[X] = limt↑1 mX′(t), falls der linksseitige Grenzwert existiert. Außerdem minimiert E(X) den mittleren quadratischen Abstand E((X − a)²) unter allen reellen Konstanten a.

Typische Beispiele

Beim fairen Würfel nimmt X die Werte 1 bis 6 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/6 an. Daher ist

E(X) = ∑i=1^6 i · 1/6 = 3,5.

Bei 1000 Würfen liegt der Durchschnitt mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe bei 3,5; die Zahl 3,5 kann aber bei einem einzelnen Würfelwurf nicht auftreten. Eine konkrete Serie mit den Ergebnissen 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 hat dagegen den Stichprobenmittelwert 3,2.

Für die Dichte f(x) = 1/x für 3 ≤ x ≤ 3e und f(x) = 0 sonst gilt E(X) = ∫3^(3e) 1 dx = 3e − 3 = 3(e − 1).

Eine Zufallsvariable muss weder diskret sein noch eine Dichte besitzen. Für das Niederschlagsmodell P(X < 0) = 0 und P(X > x) = αe^(−λx) für x ≥ 0, mit α < 1 und λ > 0, ist E(X) = α/λ. Für α = 1/2 und λ = 1/(4 mm) ergibt sich E(X) = 2 mm.

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon betrifft ein Glücksspiel mit unendlichem Erwartungswert. Die klassische Erwartungswertregel würde einen beliebig hohen Einsatz nahelegen, obwohl die Verlustwahrscheinlichkeit des Einsatzes 50 % beträgt; als Lösung wird eine logarithmische Nutzenfunktion genannt.

Verwandte Konzepte und Sonderfälle

Neben dem Erwartungswert sind Modus und Median Lageparameter. Der Modus ist bei diskreten Zufallsvariablen der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit und bei stetigen Variablen eine Maximastelle der Dichte. Der Median teilt die Wahrscheinlichkeit so, dass links und rechts jeweils die Hälfte liegt. Beide müssen nicht eindeutig sein.

Höhere Momente werden ebenfalls als Erwartungswerte von Funktionen definiert: Die Varianz ist das zentrierte zweite Moment mit g(X) = (X − μX)². Schiefe und Wölbung sind entsprechend normierte zentrierte dritte beziehungsweise vierte Momente. Der bedingte Erwartungswert verallgemeinert den Erwartungswert, wenn bestimmte Versuchsausgänge bereits bekannt sind; er ist unter anderem für bedingte Wahrscheinlichkeiten, bedingte Varianz und stochastische Prozesse wichtig.

Für Zufallsvektoren und Zufallsmatrizen wird der Erwartungswert komponentenweise gebildet. Für einen Vektor X = (X1, …, Xn)ᵀ gilt E(X) = (E(X1), …, E(Xn))ᵀ = μ.

In der Quantenmechanik ist für einen Operator Ô im Zustand |ψ(t)⟩ der Erwartungswert ⟨Ô⟩|ψ(t)⟩ = ⟨ψ(t)|Ô|ψ(t)⟩. Für den Aufenthaltsort lautet er in Ortsdarstellung ⟨r̂⟩ = ∫M dⁿr r|ψ(r,t)|².