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Ableitung - momentane Änderungsrate | Ableitung bestimmen (einfach erklärt) | Herr Locher
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 78 Zeilen
- wir haben angefangen mit dem differenzen patienten also der mittleren änderungsraten und kommen jetzt zur ableitung auch momentane änderungsraten
- genannt stell dir vor du hast hier ein fahrrad und dieses fahrrad fährt eine strecke entlang und du möchtest wissen wie schnell dieses fahrrad ist
- du hast aber kein geschwindigkeitsmessgerät sondern nur ein lineal oder hier besser ein maßband und eine stoppuhr du hast also ein
- werkzeug um strecken zu messen ein werkzeug um zeit zu messen und wie kommst du mit strecke und zeit jetzt auf geschwindigkeit
- du könntest zwei markierungen auf dieser strecke machen und messen wie weit diese markierung auseinanderliegen sagen wir mal das wären zehn meter wenn du jetzt
- stoppst wie lange dieses fahrrad braucht um diese zehn meter zu fahren sagen wir mal das wären zwei sekunden dann kannst du die durchschnittliche geschwindigkeit
- in diesem bereich berechnen das heißt wenn es in zwei sekunden 10 meter fährt würde es pro sekunde fünf meter fahren wir haben also eine
- durchschnittliche geschwindigkeit von fünf meter pro sekunde wenn das pro stunde wissen möchtest ja eine stunde hat 3600 sekunden dann
- rechnest du eben mal 3600 dann haben wir hier 18.000 meter pro stunde oder eben 18 kilometer pro stunde also 18 km h du siehst also geschwindigkeit hängt mit
- strecke und zeit zusammen hier haben wir eine strecke hier haben wir eine zeit und wenn man sich das überlegt was geschwindigkeit bedeutet wir haben hier
- ein fahrrad und das ändert seine position und wenn jetzt schaust wie schnell diese position hier geändert wird
- also wir stoppen hier eine zeit dann nennt man das geschwindigkeit jetzt haben wir hier aber nur eine mittlere änderungsraten berechnet also
- eine durchschnittliche geschwindigkeit zwischen diesen beiden markierung wir wollen zur momentan erinnerungs rate und zwar die geschwindigkeit in diesem punkt
- wie schnell ist das fahrrad genau an dieser stelle und wie können wir das berechnen unsere idee ist es jetzt dieses
- intervall hier zu verkleinern also wenn ich es mal halbiert könnte ich von diesem halbierten intervall die mittlere änderungsraten berechnen ist
- noch mal halbiert und immer weiter kleiner kleiner kleiner mache bekomme ich einen immer genaueren wert für die momentane geschwindigkeit noch also
- solange ich in einem intervall rechner ist es aber immer eine durchschnittliche geschwindigkeit in diesem intervall also die idee ist dieses intervall sozusagen
- unendlich klein zu machen bis wir das fahrrad sozusagen in einem punkt hier fest gefroren haben und dann kann man jetzt natürlich darüber diskutieren wenn
- dieses fahrrad hier festgefroren ist bewegt es sich dann überhaupt noch können wir dann überhaupt noch von geschwindigkeit sprechen
- wir schauen aber mal an was da mathematisch passiert also nochmal zusammengefasst um von der mittleren erneuerungsrate zum momentanen
- änderungsraten zu kommen machen wir dieses intervall unendlich klein
- wir schauen uns mal den funktions grafen der funktion fnx gleiche quadrat an und wir könnten hier zum beispiel zwischen zwei punkten eine mittlere
- änderungsraten berechnen also wir haben hier einen punkt und hier einen punkt und legen hier eine sie kannte durch oder wir können dieses intervall immer
- kleiner machen und haben dann eine tangente also hier an diesem einen punkt und das wäre die momentane änderungs rate also nochmal hier zwei eine gerade
- die zwei punkte schneidet das ist eine bekannte eine gerade die hier nur in einem punkt berührt das ist eine tangente also nehmen wir gerade f von
- xfx quadrat und wir möchten die momentane änderung an der stelle zwei berechnen die momentane änderung bedeutet hier also die steigung so was
- wir machen wie oben benehme ein intervall ich sage mal von zwei bis drei und rechnen erst mal die mittlere änderungsraten in diesem intervall aus
- das machst du mit dem differenzen patienten also f von 3 -11 von 2 durch drei - zwei ja die drei eingesetzt ergibt dann neun die zwei eingesetzt
- ergibt vier durch 3 - 2 das ergibt fünf jahren jetzt verkleinert du dieses intervall weil du möchtest ja nicht die mittlere änderung in diesem intervall
- sondern du möchtest zur stelle 2 hin deswegen sagen wir mal wir gehen nur von 2 bis 2,5 dann wird schon etwas genauer benutzt
- wieder den differenzen quotienten nur jetzt eben f von 2,5 minus von 2 durch 25 - 2 wenn du das alles einsetzt und berechnet kommt 45 aus - noch genauer
- haben wollen sagen wir mal beginnen von 20 bis 21 du nimmst also wieder den differenzen patienten und da ergibt sich 4,1
- man könnte jetzt vermuten dass sich das ganze immer näher an die vier annähert je kleiner wir dieses intervall hier machen wir könnten dieses intervall
- jetzt natürlich noch kleiner machen von 2 bis 2 000 1 und so weiter aber wir versuchen es mal allgemein aufzuschreiben wir haben also zwei und
- ich schreibe jetzt einfach mal als zweiter wert und dieses a bewegt sich auf die zwei zu und zwar nehmen wir das so nahe wie möglich an die 2 heran
- wie kann man das ganze allgemein ausschreiben wir haben also fk minus von 2 durch - 2 damit können wir rechnen können wir
- einsetzen ergibt dann quadrat - zwei im quadrat durch - 2 jetzt möchten wir das ganze ein bisschen umformen damit wir später kürzen können
- hier brauchst du die dritte genomische formeln und die brauchst du bei diesem thema immer wieder deswegen noch einmal genau anschauen
- ich schreibe sie noch mal hin dritte genomische formel war a + b x h - b ist gleich quadrat - weg jetzt haben wir hier nicht und b sondern
- a und 2 funktioniert aber genau gleich und wir haben hier die rechte seite dieser formel wir formans sitz um so dass hier die linke seite steht
- das heißt quadrat - zwei quadrat kannst du schreiben als a plus zweimal - 2 also der einzige grund warum wir das hier gemacht haben ist damit wir jetzt kürzen
- können wir haben zähler und im jänner - zwei stehen das heißt dass hier können wir kürzen dann bleibt a plus zwei übrig und wir
- haben ja gesagt dass a soll so nahe wie möglich an die zweier an das heißt es wird zu einer 2 dann würde hier 2+2 also vier übrig bleiben und können also
- aufschreiben für gegen zwei strebt plus 2 gegen vier wirken auch ein zwischenschritt machen also gegen zwei plus zwei und das ist gleich vier
- das heißt die steigung an der stelle zwei hier wäre 4 die steigung dieser tangente wäre 4 wenn sie an der stelle zwei ist wie gesagt
- diese vier die nennt man grenzwert also der grenzwert wenn dieses dagegen 2 strebt ist dann vier fachwort für grenzwert ist limes weil limes so hat
- man den grenzwall des römischen reichs genannt also grenze limes grenzwert und in diesem fall ist der grenzwert die 4 wenn man es mit dem differenzen
- patienten schreibt würde im anschreiben f von a minus von 2 durch - 2 wir hier oben und da kam mir letztendlich vier raus und zwar dann wenn sich dieses der
- zwei annähert und dazu schreibst du dann limes als oem ein kleiner pfeil und eine 2 und dahinter der differenzen prozent und
- man spricht das ganze dann limes a gegen zwei von ffn 2 durch - 2 ist gleich vier schauen wir uns das ganze nochmal grafisch an früher hatten wir sie
- kannten zwischen zwei punkten jetzt haben wir hier tangenten die nur an einem punkt berühren und die funktions gleich und einer tangente ist wie bei
- einer sie kannte y gleich einmal ex + c oder eben app von iks ist gleich ehemalige plus ccw der y achsen abschnitt und m die steigung diese
- steigung haben wir gerade ausgerechnet mit diesem grenzwert wenn der differenzen prozent eine funktion f an der stelle dagegen ein
- grenzwert strebt also wir haben hier eine stelle rechnen den differenzen kurz hinter aus da kommt da ein grenzwert raus dann nennt man es an der stelle
- differenzierter hier steckt schon drin dass das nicht immer funktioniert manchmal kann man diesen grenzwert nicht berechnen das geht nicht und dann ist es
- an der stelle an nicht differenziert war das wäre zum beispiel bei so einem knick der fall angenommen wir hätten hier eine funktion und die hat dann irgendwo so
- ein knick und hier können wir ja keine steigung berechnen also wir können dieses intervall unendlich klein machen aber an diesen knick ist die funktion
- nicht differenziert es gibt auch funktions grafen die zum beispiel so aussehen und an einer gewissen stelle gar nicht definiert sind hier können wir
- natürlich auch keinen grenzwert ausrechnen das heißt auch hier wer diese funktion nicht differenziert war es gibt
- funktionen die an jeder stelle differenzierter sind die nennt man dann einfach differenzierter wir werden uns jetzt am anfang aber bestimmte stellen
- anschauen deswegen sagt man immer fs an der stelle differenzierter wenn der differenzen prozent von f an der stelle dagegen ein
- grenzwert strebt sagen wir mal unser intervall geht es von a bis b dann wird es zu schreiben lieben es b gegen a also wir lassen das jetzt gegen
- das laufen von f von b von a durch das ist die neue schreibweise die haben ja gelernt und auch hierfür gibt
- es noch eine abkürzung es geht ja gerade um diese stelle und man schreibt dann f strich von aa- also nicht efta seine f strich von a hiermit ist es die steigung
- an der stelle gemeint und die berechnet du eben mit diesem limes dass differenzen prozenten das hier ist jetzt die momentane änderungsraten also nicht
- mehr die durchschnittliche steigung oder die mittlere änderungsraten sondern die momentane änderungsraten und die nennt man wie gesagt auch ableitung also
- differenzieren oder differenzierter könnte man auch sagen ableitbar die ableitung an dieser stelle ist die steigung an der stelle
- das heißt hier dieses m könnte man auch als aufstrich von ah bezeichnen und das ist ja gerade die steigung der tangente ziemlich viel auf einmal wenn man es zum
- ersten mal hört wir rechnen noch ein beispiel du hast die funktion f von iks ist gleich 10x quadrat und soll es die
- ableitung also f strich von drei berechnen also wir wollen die steigung an der stelle drei dazu nimmst du den differenzen quotienten
- und wir nehmen ein intervall sagen wir mal von 3 bis b und dieses b wird später sich immer mehr der drei annähernd so dass das intervall unendlich klein wird
- also wenn differenzen prozent ihr berechnet würdest du schreiben er von b - f von 3 durch - 3 so erfolgt wäre 10 b quadrat von drei wäre zehn mal drei
- im quadrat durch b - 3 und jetzt können wir die zehn mal noch ausklammern also zehnmal auf b quadrat - drei quadrat durch b - 3 und
- jetzt möchten wir wieder um formen sodass wir später kürzen können wieder die dritte genomische formel
- das heißt die zehn lassen wir außen vor b quadrat - drei im quadrat könntest du schreiben als b + 3 x vj -3 durch b - 3 jetzt kannst du kürzen
- also bleibt da 10 x b + 3 übrig und wir wollen ja den grenzwert haben also eher strich von 3 und das ist jetzt eben der limes also die miss von wir lassen das b
- gegen die drei laufen limes gegen drei von dem was wir hier vereinfacht haben also zehnmal b + 3 ja was passiert wenn das be zu 3 wird dann steht hier sechs
- also zehnmal 6 ist 60 und damit haben wir es berechnet er strich von 3 ist 60 oder in anderen worten die ableitung der funktion f an der stelle 63