Verteilungsfunktion

Grundidee und Definition

Die Verteilungsfunktion ist eine zentrale reelle Funktion der Stochastik. Sie beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeiten einer reellwertigen Zufallsvariablen bis zu einer gegebenen Grenze ansammeln. Für eine reelle Zufallsvariable X ist sie definiert durch

F_X(x) = P(X ≤ x).

Ihr Wert an der Stelle x ist also die Wahrscheinlichkeit, dass X höchstens x beträgt. Bei einer Verteilung von Schuhgrößen wäre F(45) beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig betrachtete Person Schuhgröße 45 oder kleiner besitzt.

Ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen, lautet die entsprechende Definition

F_P: ℝ → [0,1], F_P(x) = P((−∞,x]).

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist damit genau die Verteilungsfunktion ihrer Verteilung.

Ihre besondere Bedeutung folgt aus dem Korrespondenzsatz: Zu jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ℝ gehört genau eine Verteilungsfunktion, und zu jeder Verteilungsfunktion gehört genau eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese Zuordnung ist bijektiv. Dadurch können Verteilungen, die maßtheoretisch als Mengenfunktionen definiert sind, mithilfe reeller Funktionen und der Methoden der Analysis untersucht werden.

Kennzeichen und Arten von Verteilungen

Jede Verteilungsfunktion F: ℝ → [0,1] besitzt drei grundlegende Eigenschaften:

• F ist monoton steigend.
• F ist rechtsseitig stetig.
• Es gilt lim_{x→−∞} F(x) = 0 und lim_{x→∞} F(x) = 1.

Umgekehrt ist jede Funktion mit genau diesen drei Eigenschaften eine Verteilungsfunktion. Zu ihr existiert eindeutig ein Wahrscheinlichkeitsmaß P_F auf den Borelmengen 𝓑(ℝ), sodass P_F((−∞,x]) = F(x) für alle x ∈ ℝ gilt. Umgekehrt erzeugt jedes Wahrscheinlichkeitsmaß P eindeutig eine Funktion F_P mit derselben Beziehung. Dabei gilt P_(F_P) = P und F_(P_F) = F.

Eine Verteilungsfunktion besitzt höchstens abzählbar viele Sprungstellen. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes x ist die Sprunghöhe an dieser Stelle:

P_F({x}) = F(x) − lim_{ε→0+} F(x−ε).

Daher ist F genau dann stetig, wenn P({x}) = 0 für alle x ∈ ℝ gilt.

Nach ihrer Verteilungsfunktion unterscheidet man mehrere Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diskrete Verteilungen besitzen sprungförmige Verteilungsfunktionen: Zwischen den möglichen Werten ist die Funktion konstant, an Werten mit positiver Einzelwahrscheinlichkeit springt sie. Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben eine stetige Verteilungsfunktion. Zu ihnen gehören absolutstetige Verteilungen, bei denen eine Wahrscheinlichkeitsdichte existiert, und stetigsinguläre Verteilungen ohne Dichte. Normal- und Exponentialverteilung sind absolutstetig; die Cantor-Verteilung ist stetigsingulär. Bei absolutstetigen Verteilungen entspricht die Ableitung der Verteilungsfunktion der Dichte. Stetigsinguläre Verteilungsfunktionen sind zwar fast überall differenzierbar, ihre Ableitung ist jedoch fast überall null. Daneben sind gemischte Verteilungen möglich.

Berechnung bei stetigen und diskreten Verteilungen

Besitzt ein Wahrscheinlichkeitsmaß P eine Wahrscheinlichkeitsdichte f_P, dann gilt

P((a,b]) = ∫_a^b f_P(x) dx

und damit

F_P(x) = ∫_{−∞}^x f_P(t) dt.

Die Exponentialverteilung mit Parameter λ besitzt die Dichte

f_λ(x) = λe^(−λx) für x ≥ 0 und f_λ(x) = 0 für x < 0.

Für X ∼ Exp(λ) folgt

F_X(x) = 1 − e^(−λx) für x ≥ 0 und F_X(x) = 0 für x < 0.

Dieses Vorgehen ist nicht immer möglich: Diskrete Verteilungen besitzen als Verteilungen auf ℝ keine Dichtefunktion. Außerdem muss selbst bei vorhandener Dichte keine Stammfunktion in geschlossener Form existieren, beispielsweise bei der Normalverteilung.

Für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable X mit p ∈ (0,1) gilt P(X=0)=1−p und P(X=1)=p. Ihre Verteilungsfunktion lautet

F_X(x) = 0 für x < 0, F_X(x) = 1−p für 0 ≤ x < 1, F_X(x) = 1 für x ≥ 1.

Nimmt X allgemein nur Werte in den nichtnegativen ganzen Zahlen ℕ₀ an, dann gilt

F_X(x) = Σ_{k=0}^{⌊x⌋} P(X=k).

Dabei bezeichnet ⌊x⌋ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Median

Aus einer Verteilungsfunktion F lassen sich Wahrscheinlichkeiten unmittelbar berechnen:

P(X ≤ a) = F(a), P(X > a) = 1 − F(a), P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a) für a ≤ b.

Bei diskreten Verteilungen muss genau auf die Ungleichheitszeichen und auf offene oder abgeschlossene Intervallgrenzen geachtet werden. Einzelne Punkte können positive Wahrscheinlichkeit besitzen und dürfen daher nicht versehentlich einbezogen oder ausgelassen werden. Bei stetigen Verteilungen verändert der Austausch von < und ≤ die Wahrscheinlichkeit nicht.

Bei einem idealisierten Würfelwurf ist für die Augenzahl X beispielsweise

P(2 < X ≤ 5) = F(5) − F(2) = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.

Auch Erwartungswert und Median lassen sich über F bestimmen. Ein Median m erfüllt

lim_{t→m−} F(t) ≤ 1/2 ≤ F(m).

Beim idealisierten Würfelwurf ergibt sich der Erwartungswert der Augenzahl aus

E(X) = ∫_0^∞ (1−F(x)) dx = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 3,5.

Jede reelle Zahl m mit 3 ≤ m ≤ 4 ist in diesem Beispiel ein Median.

Konvergenz und alternative Konvention

Eine Folge von Verteilungsfunktionen (F_n)_{n∈ℕ} heißt schwach konvergent gegen F, wenn

lim_{n→∞} F_n(x) = F(x)

für alle Stellen x gilt, an denen F stetig ist. Bei Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen spricht man auch von Konvergenz in Verteilung oder stochastischer Konvergenz.

Nach dem Satz von Helly-Bray ist eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen genau dann schwach konvergent, wenn ihre Verteilungsfunktionen schwach konvergieren. Entsprechend konvergiert eine Folge von Zufallsvariablen genau dann in Verteilung, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Diese Aussage wird teilweise auch dem Portmanteau-Theorem zugeordnet. Für Verteilungsfunktionen im allgemeineren maßtheoretischen Sinn entspricht die angegebene Definition dagegen der vagen Konvergenz; bei Wahrscheinlichkeitsmaßen fällt sie mit der schwachen Konvergenz zusammen. Der Lévy-Abstand metrisiert die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen.

Neben der heute vorherrschenden Definition F(x)=P(X≤x) findet sich in der Tradition Kolmogorows auch die Konvention F(x)=P(X<x). Bei stetigen Verteilungen stimmen beide Definitionen überein. Bei diskreten Verteilungen ist die Funktion nach der üblichen ≤-Konvention rechtsseitig, nach der <-Konvention dagegen linksseitig stetig.

Für eine Binomialverteilung lautet die übliche Form

F(x)=P(X≤x)=Σ_{k=0}^{min(n,⌊x⌋)} (n über k)p^k(1−p)^(n−k).

Bei der <-Konvention gilt

F(x)=P(X<x)=Σ_{k=0}^{min(n,⌈x−1⌉)} (n über k)p^k(1−p)^(n−k).

Insbesondere ist dann für m ∈ ℕ: F(m)=Σ_{k=0}^{m−1}P(X=k).

Verwandte Funktionen und Verallgemeinerungen

Die empirische Verteilungsfunktion einer Stichprobe (x₁,…,xₙ) ist das Gegenstück in der deskriptiven Statistik. Formal ist sie die Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung auf den Stichprobenpunkten. Nach dem Satz von Gliwenko-Cantelli konvergiert die empirische Verteilungsfunktion einer unabhängigen Stichprobe gegen die Verteilungsfunktion der Verteilung, aus der die Zufallszahlen erzeugt wurden.

Die gemeinsame Verteilungsfunktion überträgt das Konzept auf die gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallsvariablen; Rand-Verteilungsfunktionen gehören zu deren Randverteilungen. Ihr Definitionsbereich ist ℝ^k mit k ≥ 1. Die multivariate Verteilungsfunktion gehört zu multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Als mehrdimensionale Verteilungsfunktion bezeichnet man dagegen meist das höherdimensionale Gegenstück zur Verteilungsfunktion im maßtheoretischen Sinn.

Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion kann unter bestimmten Voraussetzungen als Umkehrfunktion dienen und ist für die Bestimmung von Quantilen wichtig. Verteilungsfunktionen im Sinne der Maßtheorie werden nicht nur für Wahrscheinlichkeitsmaße, sondern für beliebige endliche Maße auf ℝ definiert und verallgemeinern damit den hier behandelten Begriff.

Die Überlebensfunktion betrachtet die Gegenrichtung: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, einen bestimmten Wert zu überschreiten. Bei der Modellierung von Lebensdauern beschreibt sie beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Zeitpunkt zu „überleben“.