Stieltjesintegral

Grundidee und Riemann-Stieltjes-Integral

Das Stieltjesintegral verallgemeinert das Riemannintegral und konkretisiert zugleich den Integralbegriff von Lebesgue. Es wird unter anderem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik verwendet. Entscheidend ist neben dem Integranden f der Integrator h, der festlegt, wie stark die Werte von f an verschiedenen Stellen gewichtet werden. Deshalb heißt h auch Gewichtsfunktion.

Es seien a,b ∈ ℝ mit a < b sowie f,h: [a,b] → ℝ. Für das Riemann-Stieltjes-Integral wird vorausgesetzt, dass der Integrand f beschränkt ist und der Integrator h monoton wächst, wobei er nicht streng monoton sein muss. Für eine Zerlegung a = t₀ < t₁ < … < tₙ = b lauten die Stieltjes-Obersumme und die Stieltjes-Untersumme

S̅ₙ = ∑ᵢ₌₁ᴺ sup{f(t): t ∈ [tᵢ₋₁,tᵢ]} · (h(tᵢ) − h(tᵢ₋₁))

und

S̲ₙ = ∑ᵢ₌₁ᴺ inf{f(t): t ∈ [tᵢ₋₁,tᵢ]} · (h(tᵢ) − h(tᵢ₋₁)).

Anders als beim gewöhnlichen Riemannintegral werden die größten beziehungsweise kleinsten Funktionswerte also nicht mit der Intervalllänge tᵢ − tᵢ₋₁, sondern mit dem Zuwachs h(tᵢ) − h(tᵢ₋₁) des Integrators multipliziert. Konvergieren Ober- und Untersumme bei immer feineren Zerlegungen gegen denselben Wert, heißt f bezüglich h auf [a,b] Riemann-Stieltjes-integrierbar. Man schreibt

∫ₐᵇ f dh oder ∫ₐᵇ f(t) dh(t).

Für h(x) = x erhält man als Spezialfall das gewöhnliche Riemannintegral. Bei stetigem f kann das Integral auch für kompliziertere Integratoren existieren. Ein Beispiel ist die Cantor-Funktion: Sie wächst stetig und monoton von 0 auf 1, obwohl ihre Ableitung fast überall 0 ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge. Auch unstetige monotone Sprungfunktionen sind möglich, etwa die Heaviside-Funktion h(t) = 0 für t < 0 und h(t) = 1 für t ≥ 0.

Lebesgue-Stieltjes-Integral

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue-Integrals. Eine monotone Funktion h bestimmt dabei ein Borel-Maß μₕ, also ein Maß auf den Borel-Mengen. Seine Werte auf Intervallen sind durch

μₕ([x,y[) = h(y−) − h(x−), μₕ([x,y]) = h(y+) − h(x−), μₕ(]x,y]) = h(y+) − h(x+)

festgelegt. Dabei bezeichnet h(y−) den linksseitigen und h(y+) den rechtsseitigen Grenzwert von h an der Stelle y. Ist h die Identitätsfunktion, so ist μₕ das Lebesgue-Maß.

Ist f bezüglich μₕ Lebesgue-integrierbar, wird das Lebesgue-Stieltjes-Integral definiert durch

∫ₐᵇ f dh = ∫ₐᵇ f dμₕ.

Die rechte Seite ist ein gewöhnliches Lebesgue-Integral. Der Integrator h geht somit über das von ihm erzeugte Maß in die Gewichtung ein.

Nicht monotone Integratoren

Das Stieltjesintegral lässt sich auch für bestimmte Integratoren definieren, die nicht monoton wachsen. Voraussetzung ist, dass h auf [a,b] von endlicher Variation ist. Eine solche Funktion kann stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen geschrieben werden:

h = h₁ − h₂,

wobei h₁,h₂: [a,b] → ℝ monoton wachsen. Dann definiert man das Stieltjesintegral im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinn durch

∫ₐᵇ f dh := ∫ₐᵇ f dh₁ − ∫ₐᵇ f dh₂.

Diese Definition ist wohldefiniert: Ihr Ergebnis hängt nicht davon ab, welche konkrete Darstellung von h als Differenz monoton wachsender Funktionen gewählt wird.

Rechenregeln und wichtige Spezialfälle

Das Stieltjesintegral ist linear im Integranden. Für Konstanten α,β ∈ ℝ gilt, sofern die Integrale existieren,

∫ₐᵇ (αf + βg) dh = α∫ₐᵇ f dh + β∫ₐᵇ g dh.

Es ist außerdem linear im Integrator. Sind g und h Funktionen endlicher Variation, dann gilt

∫ₐᵇ f d(αg + βh) = α∫ₐᵇ f dg + β∫ₐᵇ f dh.

Eine konstante Verschiebung des Integrators ändert das Integral nicht:

∫ₐᵇ f d(h + c) = ∫ₐᵇ f dh.

Ist f stetig und h eine Treppenfunktion mit Sprüngen in t₁,…,tₙ ∈ ]a,b[ und Sprunghöhen Δh₁,…,Δhₙ, dann wird nur an diesen Sprungstellen gewichtet:

∫ₐᵇ f dh = ∑ᵢ₌₁ⁿ f(tᵢ)Δhᵢ.

Ist h stetig differenzierbar, kann das Stieltjesintegral auf ein gewöhnliches Integral zurückgeführt werden:

∫ₐᵇ f(x) dh(x) = ∫ₐᵇ f(x)h′(x) dx.

Im Lebesgueschen Sinn ist h′ dabei die Dichte des Maßes μₕ. Dieselbe Formel gilt, wenn h absolut stetig ist. Dann ist h fast überall differenzierbar und h′ ist integrierbar.

Für das Riemann-Stieltjes-Integral gilt außerdem die partielle Integration:

∫ₐᵇ f(x) dh(x) = f(b)h(b) − f(a)h(a) − ∫ₐᵇ h(x) df(x).