Mittelsenkrechte

Grundidee und gleichwertige Definitionen

Die Mittelsenkrechte (auch Mittellot oder österreichisch Streckensymmetrale) einer Strecke ist in der Ebene die Gerade durch deren Mittelpunkt, die senkrecht auf der Strecke steht. Sie ist wichtig, weil sie alle Punkte beschreibt, die von beiden Endpunkten gleich weit entfernt sind.

Für eine Strecke AB gilt gleichwertig: Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte X mit |XA| = |XB|. Liegt M in der Mitte von AB, folgt dies mit dem Satz des Pythagoras: |XA|² = |XM|² + |MA|² = |XM|² + |MB|² = |XB|². Außerdem ist X genau dann auf der Mittelsenkrechten, wenn X Mittelpunkt eines Kreises ist, der durch A und B geht.

Im dreidimensionalen Raum heißt die entsprechende Menge Mittellotebene. Sie besteht aus allen Punkten X mit |XA| = |XB| und steht senkrecht auf der Strecke AB durch deren Mittelpunkt.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Um die Mittelsenkrechte zu zwei gegebenen Punkten A und B zu konstruieren, zeichnet man um A und B Kreisbögen mit demselben Radius. Der Radius muss größer als die halbe Länge von AB sein. Die beiden Schnittpunkte X₁ und X₂ der Kreise haben jeweils gleichen Abstand zu A und B.

Die Gerade durch X₁ und X₂ ist daher die Mittelsenkrechte. Ihr Schnittpunkt mit der Strecke AB ist der Mittelpunkt M. So kann man M bestimmen, ohne ihn vorher zu kennen.

Gleichungen in Ebene und Raum

Seien a und b die Ortsvektoren von A und B. Der Mittelpunkt besitzt den Ortsvektor m = (a + b)/2. Der Vektor a − b ist ein Normalenvektor, also ein Vektor senkrecht zur Mittelsenkrechten. Ihre Normalenform lautet:

(x − m) · (a − b) = 0.

Daraus folgt die Vektorform:

x · (a − b) = 1/2(a² − b²).

Für A = (a₁|a₂) und B = (b₁|b₂) lautet die Koordinatenform in der Ebene:

(a₁ − b₁)x + (a₂ − b₂)y = 1/2(a₁² − b₁² + a₂² − b₂²).

Falls b₂ ≠ a₂, kann sie als y = m(x − x₀) + y₀ geschrieben werden, mit m = −(b₁ − a₁)/(b₂ − a₂), x₀ = 1/2(a₁ + b₁) und y₀ = 1/2(a₂ + b₂).

Für die Mittellotebene im Raum kommt die z-Koordinate hinzu:

(a₁ − b₁)x + (a₂ − b₂)y + (a₃ − b₃)z = 1/2(a₁² − b₁² + a₂² − b₂² + a₃² − b₃²).

Beispiele

Für A = (2,5|−5) und B = (6|2) ergibt sich aus der Koordinatenform die Geradengleichung der Mittelsenkrechten:

4x + 8y = 5.

Für die Punkte A = (2|1,5|1) und B = (1|2,5|5) ergibt sich für die Mittellotebene:

x − y − 4z = −12,5,

beziehungsweise 2x − 2y − 8z = −25.

Anwendungen und Dreiecke

Mittelsenkrechten helfen unter anderem beim zeichnerischen Bestimmen eines Streckenmittelpunktes für einen Thaleskreis, beim Rekonstruieren eines Kreismittelpunkts aus drei gegebenen Kreispunkten, bei Spiegelungen von A auf B sowie als Begrenzungen in Voronoi-Diagrammen.

In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt: dem Umkreismittelpunkt. Der Umkreis mit diesem Mittelpunkt geht durch alle drei Ecken des Dreiecks. Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte zum Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel zugleich Winkelhalbierende sein; dies ist besonders vorteilhaft, wenn der Scheitel außerhalb der Zeichenebene liegt.