Lineare Unabhängigkeit

Grundidee und Definition

Lineare Unabhängigkeit ist ein Grundbegriff der linearen Algebra. Eine Familie von Vektoren eines Vektorraums heißt linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination erzeugt werden kann, also nur dann, wenn alle Koeffizienten gleich null sind. Eine Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen der Vektoren.

Ist V ein Vektorraum über einem Körper K und sind v_1, v_2, ..., v_n Vektoren aus V, dann heißen sie linear unabhängig, wenn aus

a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n = 0

immer folgt:

a_1 = a_2 = ... = a_n = 0.

Die Zahlen a_1, a_2, ..., a_n stammen aus dem Grundkörper K. Der Nullvektor 0 ist ein Element des Vektorraums V; die Zahl 0 als Koeffizient ist ein Element des Körpers K.

Sind die Vektoren nicht linear unabhängig, heißen sie linear abhängig. Dann gibt es eine nichttriviale Linearkombination, also eine Darstellung des Nullvektors, bei der mindestens ein Koeffizient ungleich null ist. Äquivalent bedeutet das: Mindestens einer der Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen, aber nicht unbedingt jeder.

Für eine beliebige Indexmenge I heißt eine Familie (v_i)_{i in I} linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Sie ist linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge J von I und Koeffizienten a_j gibt, von denen mindestens einer ungleich null ist, sodass

sum_{j in J} a_j v_j = 0

gilt.

Der Begriff kann auch für Teilmengen eines Vektorraums benutzt werden. Dabei zählt jeder Vektor nur einmal. Deshalb kann eine Familie wie (v_1, v_1, v_2) linear abhängig sein, weil ein Vektor doppelt vorkommt, während die Menge {v_1, v_1, v_2} = {v_1, v_2} linear unabhängig sein kann.

Wichtige Eigenschaften

Eine wichtige Charakterisierung lautet: Vektoren v_1, ..., v_n sind genau dann linear unabhängig, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Diese Aussage gilt jedoch nicht allgemein für Moduln über Ringen.

Das Abhängigkeitslemma beschreibt eine typische Situation: Sind v_1, ..., v_n linear unabhängig, aber v_1, ..., v_n, w linear abhängig, dann lässt sich w als Linearkombination von v_1, ..., v_n schreiben.

Lineare Unabhängigkeit vererbt sich auf kleinere Familien: Ist eine Familie von Vektoren linear unabhängig, dann ist jede Teilfamilie ebenfalls linear unabhängig. Umgekehrt gilt: Ist eine Familie linear abhängig, dann ist jede größere Familie, die sie enthält, ebenfalls linear abhängig.

Elementare Umformungen der Vektoren verändern lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit nicht. Enthält eine Familie den Nullvektor, ist sie immer linear abhängig, denn der Nullvektor kann mit einem beliebigen, insbesondere nichtverschwindenden Koeffizienten multipliziert werden, ohne dass sich die Summe ändert.

In einem d-dimensionalen Raum ist jede Familie aus mehr als d Vektoren linear abhängig. Das ist eine zentrale Schranke: In einem Raum können nicht mehr Vektoren unabhängig sein, als seine Dimension angibt.

Prüfen mit Determinante und Zusammenhang mit Basen

Für n Vektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum gibt es eine praktische Prüfmethode, wenn die Vektoren bezüglich einer festen Basis als Zeilen- oder Spaltenvektoren vorliegen. Man fasst sie zu einer n x n-Matrix zusammen und berechnet deren Determinante. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante ungleich 0 ist.

Lineare Unabhängigkeit ist außerdem zentral für den Begriff der Basis. Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Ein Erzeugendensystem ist eine Menge oder Familie von Vektoren, aus deren Linearkombinationen alle Vektoren des Raums entstehen. Eine Basis verbindet also zwei Eigenschaften: Sie erzeugt den ganzen Vektorraum, enthält aber keine überflüssigen Vektoren. Besonders in endlichdimensionalen Vektorräumen ermöglicht eine Basis das Rechnen mit Koordinaten.

Typische Beispiele mit Vektoren

Im dreidimensionalen euklidischen Raum R^3 sind die Vektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) linear unabhängig. Dagegen sind (2,-1,1), (1,0,1) und (3,-1,2) linear abhängig, denn der dritte Vektor ist die Summe der beiden ersten. Auch (1,2,-3), (-2,-4,6) und (1,1,1) sind linear abhängig, weil

2 · (1,2,-3) + (-2,-4,6) = (0,0,0).

Hier ist der dritte Vektor jedoch nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar.

Ein einzelner Vektor v ist genau dann linear unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist. Denn aus a · v = 0 folgt für a aus K und v aus V nur a = 0 oder v = 0.

In R^2 sind die Vektoren u = (1,1)^T und v = (-3,2)^T linear unabhängig. Setzt man a u + b v = 0, ergibt sich das Gleichungssystem a - 3b = 0 und a + 2b = 0. Es hat nur die Lösung a = 0 und b = 0.

Die kanonischen Einheitsvektoren e_1 = (1,0,0,...,0), e_2 = (0,1,0,...,0), ..., e_n = (0,0,0,...,1) sind im Vektorraum R^n linear unabhängig. Denn aus a_1 e_1 + a_2 e_2 + ... + a_n e_n = 0 folgt (a_1, a_2, ..., a_n) = 0, also a_i = 0 für alle i aus {1,2,...,n}.

Geometrisch gilt: Zwei nicht parallele Vektoren können eine Ebene definieren und linear unabhängig sein. Drei Vektoren, die in derselben Ebene liegen, sind linear abhängig. Zwei parallele Vektoren sind linear abhängig. Drei Vektoren können einen dreidimensionalen Raum definieren, wenn die ersten beiden unabhängig sind und der dritte nicht als Linearkombination der beiden darstellbar ist, also nicht in derselben Ebene liegt.

Funktionen, Reihen, Matrizen und Zahlen

Auch Funktionen können als Vektoren betrachtet werden. Im Vektorraum aller Funktionen f: R -> R sind die Funktionen e^t und e^{2t} linear unabhängig. Gilt a e^t + b e^{2t} = 0 für alle t in R, dann ergibt Ableiten die zweite Gleichung a e^t + 2b e^{2t} = 0. Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, erhält man b e^{2t} = 0. Für t = 0 folgt b = 0; danach folgt aus der ersten Gleichung auch a = 0.

Bei Reihen ist wichtig, dass Linearkombinationen endlich sind. Im Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen f: (0,1) -> R gilt zwar

1/(1-x) = sum_{n=0}^{infty} x^n,

aber trotzdem sind 1/(1-x), 1, x, x^2, ... linear unabhängig. Endliche Linearkombinationen der Potenzen von x sind nur Polynome und keine allgemeinen Potenzreihen. Insbesondere sind sie in der Nähe von 1 beschränkt, während 1/(1-x) dort nicht beschränkt ist.

Bei Matrizen kann man die Zeilen oder Spalten als Vektoren betrachten. Sind die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig, heißt die Matrix regulär; andernfalls heißt sie singulär. Bei quadratischen Matrizen sind die Spalten genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Als Beispiel einer Folge regulärer Matrizen wird die Hilbert-Matrix genannt.

Reelle Zahlen können über den rationalen Zahlen als Koeffizienten betrachtet werden. Sind sie dann linear unabhängig, nennt man sie rational unabhängig oder inkommensurabel. Die Zahlen {1, 1/sqrt(2)} sind rational unabhängig oder inkommensurabel; die Zahlen {1, 1/sqrt(2), 1 + sqrt(2)} sind rational abhängig.

Verallgemeinerungen

Die Definition linear unabhängiger Vektoren lässt sich analog auf Elemente eines Moduls anwenden. In diesem Zusammenhang heißen linear unabhängige Familien auch frei; dazu gehört der Begriff des freien Moduls.

Weiter kann der Begriff der linearen Unabhängigkeit zu unabhängigen Mengen verallgemeinert werden. Ein mathematischer Rahmen dafür ist das Matroid.