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Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit - Vektorräume
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 45 Zeilen
- Yeah, eine fette Produktion. Und kennt ihr das Ding, die amerikanische Unabhängigkeitserklärung. Beides hat absolut mal gar nichts mit
- Mathe zu tun, oder doch? [Musik] Heute geht's mal wieder um Vektorräume. Damit ihr hier versteht, von was wir
- labern, schaut euch auch die beiden Videos zu den Vektorräumen an. Heute gucken wir uns an, wie Vektoren gebaut werden. Wir wollen heute die erzeugenden
- Systeme von Vektorräumen angucken und wir wollen wissen, was lineare Unabhängigkeit heißt. Klar, dass da was erzeugt wird, ist ja logisch, aber was?
- Gucken wir uns mal den dreidimensionalen Vektorraum aus der Schule an, der mit reellen Elementen uns den Verknüpfungen plus und mal, wie ihr sie kennt. Zur
- Vereinfachung schreiben wir das Vektor Plus und die skalare Multiplikation hier mal ganz normal. Details zu dem Unterschied gibt's in den Vektorraumvos
- von uns, die wir gerade schon verlinkt haben. Wenn ihr z.B. den Vektor 324 anguckt, der ist ja das gleiche wie 3 x 1 00 + 2 x 0 1 0 + 4 x 001. Ihr habt
- also gerade aus den drei Vektoren 100, 010 und 001 und Körperelementen einen neuen Vektor gebastelt. Und egal, welchen Vektor ihr bauen wollt, aus den
- drei Vektoren kriegt ihr den zusammen mit den richtigen Elementen aus den reellen Zahlen immer gebaut. Also sind die drei Vektoren sowas wie ein Bausatz.
- Könnt ihr euch so wie die verschiedenen Zellen in eurem Körper vorstellen. Der Mensch hat davon nur paar hundert verschiedene Muskelzellen, anderem Hirn,
- Blut, Körperchen, Spermien und Eizellen. Weiß der Geier was noch. Aber mehrere Muskelzellen zusammen geben erst einen Muskel. Erst paar Hirnzellen zusammen
- machen ein Hirn. Euer Körper ist deshalb wie aus einem Bausatz aufgebaut aus den Zellen. Genauso ist es auch mit den Vektorräumen. Jeder Vektorraum lässt
- sich aus so bestimmten Bausatzveoren zusammenbauen und der Bausatz für einen Vektorraum hat einen Namen. Wenn man aus einem Bausatz E alle Vektoren im
- Vektorraum V bauen kann, dann wird der Bausatz erzeugenden System von V genannt. Wir haben ja den Vektor 324 vor und zu zusammengebaut. Genauso gut kann
- man den aber auch so zusammenbauen. Könnt gerne nachrechnen. Euer Bausatz ist also nicht eindeutig. Also, wenn ihr sagt: "Ey, ich baue meinen Körper nicht
- aus den Zellen auf, sondern die Zellen baue ich erstmal vorher aus den verschiedenen chemischen Elementen auf, dann wäre euer Körper jetzt zwar nach
- wie vor aus Zellen aufgebaut, aber die sind ja auch aus Elementen aufgebaut, also auch euer Körper." Was ist jetzt also die Definition von dem erzeugenden
- System? Na ja, es stimmt immer noch das, was vorhin war. Wenn ihr jeden Vektor draus bauen könnt, ist es ein erzeugendsystem. Nur gibt's mehrere
- Baukästen, die funktionieren. Und ihr könnt auch aus demselben Baukasten auf unterschiedliche Weise den Vektor bauen. Also ist auch nicht eindeutig, welche
- Zahlen ihr da vorne dran nehmt. Gut, Baukasten klingt nicht wahnsinnig mathematisch. Also, wie sieht das formal aus? Wir machen jetzt mal Vektorpfeile
- drüber und damit ihr den Unterschied zwischen Zahlen und Vektoren seht. Ihr nehmt einen beliebigen Vektor aus eurem Vektorraum. Wenn ihr jeden Vektor mit
- dem gleichen Set an Bauvektoren E aufbauen könnt, dann ist das Set ein erzeugendystem. Dabei gibt's für jeden Vektor mehrere Möglichkeiten, welche
- Zahlen ihr nehmt und auch mehrere Möglichkeiten, mit welchem Bausatz ihr überhaupt anfangt. Ach ja, wenn ihr den Vektorraum nehmt und einfach alle
- Vektoren draus, dann ist das auch ein erzeugendes System, weil mit allen Vektoren könnt ihr ja auch wohl alle Vektoren zusammenbauen. Jetzt ist
- natürlich nur blöd, dass man den Vektor auf verschiedene Weisen aus dem Bausatz aufbauen kann. Die nichtutigkeit pisst noch bisschen an. Woran liegt das? wenn
- man einen von den Bauklötzen aus den anderen Bauklötzen aufbauen kann. Ihr habt z.B. die drei Bauklötze als erzeugenden System. Jetzt könnt ihr aber
- den dritten ja einfach aus den ersten beiden aufbauen. Die hängen also irgendwie zusammen und das kann auch bei erzeugenden Systemen mit Vektorräumen so
- sein. Erinnert sich noch jemand an unser Beispiel von vorhin? Die grünen Vektoren sind Teil des erzeugenden Systems. Jetzt merken wir aber irgendwann, hey, den
- letzten Vektor kann ich ja aus den drei anderen zusammenbasteln. Fachwort dafür: Der Vektor ist von den anderen dreien linear abhängig. Wenn
- eine Menge von Vektoren linear abhängig ist, gilt, ich kann mit einem bestimmten Rezept paar Vektoren aus der Menge zusammenrechnen und krieg dann andere
- Vektoren aus der Menge raus. Das war so wie bei den Bauklötzchen. Da konnte ich zwei zusammenpacken, um den dritten zu bekommen. Ein Spezialfall? Klar, wenn
- ich für alle Zahlen null einsetze, stimmt das immer. Deswegen nennt man es die triviale Lösung, wenn einfach überall null eingesetzt wird. Man kann
- die rechte Seite jetzt auch noch nach links bringen, dann steht rechts der Nullvektor. Immer wenn ihr paar Vektoren so zusammenbauen könnt, sind sie linear
- abhängig. Also, sobald ihr die Vektoren aus dem erzeugenden System so zusammenbasteln könnt, dass am Ende der Nullvektor rauskommt, sind sie linear
- abhängig. Nur dürft ihr nicht null einsetzen. Die Bedingung für das Gedöns in Matheddeutsch sieht so aus. Ihr müsst die Vektoren E halt irgendwie so
- verknüpfen können, dass ihr den Nullvektor bekommt. Dabei darf Lambda natürlich nicht 0 sein. Das war die triviale Lösung, die wir gerade hatten.
- Drückt einfach kurz Pause, um euch die Definition klar zu machen. Was könnte linear unabhängig dann bedeuten? Ihr müsst überall Null einsetzen, damit
- rechts der Nullvektor steht, weil klar, mit der Null geht's immer, aber eben mit keinen anderen Zahlen. Z.B. Die grünen Vektoren 100, 010 und 001 sind linear
- unabhängig. Ihr könnt keinen von denen dreien aus den beiden anderen aufbauen. Denkt kurz drüber nach, wenn das für euch logisch ist, habt ihr die lineare
- Unabhängigkeit verstanden. Also die Kurzform, ihr nehmt einen Baukasten an Vektoren. Wenn ihr da draus den kompletten Vektorraum bauen könnt, ist
- es ein erzeugenden System. Wenn ihr aus irgendwelchen Teilen im Baukasten andere Teile da drin bauen könnt, sind die linear abhängig. Also nur, wenn ihr paar
- Vektoren habt, von denen keiner aus den anderen gebastelt werden kann, dann sind sie linear unabhängig. Weil das Ganze wieder richtig trocken ist, kommt da
- bald auch wieder ein Beispielvideo dazu. Sobald es draußen ist, wird es hier rechts verlinkt. Und weil wir vorhin schon so von voll vielen assi mega
- geilen Zellen gelabert haben, guckt mal auf unserem Bio Channel vorbei und lasst unbedingt ein Abo. Da ist echt eine geile Abwechslung zu dem ganzen Mathte
- gelaber und versprochen auch nicht auf dem Niveau. Haut rein Freunde und macht's gut. Co?
Zum Nachlesen
Lineare UnabhängigkeitIn der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine …
Lineare HülleIn der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen, von [linear] span], Aufspann, Erzeugnis oder Abschluss genannt) …
NullvektorDer Nullvektor wird zur Definition einiger zentraler Begriffe der linearen Algebra wie lineare Unabhängigkeit, Basis und Kern verwendet. Er spielt eine …
VektorraumEin Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen …