Erzeugendensystem – einfach erklärt

Grundidee und Definition

Ein Erzeugendensystem ist eine Teilmenge einer mathematischen Struktur, aus deren Elementen durch die jeweils erlaubten Operationen jedes Element der gesamten Struktur dargestellt werden kann. Die Darstellung ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Ein Erzeugendensystem ist meist nicht eindeutig bestimmt; die gesamte Grundmenge ist häufig bereits ein mögliches Erzeugendensystem. Deshalb sucht man oft nach einem möglichst kleinen oder minimalen Erzeugendensystem.

In einem Vektorraum V über einem Körper K heißt E ⊆ V Erzeugendensystem von V, wenn jeder Vektor v ∈ V als Linearkombination v = λ₁e₁ + … + λₙeₙ mit n ∈ ℕ₀, λ₁,…,λₙ ∈ K und e₁,…,eₙ ∈ E dargestellt werden kann. Ein Vektorraum heißt endlich erzeugt, wenn er ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Vektoren besitzt.

In einer Gruppe G heißt E ⊆ G Erzeugendensystem, wenn jedes Gruppenelement als endliches Produkt von Elementen aus E und deren Inversen geschrieben werden kann. Eine Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Allgemein heißt die von einer Teilmenge erzeugte Unterstruktur ihr Erzeugnis; die Teilmenge wird auch erzeugende Menge oder Erzeuger genannt.

Erzeugung in Vektorräumen

Im Koordinatenraum ℝⁿ bilden die Standardbasisvektoren e₁ = (1,0,0,…,0), e₂ = (0,1,0,…,0), …, eₙ = (0,0,0,…,1) ein Erzeugendensystem. Jeder Vektor v = (v₁,…,vₙ) lässt sich als v = v₁e₁ + v₂e₂ + … + vₙeₙ darstellen. Zusätzliche, überflüssige Vektoren können hinzugefügt werden; sogar die Menge aller Vektoren von ℝⁿ erzeugt ℝⁿ. Ein Erzeugendensystem muss die Standardbasisvektoren auch nicht enthalten. Beispielsweise erzeugen die Vektoren f₁ = (−1,1,0,…,0), f₂ = (0,−1,1,…,0), …, fₙ = (0,0,0,…,−1) den Raum, weil jeder Vektor v durch v = (−v₁)f₁ + (−v₁−v₂)f₂ + … + (−v₁−v₂−…−vₙ)fₙ dargestellt werden kann.

Der Polynomraum ℝ[x] aller Polynome mit reellen Koeffizienten in einer Variablen ist nicht endlich erzeugt. Die Monome E = {1,x,x²,…,xᵏ,…} bilden ein Erzeugendensystem, denn jedes Polynom vom Grad n hat die Form f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙxⁿ und ist somit eine endliche Linearkombination von Monomen. Auch die Legendre-Polynome oder die Tschebyschow-Polynome können als Erzeugendensysteme dienen.

Im Folgenraum ω der reellen Folgen (a₀,a₁,a₂,…) bilden die Einheitsfolgen e₀ = (1,0,0,…), e₁ = (0,1,0,…), … kein Erzeugendensystem. Mit einer endlichen Linearkombination lassen sich nur Folgen mit endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern darstellen. Ein Erzeugendensystem von ω muss daher überabzählbar viele Elemente enthalten.

Der Nullvektorraum {0} besitzt sowohl die leere Menge E = ∅ als auch E = {0} als Erzeugendensystem. Die leere Summe ist per Definition der Nullvektor.

Ein Erzeugendensystem E heißt minimal, wenn kein e ∈ E entfernt werden kann, ohne dass E weiterhin den gesamten Vektorraum erzeugt. Jedes minimale Erzeugendensystem ist linear unabhängig und daher eine Basis. Folglich besitzt jeder Vektor bezüglich eines minimalen Erzeugendensystems eine eindeutige Linearkombination. Aus einem nichtminimalen Erzeugendensystem kann nach dem Basisauswahlsatz ein minimales ausgewählt werden; bei unendlichdimensionalen Vektorräumen wird dafür das Lemma von Zorn benötigt.

Für E ⊆ V ist der erzeugte Untervektorraum ⟨E⟩ der kleinste Untervektorraum, der E enthält. Er kann entweder als Durchschnitt aller E enthaltenden Untervektorräume oder als Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus E, also als lineare Hülle, beschrieben werden.

Erzeugung in Gruppen

Für eine Gruppe G besteht das Erzeugnis ⟨E⟩ einer Teilmenge E aus dem neutralen Element und allen endlichen Produkten a₁a₂…aₙ, bei denen für jedes i gilt: aᵢ ∈ E oder aᵢ⁻¹ ∈ E. Die Menge der Elemente aus E zusammen mit den Inversen von Elementen aus E ist ein symmetrisches Erzeugendensystem von ⟨E⟩.

Die additive Gruppe (ℤ,+) wird von {1} erzeugt; ebenso von {−1}. Auch {2,3} erzeugt ℤ, weil 3 + (−2) = 1 gilt. Dieses Erzeugendensystem ist minimal, obwohl es mehr Elemente enthält als {1} oder {−1}. Eine nichtleere Teilmenge E ⊆ ℤ erzeugt ℤ genau dann, wenn der größte gemeinsame Teiler d ihrer Elemente den Betrag |d| = 1 hat. Der euklidische Algorithmus liefert dafür eine Darstellung von d als ganze Linearkombination der Elemente aus E.

Eine Gruppe mit einem einelementigen Erzeugendensystem {a} heißt zyklisch. Sie besteht aus den ganzzahligen Potenzen G = {aᶻ | z ∈ ℤ}; auch {a⁻¹} erzeugt sie. Für jede natürliche Zahl n gibt es die zyklische Gruppe Cₙ mit genau n Elementen sowie die unendliche zyklische Gruppe C∞. Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph. Dabei ist C∞ isomorph zu (ℤ,+), während Cₙ isomorph zu ℤ/nℤ mit der Addition modulo n ist. In ℤ/nℤ ist jede zu n teilerfremde Zahl ein Erzeuger; ist n prim, ist jede Zahl a ≠ 0 ein Erzeuger.

Die Diedergruppe Dₙ ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks und besitzt 2n Elemente: n Drehungen r₀,…,rₙ₋₁ und n Spiegelungen s₀,…,sₙ₋₁. Ein Erzeugendensystem ist {r₁,s₀}, da rₖ = r₁ᵏ und sₖ = r₁ᵏs₀ gilt. Auch zwei benachbarte Spiegelungen sₖ,sₖ₊₁ erzeugen die Gruppe, weil r₁ = sₖ₊₁sₖ gilt.

Die additive Gruppe (ℚ,+) ist nicht endlich erzeugt. Die Menge der Stammbrüche {1/1,1/2,1/3,…} erzeugt sie, aber zu jeder endlichen Menge rationaler Zahlen findet sich eine rationale Zahl mit einem Nenner, der zu den vorhandenen Nennern teilerfremd ist. Auch (ℚ⁺,·) ist nicht endlich erzeugt; die Primzahlen bilden ein Erzeugendensystem.

Die triviale Gruppe {e} besitzt ∅ und {e} als Erzeugendensysteme, da das leere Produkt das neutrale Element ergibt. Ein Erzeugendensystem heißt symmetrisch, wenn a ∈ E genau dann gilt, wenn a⁻¹ ∈ E. Zu jedem endlichen symmetrischen Erzeugendensystem gehört ein Cayley-Graph; verschiedene solche Erzeugendensysteme derselben Gruppe liefern quasi-isometrische Cayley-Graphen.

Eine Gruppe kann außerdem als Bild der freien Gruppe F(E) unter einer kanonischen surjektiven Abbildung h:F(E)→G beschrieben werden. Der Kern N von h bestimmt G bis auf Isomorphie. Wenn N seinerseits durch eine Erzeugermenge M beschrieben wird, legt das Paar (E,M) die Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig fest.

Erzeugung in Ringen und Moduln

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Erzeugendensystem J ⊆ I eines Ideals I ⊆ R ermöglicht für jedes a ∈ I eine Darstellung a = r₁a₁ + … + rₙaₙ mit n ∈ ℕ₀, r₁,…,rₙ ∈ R und a₁,…,aₙ ∈ J. Ein Ideal heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente a₁,…,aₙ mit I = Ra₁ + … + Raₙ besitzt. Ein Hauptideal ist ein von einer einzigen Menge beziehungsweise einem einzigen Element erzeugtes Ideal. Der Ring R selbst ist insbesondere das von {1} erzeugte Hauptideal. Ein Ring ist genau dann noethersch, wenn alle seine Ideale endlich erzeugt sind.

Für einen linken R-Modul M ist E ⊆ M ein Erzeugendensystem, wenn jedes x ∈ M als endliche Summe x = r₁e₁ + … + rₙeₙ mit rᵢ ∈ R und eᵢ ∈ E darstellbar ist. Für rechte R-Moduln gilt die entsprechende analoge Definition. Ein Modul heißt endlich erzeugt, wenn eine endliche Teilmenge ihn erzeugt. Ein R-Modul heißt frei, wenn er ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Elementen besitzt.

Erzeugung in Maßtheorie und Topologie

Für eine Grundmenge X und ein Mengensystem 𝔈 ⊆ 𝒫(X) bezeichnet σ(𝔈) die von 𝔈 erzeugte σ-Algebra: die kleinste σ-Algebra auf X, die alle Mengen aus 𝔈 enthält. Sie wird als Durchschnitt aller solchen σ-Algebren konstruiert. Für einen topologischen Raum (X,𝒯) ist σ(𝒯), also die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält, die Borelsche σ-Algebra. Sie ist für die Integrationstheorie zentral.

In der Topologie entspricht ein Erzeugendensystem einer Subbasis. Ein Mengensystem 𝔈 ⊆ 𝒯 offener Mengen erzeugt die Topologie 𝒯, wenn aus seinen Mengen durch endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen jede offene Menge entsteht. Äquivalent ist 𝒯 die gröbste Topologie auf X, in der alle Mengen aus 𝔈 offen sind, beziehungsweise der Durchschnitt aller Topologien, die 𝔈 enthalten. Wenn beliebige Vereinigungen allein genügen, heißt 𝔈 eine Basis der Topologie.

In einer topologischen Gruppe versteht man unter dem Erzeugnis einer Menge E meist die kleinste abgeschlossene Untergruppe, die E enthält. Weil Verknüpfung und Inversenbildung stetig sind, ist der Abschluss des algebraischen Erzeugnisses ⟨E⟩ wieder eine Untergruppe. Das topologische Erzeugnis ist daher der Abschluss des Gruppenerzeugnisses. Eine topologische Gruppe mit einem endlichen Erzeugendensystem heißt topologisch endlich erzeugt. Die Gruppe der ganzen p-adischen Zahlen ℤₚ wird topologisch von 1 erzeugt, weil ℤ in ℤₚ dicht ist; sie ist damit topologisch endlich erzeugt und prozyklisch.

Die allgemeine mengentheoretische Formulierung fasst diese Beispiele zusammen: Gegeben seien eine Grundmenge X und ein System 𝔅 ⊆ 𝒫(X) möglicher Unterstrukturen sowie E ⊆ X. Existiert mindestens ein A ∈ 𝔅 mit E ⊆ A und ist 𝔅 unter nichtleeren beliebigen Durchschnitten abgeschlossen, dann gibt es eine eindeutig bestimmte kleinste solche Struktur. Ihr Erzeugnis ist A = ⋂ {B ∈ 𝔅 | E ⊆ B}. Für Vektorräume sind die Elemente von 𝔅 die Untervektorräume, für Gruppen die Untergruppen. Entsprechend werden auch die anderen genannten Erzeugnisse als kleinste die Erzeuger enthaltende Unterstrukturen verstanden.