Reguläre Matrix – einfach erklärt

Grundidee und Definition

Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Sie ist wichtig, weil die von ihr beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist: Jedem Ergebnis entspricht genau ein Ausgangsvektor. Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit regulärer Koeffizientenmatrix eindeutig lösbar. Eine quadratische Matrix ohne Inverse heißt singulär.

Für eine quadratische Matrix A ∈ R^(n×n) über einem unitären Ring R heißt regulär: Es gibt eine Matrix B ∈ R^(n×n) mit A·B = B·A = I. Dabei ist I die Einheitsmatrix. B ist eindeutig bestimmt und wird als inverse Matrix A^(-1) bezeichnet. Ist R ein kommutativer Ring, ein Körper oder ein Schiefkörper, genügt bereits A·B = I oder B·A = I, da dann eine linksinverse zugleich rechtsinverse Matrix ist.

Kriterien über Körpern und Ringen

Für eine (n×n)-Matrix A über einem Körper K, etwa über den reellen oder komplexen Zahlen, sind folgende Aussagen äquivalent: A ist invertierbar; det(A) ≠ 0; 0 ist kein Eigenwert; Ax = 0 hat nur die triviale Lösung x = 0; und für jedes b ∈ K^n besitzt Ax = b genau eine Lösung. Ebenso sind die Zeilen und die Spalten jeweils linear unabhängig und erzeugen K^n. Der Rang von A ist dann n, die lineare Abbildung x ↦ Ax von K^n nach K^n ist bijektiv, und auch A^T ist invertierbar. Bei einer singulären Matrix trifft keine dieser Bedingungen zu.

Über einem kommutativen Ring mit Eins R ist A genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante eine Einheit in R ist; eine solche Matrix heißt auch unimodular. Gleichwertig ist unter anderem, dass Ax = b für alle b ∈ R^n genau eine oder zumindest eine Lösung besitzt, dass Zeilen oder Spalten eine Basis von R^n bilden beziehungsweise R^n erzeugen, oder dass x ↦ Ax surjektiv, also auf ganz R^n, oder bijektiv ist. Anders als über einem Körper folgt aus Injektivität im Allgemeinen nicht Surjektivität: Die Abbildung Z → Z, x ↦ 2x, ist injektiv, aber nicht surjektiv.

Beispiele

Die reelle Matrix A = ((2, 3), (1, 2)) ist regulär. Ihre Inverse ist B = ((2, −3), (−1, 2)); es gilt A·B = I.

Dagegen ist A = ((2, 3), (0, 0)) singulär. Für jede Matrix B = ((a, b), (c, d)) hat das Produkt A·B in seiner zweiten Zeile nur Nullen und kann deshalb nicht die Einheitsmatrix I sein.

Auch die Matrix A = ((3x^3, x^2−1), (3x^2+3, x)) über dem Polynomring R[x] ist regulär: det A = 3, und 3 ist in R[x] invertierbar. Ihre Inverse lautet B = (1/3)·((x, 1−x^2), (−3x^2−3, 3x^3)).

Über Z/17Z hat A = (([2]₁₇, [1]₁₇), ([6]₁₇, [4]₁₇)) die Determinante [2]₁₇, die invertierbar ist. Daher ist A regulär; ihre Inverse ist (([2]₁₇, [8]₁₇), ([14]₁₇, [1]₁₇)). Dagegen ist (([3]₁₂, [7]₁₂), ([1]₁₂, [9]₁₂)) über Z/12Z nicht regulär: Ihre Determinante ist [8]₁₂, und 8 sowie 12 sind nicht teilerfremd, also ist [8]₁₂ nicht invertierbar.

Folgen der Invertierbarkeit

Ist A regulär, dann auch A^(-1), und (A^(-1))^(-1) = A. Sind A und B regulär, dann ist auch A·B regulär; dabei gilt (A·B)^(-1) = B^(-1)·A^(-1). Die regulären Matrizen fester Größe bilden mit der Matrizenmultiplikation die im Allgemeinen nichtkommutative allgemeine lineare Gruppe GL(n,R). Das neutrale Element ist I, das inverse Element zu A ist A^(-1).

Aus der Invertierbarkeit folgen Kürzungsregeln: A·B = A·C impliziert B = C, und B·A = C·A impliziert ebenfalls B = C. Eine singuläre Matrix besitzt den Eigenwert 0. Es gibt dann einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wird. Alle auf den Nullvektor abgebildeten Vektoren erzeugen den Eigenraum zum Eigenwert 0; dessen Dimension ist die geometrische Vielfachheit von 0.

Blockmatrizen und Schur-Komplement

Für eine quadratische Blockmatrix M = ((A, B), (C, D)) kann die Invertierbarkeit mit einem Schur-Komplement untersucht werden. Ist A regulär und auch M/A := D − CA^(-1)B regulär, dann ist M regulär. Die Inverse ist M^(-1) = ((A^(-1)+A^(-1)B(M/A)^(-1)CA^(-1), −A^(-1)B(M/A)^(-1)), (−(M/A)^(-1)CA^(-1), (M/A)^(-1))).

Entsprechend gilt bei regulärem D und regulärem M/D := A − BD^(-1)C: M^(-1) = (((M/D)^(-1), −(M/D)^(-1)BD^(-1)), (−D^(-1)C(M/D)^(-1), D^(-1)+D^(-1)C(M/D)^(-1)BD^(-1))).

Für eine quadratische (k×k)-Blockmatrix mit Blöcken der Dimension b×b und n = k·b liefert diese Methode eine Laufzeit von O(k^2·b^3·4^k). Der Gauß-Jordan-Algorithmus benötigt zum Vergleich O(n^3) = O(k^3·b^3).

Matrizen über endlichen Restklassenkörpern

Über dem Restklassenkörper F_p mit Primzahl p ist eine Matrix genau dann regulär, wenn ihre Zeilenvektoren linear unabhängig sind. Für F_2 kann die erste Zeile einer regulären n×n-Matrix auf 2^n−1 Arten gewählt werden, weil der Nullvektor ausgeschlossen ist. Für die k-te Zeile bleiben 2^n−2^(k−1) Möglichkeiten, da sie nicht im Spann der vorherigen Zeilen liegen darf. Damit gibt es insgesamt (2^n−2^0)·(2^n−2^1)·…·(2^n−2^(n−1)) reguläre Matrizen.

Insgesamt existieren 2^(n^2) n×n-Matrizen über F_2. Der Anteil der regulären Matrizen ist daher ∏_(k=1)^n (1−(1/2)^k). Für n gegen unendlich konvergiert dieses Produkt nach dem Pentagonalzahlensatz wegen |1/2| < 1 gegen einen endlichen Grenzwert von etwa 0,289.

Allgemein gibt es über F_p insgesamt p^(n^2) n×n-Matrizen und (p^n−p^0)·(p^n−p^1)·…·(p^n−p^(n−1)) reguläre davon. Ihr Anteil beträgt ∏_(k=1)^n (1−(1/p)^k).