Kugelschicht

Begriff und wichtige Größen

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist der Teil einer Kugel, der durch zwei parallele Ebenen ausgeschnitten wird. Die beiden Ebenen begrenzen die Kugelschicht mit Kreisflächen; ihre Radien heißen a₁ und a₂. Der gekrümmte Teil der Begrenzungsfläche heißt Kugelzone.

Für Rechnungen sind r, a₁, a₂ und h wichtig: r ist der Radius der ganzen Kugel, a₁ und a₂ sind die Radien der Begrenzungskreise und h ist die Höhe, also der Abstand der parallelen Ebenen. Die Oberfläche der Kugelschicht besteht aus der Mantelfläche M, also der Kugelzone, und den beiden Kreisflächen.

Berechnung von Höhe, Radius und Flächen

Die Höhe lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

h = √(r² − a₂²) ± √(r² − a₁²).

Das Minuszeichen gilt für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt, das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.

Aus den beiden Kreisradien und der Höhe ergibt sich der Kugelradius:

r = (1/(2h)) · √((a₁² + a₂² + h²)² − 4a₁²a₂²) = (1/(2h)) · √(a₁⁴ + a₂⁴ + h⁴ − 2a₁²a₂² + 2a₁²h² + 2a₂²h²).

Die Mantelfläche beträgt

M = 2πrh = 2πh · √(a₁² + ((a₁² − a₂² − h²)/(2h))²).

Für die gesamte Oberfläche werden die beiden Kreisflächen zur Mantelfläche addiert:

O = M + A_Kreis 1 + A_Kreis 2 = π(2rh + a₁² + a₂²) = 2πh · √(a₁² + ((a₁² − a₂² − h²)/(2h))²) + π(a₁² + a₂²).

Volumen und Herleitung

Das Volumen einer Kugelschicht ist

V = (π/6) · h · (3a₁² + 3a₂² + h²).

Zur Herleitung kann man die Kugelschicht als Differenz zweier Kugelsegmente auffassen: Vom Kugelsegment S₁ mit Höhe h₁ und unterem Basiskreis wird das Kugelsegment S₂ mit Höhe h₂ und oberem Basiskreis abgezogen. Für ihre Volumina gilt

V₁ = (π/3) · h₁² · (3r − h₁), V₂ = (π/3) · h₂² · (3r − h₂).

Damit ist V = V₁ − V₂. Mit den Beziehungen 2rh₁ = a₁² + h₁² und 2rh₂ = a₂² + h₂² wird dies zu

V = (π/6) · (h₁ − h₂) · [3(a₁² + a₂²) + (h₁ − h₂)²].

Da h = h₁ − h₂ gilt, folgt die Volumenformel.

Die Mantelfläche entsteht entsprechend als Differenz der Mantelflächen der beiden Kugelsegmente:

M = M₁ − M₂ = 2πrh₁ − 2πrh₂ = 2πr(h₁ − h₂) = 2πrh.

Zusammenhang der Parameter

Sei d der Abstand der unteren Ebene vom Kugelmittelpunkt M. Dann folgen aus dem Satz des Pythagoras die Beziehungen

r² = d² + a₁², r² = (d + h)² + a₂².

Durch Gleichsetzen und Auflösen nach d erhält man

d = (a₁² − a₂² − h²)/(2h).

Setzt man diesen Wert in die erste Gleichung ein, ergibt sich

r² = a₁² + ((a₁² − a₂² − h²)/(2h))².

Diese Beziehung liefert die in den Formeln verwendete Darstellung des Kugelradius aus a₁, a₂ und h.