Kugelausschnitt

Begriff und Größen

Ein Kugelausschnitt oder Kugelsektor ist ein kegelartiger Teil einer Kugel, der vom Mittelpunkt bis zur Kugeloberfläche reicht. Er besteht aus einem Kegelteil und einem Kugelsegment. Eine Halbkugel ist ein Sonderfall.

Dabei ist r der Kugelradius, a der Radius des Basiskreises und h die Höhe des Kugelsegments. Je zwei dieser Größen bestimmen den Kugelausschnitt vollständig. Es gelten (r − h)² + a² = r² und damit 2rh = a² + h², h = r ± √(r² − a²).

Beim Zeichen ± wird für einen Kugelausschnitt, der kleiner als eine Halbkugel ist, das Minuszeichen verwendet, andernfalls das Pluszeichen. Statt a und h kann der Winkel θ₀ des Basiskreises angegeben werden: a = r·sin(θ₀), h = r·(1 − cos(θ₀)).

Volumen

Die wichtigste Volumenformel lautet V = (2π/3)·r²·h.

Je nach gegebenen Größen sind gleichwertige Formen zweckmäßig: V = (π/6)·h·(3a² + h²), V = (2π/3)·r²·(r ± √(r² − a²)), V = (2π/3)·r³·(1 − cos(θ₀)).

Mantelflächen und Oberfläche

Die Begrenzung setzt sich aus der Mantelfläche des Kegels M_K und der gekrümmten Mantelfläche des Kugelsegments M_S zusammen.

Für den Kegelmantel gilt: M_K = π·a·r = π·r²·sin(θ₀). Weitere gleichwertige Formen sind M_K = π·r·√((2r − h)h) und M_K = π·a·(a² + h²)/(2h).

Für den Mantel des Kugelsegments gilt: M_S = 2π·r·h = π·(a² + h²). Mit a oder θ₀ kann man auch schreiben: M_S = 2π·r·(r ± √(r² − a²)), M_S = 2π·r²·(1 − cos(θ₀)).

Der gesamte Oberflächeninhalt ist O = M_K + M_S = π·r·(a + 2h). Gleichwertige Darstellungen sind O = π·(a + 2h)·(a² + h²)/(2h), O = π·r·(a + 2(r ± √(r² − a²))) und O = π·r²·(2 − 2cos(θ₀) + sin(θ₀)).

Herleitung der Formeln

Zur Herleitung wird der Kugelsektor in einen Kegel und ein Kugelsegment zerlegt. Der Kegel besitzt den Grundkreisradius a und die Höhe r − h. Seine Volumenformel ist V_K = (π/3)·a²·(r − h). Das Kugelsegment hat das Volumen V_S = (π/3)·h²·(3r − h). Daher gilt zunächst V = V_K + V_S = (π/3)·a²·(r − h) + (π/3)·h²·(3r − h). Aus dem Satz des Pythagoras folgt a² = 2hr − h². Nach dem Einsetzen und Vereinfachen erhält man V = (2π/3)·r²·h.

Alternativ lässt sich das Volumen in Kugelkoordinaten bestimmen: V = ∫₀^θ₀∫₀^2π∫₀^r ρ²·sin(θ) dρ dφ dθ = (2π/3)·r³·(1 − cos(θ₀)). Hier ist θ₀ der halbe Öffnungswinkel des Kegelteils. Mit h = r(1 − cos(θ₀)) folgt wieder V = (2π/3)·r²·h.

Für die Oberfläche werden M_K = π·a·r und M_S = 2π·r·h addiert. Daraus ergibt sich O = π·r·(a + 2h).

Halbkugel und ganze Kugel

Für h = r gilt a = r; der Kugelausschnitt ist dann eine Halbkugel. Ihre Werte sind V = (2π/3)·r³, M = 2π·r², O = 3π·r².

Für h = 2r gilt a = 0; der Kugelausschnitt entspricht der ganzen Kugel. Dann gilt V = (4π/3)·r³, M = O = 4π·r².