Kugelring

Definition und zentrale Formeln

Ein Kugelring ist der Rest einer Vollkugel, nachdem eine zylindrische Bohrung durch ihre Mitte geführt wurde. Außen wird er von einer symmetrischen Kugelschicht und innen von der Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders begrenzt.

Dabei bezeichnet r den Radius der Kugel, a den Radius der Bohrung und h die Höhe des Kugelrings. Zwischen diesen Größen gilt:

• r² = a² + h²/4

Das Volumen beträgt:

• V = πh³/6

Es hängt nur von der Höhe h und nicht vom Kugelradius r ab. Das ist plausibel, weil der Kugelring bei größerem Kugelradius immer dünner wird.

Die gesamte Oberfläche aus Kugelzone und Zylindermantel beträgt:

• O = 2πh(r + a)

Herleitung von Volumen und Oberfläche

Für die Volumenberechnung betrachtet man zunächst eine symmetrische Kugelschicht der Höhe h. Von ihr wird ein gerader Kreiszylinder mit derselben Höhe h und dem Radius a entfernt. Mit V_KS für das Volumen der Kugelschicht und V_Z für das Zylindervolumen ergibt sich:

• V = V_KS − V_Z • V = πa²h + πh³/6 − πa²h • V = πh³/6

Die beiden Terme πa²h heben sich auf. Deshalb enthält das Ergebnis weder den Bohrungsradius a noch den Kugelradius r.

Die Oberfläche setzt sich aus der symmetrischen Kugelzone mit M_KZ = 2πrh und dem Zylindermantel mit M_Z = 2πah zusammen:

• O = M_KZ + M_Z • O = 2πrh + 2πah • O = 2πh(r + a)

Verwandte Kugelteile

Weitere geometrische Teile einer Kugel sind Kugelsegment, Kugelschicht, Kugelsektor und Kugelkeil.