Kugelsegment

Begriff und Grundidee

Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist der Teil einer Kugel, der durch den Schnitt mit einer Ebene abgetrennt wird. Die kreisförmige Schnittfläche heißt Grundfläche. Die Höhe h des Segments reicht von der Grundfläche bis zur Kugeloberfläche. Der gekrümmte Teil der Oberfläche heißt Kugelkalotte, auch Kugelkappe oder Kugelhaube. Ein Kugelsegment ist ein Sonderfall einer Kugelschicht. Eine Halbkugel ist ein Kugelsegment, bei dem die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt verläuft.

Für die Berechnung werden drei Größen verwendet: der Kugelradius r, der Radius a des Basiskreises und die Höhe h des Kugelsegments. Je zwei dieser drei Größen bestimmen das Segment; die dritte lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

Formeln für Volumen und Flächen

Zwischen den Größen gilt (r − h)² + a² = r² beziehungsweise 2rh = a² + h². Daraus folgen h = r ± √(r² − a²) und h² = 2r(r ± √(r² − a²)) − a². Das Minuszeichen gilt, wenn das Kugelsegment kleiner als eine halbe Kugel ist, sonst das Pluszeichen.

Statt a und h kann der Winkel θ₀ des Basiskreises angegeben werden. Dann gilt a = r sin θ₀ und h = r(1 − cos θ₀).

Das Volumen kann je nach bekannten Größen berechnet werden mit Vᵣ,ₕ = (π/3)h²(3r − h), Vₕ,ₐ = (π/6)h(3a² + h²), Vᵣ,ₐ = (π/3)(r ± √(r² − a²))(a² + r(r ± √(r² − a²))) oder Vᵣ,θ₀ = (π/3)r³(2 + cos θ₀)(1 − cos θ₀)².

Die Oberfläche O umfasst Mantelfläche und Basiskreis. Der Basiskreis hat den Flächeninhalt πa². Es gelten Oᵣ,ₕ,ₐ = π(2rh + a²), Oᵣ,ₕ = πh(4r − h), Oₕ,ₐ = π(2a² + h²), Oᵣ,ₐ = π(a² + 2r(r ± √(r² − a²))) und Oᵣ,θ₀ = 2πr²(1 − cos θ₀ + ½ sin² θ₀).

Die Mantelfläche M ist die gekrümmte Fläche ohne Basiskreis. Für sie gelten Mᵣ,ₕ = 2πrh, Mₕ,ₐ = π(a² + h²), Mᵣ,ₐ = 2πr(r ± √(r² − a²)) und Mᵣ,θ₀ = 2πr²(1 − cos θ₀).

Herleitung der wichtigsten Formeln

Die Beziehung 2rh = a² + h² entsteht durch Ausmultiplizieren von (r − h)² + a² = r².

Für das Volumen wird der Kreisbogen f(x) = √(r² − (x − r)²) = √(2rx − x²) um die x-Achse rotiert. Mit dem Volumenintegral für Rotationskörper ergibt sich V = π∫₀ʰ f(x)² dx = π∫₀ʰ(2rx − x²) dx = (πh²/3)(3r − h).

Die Mantelfläche ohne Basiskreis folgt aus der Flächenformel für Rotationsflächen: M = 2π∫₀ʰ f(x)√(1 + f′(x)²) dx = 2πr∫₀ʰ dx = 2πrh. Mit dem Basiskreis erhält man O = π(2rh + a²) = π(2a² + h²).

Sonderfälle

Für h = r gilt a = r. Das Kugelsegment ist dann eine Halbkugel mit V = (2π/3)r³, M = 2πr² und O = 3πr².

Für h = 2r gilt a = 0. Das Kugelsegment ist dann eine ganze Kugel mit V = (4π/3)r³ sowie M = O = 4πr².

Kugelsegmente in höheren Dimensionen

Für eine Kalotte im n-dimensionalen euklidischen Raum werden Volumen und Mantelfläche mit der Gammafunktion Γ, dem Vollvolumen Vₙ, dem vollständigen Mantel Mₙ und der regularisierten Betafunktion I beschrieben. Es gilt V_capⁿ = [π^((n−1)/2) rⁿ / Γ((n+1)/2)] ∫₀^{arccos((r−h)/r)} sinⁿ(θ) dθ = ½Vₙrⁿ I_{(2rh−h²)/r²}((n+1)/2, 1/2).

Für die Mantelfläche gilt M_capⁿ = ½Mₙrⁿ⁻¹ I_{(2rh−h²)/r²}((n−1)/2, 1/2). Die regularisierte Betafunktion wird angegeben durch I_{sin²(θ₀)}(n/2, 1/2) = B(sin²(θ₀), n/2, 1/2) / B(n/2, 1/2). Ihre Werte sind 2φ/π für n = 1, 1 − cos(φ) für n = 2, 2φ − sin(2φ)/π für n = 3 und 1 − 3cos(φ)/2 + cos³(φ)/2 für n = 4.

Vierdimensionale Kalotte

Im vierdimensionalen Raum besitzt eine Kalotte die Mantelfläche M_cap⁴ = r³π(2θ − sin(2θ)). Der Rand des Kalottenmantels hat den Umfang beziehungsweise Randinhalt U_cap⁴ = 4a²π.