Quotient

Bedeutung und Verwendung des Quotienten

In der Mathematik und in den Naturwissenschaften bezeichnet der Quotient das Verhältnis von zwei Größen zueinander, also das Ergebnis einer Division. Bei zwei ganzen Zahlen heißen die beteiligten Zahlen Dividend und Divisor. Ihr Quotient ist eine rationale Zahl und kann als Bruch geschrieben werden, zum Beispiel 2/3 = 2:3 für zwei Drittel.

Ein Quotient ordnet einen Wert häufig in einen Gesamtmaßstab ein. Beim Intelligenzquotienten wird die durch einen Intelligenztest ermittelte Zahl einer Person zur „durchschnittlichen Intelligenz“ ihrer Altersgruppe in Beziehung gesetzt. Der Intelligenzquotient 100 steht für den Durchschnitt. Weitere Anwendungen sind Proportionen von Nationalflaggen und Seitenverhältnisse.

Verhältnisse gleichartiger Größen werden häufig als Prozentwerte angegeben. Der Wert des Verhältnisses bleibt dabei gleich, zum Beispiel 1/5 = 20 %. Für den Prozentwert wird der Verhältnisbruch mit 1 multipliziert, wobei 1 = 100 % gilt: 1/5 = 100/5 % = 20 %.

Besondere Quotienten und physikalische Größen

Besondere Quotienten sind unter anderem:

• Die Steigung ist das Verhältnis des Wertzuwachses auf der senkrechten Koordinatenachse zum Wertzuwachs auf der waagerechten Achse.
• Der Maßstab ist das Verhältnis zweier Längen.

Auch viele physikalische Größen werden als Quotienten definiert. Dazu gehören der Ausdehnungskoeffizient und der Wirkungsgrad sowie spezifische Größen wie die Dichte.

Proportionen und Umformungen

Eine Verhältnisgleichung oder Proportion setzt zwei Verhältnisse gleich:

a:b = c:d

In dieser Proportion heißen a und c Vorderglieder, b und d Hinterglieder. a und d heißen Außenglieder, b und c Innenglieder. Durch Multiplikation über Kreuz entsteht die Gleichung:

a·d = c·b

Durch das Vertauschen der Innenglieder beziehungsweise der Außenglieder entstehen weitere Proportionen:

a:c = b:d

d:b = c:a

Korrespondierende und fortlaufende Proportionen

Aus der Proportion a:b = c:d folgen nach den Gesetzen der korrespondierenden Addition und Subtraktion auch:

• (a+b)/b = (c+d)/d
• a/(a+b) = c/(c+d)
• (a−b)/b = (c−d)/d
• a/(a−b) = c/(c−d)
• (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d)

Die Schreibweise a:b:c = u:v:w bedeutet: „a, b, c verhalten sich wie u zu v zu w“. Eine solche fortlaufende Proportion, auch Kettenproportion oder Verhältniskette genannt, ist keine einzelne Gleichung, sondern eine Kurzform für a:b = u:v und b:c = v:w. Äquivalent dazu sind a:u = b:v und b:v = c:w.

Beispiele für Anwendungen von Proportionen sind die Definition des Goldenen Schnitts, der Sinussatz, die Strahlensätze, das Brechungsgesetz der Optik und die Oktave der Musik.