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Pi verstehen - Ein bisschen zumindest
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 41 Zeilen
- Fester Bestandteil des Matheunterrichts ist es, Flächeninhalte zu berechnen. Ob das nun ein Quadrat, ein Dreieck oder eine unregelmäßige Figur ist, ist egal.
- In eurem Kopf schwirren dann ein paar Formeln umher, die ihr irgendwie anwendet, um zum Ergebnis zu kommen.
- Vielleicht leuchten euch all diese Formeln auch ein und es fällt euch gar nicht schwer, Flächeninhalte auszurechnen.
- Bis dann eines schönen Tages ein Kreis auftaucht und mit ihm die Kreiszahl π. Auch hier gibt es tolle, einfache Formeln, die ihr hoffentlich auch anwenden könnt,
- aber wie kommt man eigentlich auf π? π ist, wie ihr vielleicht wisst, eine unendliche Zahl die sich nicht wiederholt.
- Das bedeutet dass eigentlich niemand wissen kann, wie sie lautet, da ja niemand unendlich viel Zeit hat, um das herauszufinden.
- Aber natürlich kann man in der Realität auch nicht wirklich etwas mit einer Zahl anfangen, die unendlich viele Stellen nach dem Komma hat.
- Darum steckt hinter dem π, mit dem wir alle rechnen, eine gerundete Zahl. 3,141592654 ist in der Regel das, was euer Taschenrechner euch ausspuckt, wenn ihr die π-Taste drückt.
- Und selbst das ist für das Rechnen in der Schule noch zu viel. 3,14 reicht häufig vollkommen aus.
- Nun stellt sich aber die Frage, wie man auf diese Zahl kommt. Sie scheint nämlich total willkürlich zu sein.
- Warum 3,14 und nicht 5,79 oder 2,32? Wenn ihr wollt, könnt ihr euch mal ein Blatt Papier, einen Zirkel, ein Bleistift und ein
- Geodreieck schnappen - und zur Sicherheit vielleicht auch noch einen Radiergummi - und mal ausprobieren, was ich euch hier zeige.
- Zeichnet einen Kreis, dessen Radius 5 cm beträgt. Für diese Veranschaulichung spielt es keine Rolle, wie groß der Kreis ist, aber damit
- sich euer Arbeitsaufwand in Grenzen hält, bieten sich 5 cm an. Diesen Kreis unterteilt ihr nun in vier gleich große Abschnitte.
- Nehmt euch einen dieser Abschnitte vor und zeichnet fünf Rechtecke ein, die alle 1 cm breit sind.
- Beginnt dabei mit dem längsten Rechteck, welches direkt am Rand des Abschnitts liegt und genauso lang ist, wie der Radius.
- Das nächste Rechteck daneben ist nun so lang, dass es genau auf den Kreis stößt. So fahrt ihr fort, bis ihr fünf Rechtecke eingezeichnet habt, die ein bisschen an eine
- Treppe erinnern. Auf diese Art und Weise habt ihr nun ein Viertel des Kreises komplett mit Rechtecken bedeckt,
- deren Flächeninhalt ihr natürlich ausrechnen könnt. Das nützt uns aber nicht so viel, denn die Rechtecke stehen ja allesamt über den Kreis
- hinaus. Würden wir das im ganzen Kreis so machen, wäre der gesamte Flächeninhalt der Rechtecke
- größer als der des Kreises. Nehmt euch darum mal besser einen zweiten Abschnitt her.
- Hier macht ihr nun fast dasselbe. Dieses Mal liegen aber alle Rechtecke im Kreis.
- Das größte Rechteck ist nun also nicht so lang wie der Radius, sondern nur so lang, dass die Ecke gerade noch auf dem Kreis liegt.
- Wieder erhaltet ihr so eine Art Treppe. Auch hier könnt ihr wieder den Flächeninhalt aller Rechtecke ausrechnen und wieder kann
- der gesamte Flächeninhalt nicht mit dem des Kreises übereinstimmen, da jetzt ja alles kleiner ist.
- Was wäre nun aber, wenn man den Durchschnitt ausrechnet? Die Kreisabschnitte sind ja gleich groß.
- Bei unserem Versuch haben wir zwei Lösungsansätze, die beide nicht stimmen können. Wenn man sie nun miteinander verrechnet, könnte man ja genau dort herauskommen, wo man herauskommen
- will. Zählt darum mal die Flächeninhalte beider Abschnitte zusammen.
- Das ist jetzt natürlich nur ein halber Kreis. Multipliziert euer Ergebnis mit 2.
- Das sollte jetzt in etwa dem Flächeninhalt des ganzen Kreises entsprechen. Vorausgesetzt natürlich, unsere Annahme stimmt.
- Und was hat das jetzt gebracht? Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet A = π*r^2.
- Wir kennen den Radius und wir haben einen möglichen Flächeninhalt. Nehmen wir einmal an, wir wüssten nicht, dass π 3,14 ist.
- Dann würde unsere Aufgabe lauten A = x*r^2. Setzt eure Werte mal ein und rechnet x aus.
- Ihr solltet irgendwo zwischen 3 und 3,3 landen. Das hängt natürlich davon ab, wie genau ihr gezeichnet und gemessen habt.
- Das ist jetzt natürlich kein Beweis für irgendwas, aber eine Erklärung, wie man überhaupt auf π kommt.
- Nehmt ihr die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises nämlich wörtlich, so müsst ihr 3,14 mal den Radius ins Quadrat nehmen.
- Ihr zeichnet also drei Quadrate, deren Seitenlänge so groß ist wie der Radius eures Kreises. Bei jedem Kreisabschnitt steht nun ein Stück Quadrat über.
- Würde man diese Stücke abschneiden und in den letzten Kreisabschnitt einfügen bliebe eine Lücke, die genau 0,14 mal so groß ist wie eines der Quadrate.
- Darum rechnet man π*r^2. Diese Erklärung hat mir damals mein Mathelehrer geliefert und sie ist eine der wenigen Dinge,
- die ich aus seinem Unterricht noch weiß, denn sie hat mir beim Verstehen dieser unendlichen Kreiszahl, die so willkürlich aussah, sehr geholfen.
- Ich hoffe, sie hilft euch auch.
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