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Transzendente Zahl
In der Mathematik bezeichnet man eine reelle oder komplexe Zahl als transzendent, wenn sie keine algebraische Zahl ist. Die bekanntesten Beispiele …
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Grundidee und Definition
Eine reelle oder komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist. Genauer: Für eine Zahl b ∈ ℂ gibt es außer dem Nullpolynom kein Polynom p(x) mit rationalen Koeffizienten, für das p(b) = 0 gilt. Zum Nachweis genügt es, nur Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten zu betrachten.
Algebraische Zahlen lassen sich somit als Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzen beziehungsweise rationalen Koeffizienten beschreiben. Beispielsweise ist −4/5 algebraisch, weil es die Gleichung 5x + 4 = 0 löst. Die Zahl √3 erfüllt x² − 3 = 0 und ist algebraisch vom Grad 2. Transzendente Zahlen erfüllen keine solche nichttriviale Polynomgleichung. Jede transzendente Zahl ist irrational, aber nicht jede irrationale Zahl ist transzendent: √3 ist ein Gegenbeispiel.
Bedeutung und Mächtigkeit der Mengen
Transzendente Zahlen sind aus algebraischer Sicht nicht durch endlich viele elementare Rechenoperationen und eine Polynomgleichung auf die Zahl 0 zurückführbar. Fragen, ob eine konkrete Zahl transzendent ist, und Methoden für solche Beweise sind schwierig und Gegenstand mathematischer Forschung.
Obwohl algebraische Zahlen in vielen bekannten Situationen auftreten, sind transzendente Zahlen wesentlich zahlreicher. Die algebraischen Zahlen sind abzählbar: Es gibt eine abzählbare Liste aller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, denn sie haben die Form ⨁ₙ₌₀^∞ ℤxⁿ. Jedes dieser Polynome besitzt höchstens endlich viele Lösungen; daher lassen sich auch alle algebraischen Zahlen abzählen.
Dagegen sind die reellen und komplexen Zahlen überabzählbar. Deshalb kann man die transzendenten Zahlen nicht vollständig als z₁, z₂, z₃, … auflisten. Für die Menge ℝ der reellen Zahlen und die Menge 𝕋 der transzendenten Zahlen gilt:
card 𝕋 = card ℝ = 2^{ℵ₀}.
Georg Cantor bewies 1874 diese Überabzählbarkeit und damit, dass es mehr transzendente als algebraische Zahlen gibt.
Wichtige Beweise und Beispiele
Die bekanntesten transzendenten Zahlen sind π = 3,1415926535897932384626433832795… und e = 2,7182818284590452353602874713526…. Charles Hermite bewies 1873 die Transzendenz von e; Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewies 1882 die von π. Aus der Transzendenz von π folgt, dass die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich ist. Die ursprünglichen Beweise von e und π stammen von Hermite beziehungsweise Lindemann; David Hilbert veröffentlichte 1893 einen eleganten Beweis in „Über die Transcendenz der Zahlen e und π“.
Joseph Liouville bewies 1844 erstmals die Existenz transzendenter Zahlen und gab explizite Beispiele an. Für jede algebraische Zahl x vom Grad n ≥ 2 gibt es eine Konstante c > 0, sodass für jede rationale Approximation p/q gilt: |x − p/q| > c/qⁿ. Irrationale algebraische Zahlen können also nicht beliebig gut durch rationale Zahlen angenähert werden. Reelle Zahlen mit besseren Approximationen als diese Schranke, die Liouvilleschen Zahlen, sind transzendent. Dazu gehört die Liouville-Konstante L = Σₖ₌₁^∞ 10^(−k!) = 0,110001000000000000000001000… .
Weitere im Artikel genannte Beispiele sind eᵃ für algebraisches a ≠ 0, sin(a) für algebraisches a ≠ 0 sowie ln(a) für eine positive rationale Zahl a ≠ 1. Nach dem Satz von Gelfond-Schneider ist aᵇ transzendent, wenn 0 ≠ a ≠ 1 algebraisch und b algebraisch sowie irrational ist; deshalb ist 2^√2 transzendent. Die Voraussetzung für b ist wichtig: Für transzendentes b gilt die Aussage nicht allgemein, denn 3^(log₃2) = 2.
Auch die Champernowne-Zahl τ = 0,123456789101112131415… ist transzendent. Sie entsteht durch Aneinanderfügen der natürlichen Zahlen im Dezimalsystem.
Sätze und offene Vermutung
Das Six Exponentials Theorem besagt: Sind x₁, x₂ zwei über ℚ linear unabhängige komplexe Zahlen und y₁, y₂, y₃ drei über ℚ linear unabhängige komplexe Zahlen, dann ist mindestens eine der sechs Zahlen e^(xₘyₙ) mit 1 ≤ m ≤ 2 und 1 ≤ n ≤ 3 transzendent. Als Anwendung folgt, dass mindestens eine der Zahlen 2^π, 3^π, 5^π transzendent ist. Der Satz stammt von Serge Lang und Kanakanahalli Ramachandra; Carl Ludwig Siegel und Theodor Schneider leisteten Vorarbeiten.
Die Vermutung von Schanuel ist eine weitreichende, im Artikel als Vermutung bezeichnete Aussage. Sind α₁, α₂, …, αₙ komplexe Zahlen, die über ℚ linear unabhängig sind, dann soll der Transzendenzgrad des Körpers K = ℚ(α₁, α₂, …, αₙ, e^α₁, …, e^αₙ) mindestens n sein. Das bedeutet: Es müsste in K mindestens n Zahlen a₁, …, aₙ geben, für die aus f(a₁, …, aₙ) = 0 bei einem Polynom f mit n Variablen und rationalen Koeffizienten schon folgt, dass f die konstante Nullfunktion ist.
Allgemeiner untersucht man bei einer Körpererweiterung L/K, welche Elemente von L algebraisch oder transzendent über K sind.
Elliptische Funktionen und Modulformen
Die Weierstraßsche ℘-Funktion über einem Gitter L ist elliptisch, also doppeltperiodisch und meromorph: ℘(z + λ) = ℘(z) für jedes λ ∈ L. Sie erfüllt die Differentialgleichung (℘′)² = 4℘³ − g₂(L)℘ − g₃(L).
Sind die zugehörigen Eisensteinreihen g₂(L) und g₃(L) algebraisch, so ist für jede algebraische Zahl α ∉ L der Wert ℘(α) transzendent. Daraus folgt insbesondere: Nichtverschwindende Perioden jeder elliptischen Kurve y² = 4x³ − g₂x − g₃ mit algebraischen g₂ und g₃ sind transzendent. Falls g₂(L) und g₃(L) algebraisch sind und z₀ kein Pol von ℘ ist, ist außerdem mindestens eine der Zahlen e^z₀ und ℘(z₀) transzendent.
Für die j-Invariante gilt nach einem Satz von Schneider: Ist z algebraisch, dann ist j(z) genau dann algebraisch, wenn z ein CM-Punkt ist. Das bedeutet hier, dass z eine quadratische Gleichung Aw² + Bw + C = 0 löst. Ein Beispiel ist j((1 + i√67)/2) = −147 197 952 000, also sogar eine ganze Zahl.