Kreistangente

Definition und grundlegende Eigenschaften

Eine Kreistangente ist eine Gerade in der Ebene eines Kreises, die mit ihm genau einen Punkt gemeinsam hat. Dieser Punkt heißt Berührpunkt. Geraden in der Kreisebene werden in Sekanten, Tangenten und Passanten eingeteilt: Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten, eine Tangente berührt ihn in genau einem Punkt und eine Passante besitzt keinen gemeinsamen Punkt mit ihm.

Die Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Berührungsradius, also auf der Strecke zwischen Kreismittelpunkt und Berührpunkt. Umgekehrt ist jede Gerade, die im Endpunkt eines Radius senkrecht auf diesem steht, eine Tangente. Die zu diesem Radius gehörende Gerade ist zugleich eine Symmetrieachse des Kreises.

Von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt P aus sind die beiden Tangentenabschnitte PA und PB gleich lang. Nach dem Satz des Pythagoras gilt MP² = AP² + r² und MP² = BP² + r². Daraus folgen AP² = BP² und damit AP = BP. Das Quadrat dieser gemeinsamen Länge ist die Potenz des Punktes P bezüglich des Kreises.

Konstruktion von Tangenten an einen Kreis

Ist der Berührpunkt P auf dem Kreis gegeben und der Mittelpunkt bekannt, zeichnet man den Berührungsradius und errichtet in P das Lot darauf. Dies kann beispielsweise durch Halbierung eines Winkels von 180° oder mithilfe eines Thaleskreises geschehen.

Ist der Mittelpunkt unbekannt, kann die Tangente unter anderem mit drei gleich großen Hilfskreisen konstruiert werden. Ausgehend von einem Kreis k₁ um P entstehen Schnittpunkte A und B. Weitere Kreise k₂ um A und k₃ um einen dabei bestimmten Punkt C liefern einen Punkt D. Die Parallele zu AB durch D und P ist die Tangente.

Soll eine Tangente durch einen außerhalb liegenden Punkt P führen, verbindet man P mit dem Mittelpunkt M und zeichnet den Thaleskreis über der Strecke PM. Seine beiden Schnittpunkte mit dem gegebenen Kreis sind mögliche Berührpunkte. Deshalb gibt es durch P zwei Tangenten. Die Gerade durch beide Berührpunkte heißt Polare von P bezüglich des Kreises.

Die Polare kann auch ohne Thaleskreis über zwei beliebige, von P ausgehende Sekanten bestimmt werden. Deren Sehnen werden harmonisch geteilt, wobei P jeweils der äußere Teilungspunkt ist. Die beiden inneren Teilungspunkte liegen auf der Polaren; deren Schnittpunkte mit dem Kreis sind die Berührpunkte. Dieses Verfahren lässt sich auch auf Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln übertragen.

Eine weitere Konstruktion ohne bekannten Mittelpunkt verwendet eine beliebige Sekante PAB, wobei B weiter von P entfernt liegt. Über PB wird ein Thaleskreis gezeichnet. Eine Senkrechte zu PB durch A schneidet ihn in C. Der Kreis um P durch C schneidet den gegebenen Kreis in den beiden Berührpunkten D und E. Grundlage sind der Höhensatz |AC|² = |PA|·|AB|, der Satz des Pythagoras und der Sekanten-Tangenten-Satz. Daraus ergibt sich |PC|² = |PA|·|PB|, also das Quadrat des Abstandes von P zu den Berührpunkten.

Analytische Beschreibung

Ein Kreis mit Mittelpunkt M(x_M|y_M) und Radius r wird beschrieben durch |MX⃗| = r beziehungsweise

(x − x_M)² + (y − y_M)² = r².

Ist B(x_B|y_B) ein Berührpunkt auf diesem Kreis, lautet die Tangentengleichung in der Form eines Skalarprodukts

MB⃗ · MX⃗ = r².

Für einen beliebigen Punkt X(x|y) der Tangente ergibt sich in Koordinaten:

(x_B − x_M)·(x − x_M) + (y_B − y_M)·(y − y_M) = r².

Diese Gleichung drückt zugleich aus, dass der Radius MB und die Tangente im Punkt B senkrecht zueinander stehen.

Gemeinsame Tangenten zweier Kreise

Zwei Kreise besitzen höchstens vier gemeinsame Tangenten. Die Tangenten schneiden sich in Ähnlichkeitspunkten, von denen aus die Kreise durch eine zentrische Streckung ineinander übergehen. Eine innere Tangente schneidet die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte; ihr Ähnlichkeitspunkt liegt zwischen den Mittelpunkten. Äußere Tangenten treffen sich nicht zwischen den Kreisen.

Die Anzahl hängt von der Lage der Kreise ab:

• Liegen die Kreise getrennt und keiner umschließt den anderen, gibt es zwei äußere und zwei innere Tangenten.
• Bei äußerer Berührung gibt es zwei äußere und eine innere Tangente.
• Schneiden sich die Kreise in zwei Punkten, gibt es nur zwei äußere Tangenten.
• Bei innerer Berührung gibt es genau eine äußere Tangente.
• Umschließt ein Kreis den anderen vollständig, gibt es keine gemeinsame Tangente.

Gemeinsame äußere Tangenten existieren genau dann, wenn der Betrag der Radiendifferenz höchstens so groß wie der Abstand der Mittelpunkte ist. Bei verschieden großen Kreisen schneiden sie sich in einem Ähnlichkeitspunkt außerhalb der Strecke zwischen den Mittelpunkten. Sind die Kreise gleich groß, verlaufen die beiden äußeren Tangenten parallel zur Zentrallinie und haben von ihr jeweils den Abstand des Radius. Berühren sich zwei Kreise, ist die Tangente im Berührpunkt senkrecht zur Zentrallinie: Bei innerer Berührung ist sie eine äußere, bei äußerer Berührung eine innere Tangente.

Für die übliche Konstruktion äußerer Tangenten ungleich großer Kreise mit Mittelpunkten P und Q und Radien r_P > r_Q verwendet man einen Hilfskreis mit dem Radius r_P − r_Q und den Thaleskreis über PQ. Deren Schnitt bestimmt eine Richtung, aus der über parallele Radien die Berührpunkte L und R entstehen. LR ist gemeinsame Tangente, weil die Radien dort senkrecht auf LR stehen. Die zweite Tangente ergibt sich durch Spiegelung an der Zentrallinie. Alternativ kann zuerst das äußere Ähnlichkeitszentrum konstruiert werden; ein Thaleskreis zwischen diesem Punkt und einem Mittelpunkt liefert die Berührpunkte.

Für innere Tangenten wird entsprechend die Summe r_P + r_Q statt der Radiendifferenz verwendet. Der Thaleskreis über PQ liefert wieder eine rechtwinklige Hilfsfigur und damit eine gemeinsame Tangente. Die zweite entsteht durch Spiegelung. Beide schneiden sich im Ähnlichkeitspunkt zwischen den Mittelpunkten. Äußerlich berührende Kreise besitzen nur eine innere Tangente, die durch ihren Berührpunkt führt.

Beziehungen bei drei Kreisen

Gegeben seien drei Kreise ohne gemeinsame Punkte, von denen keiner in einem anderen liegt. Für jedes Kreispaar betrachtet man den Schnittpunkt seiner beiden inneren Tangenten und verbindet ihn mit dem Mittelpunkt des dritten Kreises. Die drei so entstehenden Verbindungslinien schneiden sich in einem Punkt.

Der Beweis verwendet ähnliche Dreiecke. Für geeignete Teilpunkte D, E und F auf den Verbindungsstrecken der Mittelpunkte A, B und C gelten

AD/DB = r₁/r₂, BE/EC = r₂/r₃ und CF/FA = r₃/r₁.

Das Produkt dieser drei Verhältnisse ist 1. Nach der Umkehrung des Satzes von Ceva schneiden sich deshalb die drei Verbindungslinien in einem Punkt.

Der Satz von Monge besagt außerdem, dass die drei Schnittpunkte der paarweise äußeren Tangenten dreier Kreise auf einer Geraden liegen. Jakob Steiner zeigte eine verwandte Aussage: Der Schnittpunkt der äußeren Tangenten zweier Kreise liegt mit den beiden Schnittpunkten der inneren Tangenten, die der dritte Kreis jeweils mit diesen Kreisen bildet, ebenfalls auf einer Geraden. Allgemeiner gelten diese Aussagen für die paarweisen Ähnlichkeitspunkte der Kreise, in denen sich ihre gemeinsamen Tangenten schneiden.