Kollabierender Zirkel

Grundidee

Ein kollabierender Zirkel, auch euklidischer Zirkel oder Klappzirkel genannt, ist ein Zirkel, der beim Hochheben vom Blatt zuschnappt. Dadurch kann man eine einmal eingestellte Strecke nicht direkt auf einen anderen Ort übertragen. Man kann also zwar einen Kreis zeichnen, aber nach dem Zeichnen ist der Radius nicht mehr festgehalten. In der Praxis ist das vor allem eine theoretische Überlegung, weil die meisten Zirkel nicht kollabieren.

Bei Euklid wird in den ursprünglichen Konstruktionsproblemen ein solcher kollabierender Zirkel verwendet. Trotzdem kann man mit ihm zusammen mit einem Lineal dieselben Punkte konstruieren wie mit einem nicht-kollabierenden Zirkel und Lineal. Der entscheidende Punkt ist: Auch wenn man die Strecke AB nicht einfach mit dem Zirkel abgreifen und um einen dritten Punkt C als Kreisradius verwenden kann, lässt sich dieser Kreis durch zusätzliche Konstruktionsschritte trotzdem herstellen.

Formale Beschreibung

Für eine Menge M von Punkten in der Ebene R² wird G(M) als die Menge aller Geraden definiert, die durch mindestens zwei Punkte aus M verlaufen. K(M) ist die Menge aller Kreise, deren Mittelpunkte Punkte aus M sind und deren Radien den Abständen zweier Punkte aus M entsprechen.

Die Menge M̂ besteht aus allen Punkten, die aus M mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können. Erlaubte Operationen sind: der Schnitt zweier verschiedener Geraden aus G(M), der Schnitt einer Geraden aus G(M) mit einem Kreis aus K(M) und der Schnitt zweier verschiedener Kreise aus K(M).

Für M̂ macht es keinen Unterschied, ob ein kollabierender oder ein nicht-kollabierender Zirkel benutzt wird: Alle Punkte, die mit einem nicht-kollabierenden Zirkel konstruiert werden können, sind auch mit einem kollabierenden Zirkel konstruierbar. In einem einzelnen Konstruktionsschritt gibt es aber einen Unterschied. Ist M zum Beispiel eine dreielementige Menge aus A, B und C, dann liegt der Schnittpunkt einer Geraden durch A und B mit einem Kreis um C mit Radius |AB| zwar in der Menge der mit nicht-kollabierendem Zirkel in einem Schritt konstruierbaren Punkte, aber nicht in der entsprechenden Menge für den kollabierenden Zirkel. Der Kreis um C mit Radius |AB| muss dort erst in mehreren Schritten konstruiert werden.

Kreis mit übertragenem Radius konstruieren

Um zu zeigen, dass der kollabierende Zirkel mit Lineal genauso mächtig ist wie der nicht-kollabierende Zirkel mit Lineal, genügt eine Konstruktion: Zu drei gegebenen Punkten A, B und C soll ein Kreis um C mit dem Radius |AB| konstruiert werden.

Dazu werden zuerst die Geraden a durch A und B sowie b durch A und C betrachtet. Ziel ist, einen Punkt zu erzeugen, der von C genau den Abstand |AB| hat. Die Konstruktion verwendet zwei Parallelen: eine Parallele d zu a durch C und eine Parallele e zu b durch B. Ihr Schnittpunkt K bildet mit A, B und C ein Parallelogramm. In diesem Parallelogramm ist die Strecke CK genauso lang wie AB. Anschließend kann mit dem kollabierenden Zirkel ein Kreis um C durch K gezeichnet werden; dieser Kreis hat den gewünschten Radius |AB|.

Die Parallele d wird konstruiert, indem zunächst um C ein Kreis mit Radius |AC| gezeichnet wird. Er schneidet a in A und einem weiteren Punkt D. Danach werden um A und D Kreise mit Radius |AD| gezogen. Die Verbindung ihrer Schnittpunkte ergibt eine Gerade c, die ein Lot auf a durch C ist. Der Lotfußpunkt auf a heißt E. Danach wird auf c ein Punkt F im gleichen Abstand von C wie E bestimmt. Aus E und F werden zwei Kreise mit Radius |EF| gezeichnet; ihre Schnittpunkte bestimmen eine Gerade d, die senkrecht zu c und damit parallel zu a ist. Auf gleiche Weise wird die Parallele e zu b durch B konstruiert.

Sonderfall und Parallelen

Die beschriebene Konstruktion setzt voraus, dass C nicht auf der Geraden a liegt. Falls C doch auf a liegt, wird zunächst ein Hilfspunkt P gewählt, der nicht auf a liegt. Mit der Methode konstruiert man einen Kreis um P mit Radius |AB|. Dabei entsteht auch eine Parallele p zu a durch P. Der Kreis um P schneidet p in zwei Punkten Q und R, und es gilt |PQ| = |PR| = |AB|. Danach kann die Konstruktion ein zweites Mal durchgeführt werden, wobei eine der Strecken PQ oder PR als Radiusgrundlage für den Kreis um C dient.

Eine wichtige Anwendung ist die Konstruktion einer Parallelen zu einer gegebenen Geraden g₁ durch einen vorgegebenen Punkt P. Dazu wird auf g₁ ein Punkt M gewählt. Zuerst zeichnet man den Kreis um M durch P; er schneidet g₁ in A. Dann zeichnet man den Kreis um P durch M und den Kreis um A durch M. Der Kreis um A schneidet den Kreis um P in B. Die Gerade g₂ durch P und B ist die gesuchte Parallele zu g₁. Da jeder Kreis durch zwei bekannte Punkte bestimmt wird, kann diese Konstruktion mit einem kollabierenden Zirkel ausgeführt werden.

Kreisübertragung ohne Lineal

Auch ohne Lineal kann ein Kreis mit gegebenem Radius an einen anderen Ort übertragen werden. Gegeben sind die Punkte A, B und C. Gesucht ist ein Kreis um A mit dem Radius |BC|, und benutzt wird nur der kollabierende Zirkel.

Zuerst zeichnet man einen Kreis um A, der B enthält, und einen Kreis um B, der A enthält. Diese beiden Kreise schneiden sich in D und D'. Danach zeichnet man Kreise um D und D', die jeweils durch C gehen. Der zweite Schnittpunkt dieser Kreise wird E genannt. Schließlich zeichnet man den Kreis um A durch E. Dieser Kreis ist der gewünschte Kreis, denn mit DD' als Spiegelachse sind die Punkte A und E eine Abbildung von B und C. Daher gilt |AE| = |BC|.