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Komplexe Zahlen | Kartesische Form, Summe, Differenz, Produkt, Quotient, geometrische Interpretation
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 130 Zeilen
- die komplexen zahlen sind eine körper erweiterung der reellen zahlen was vor allem für den praktischen gebrauch für uns bedeutet dass wir ganz einfach mit
- ihnen plus minus x und geteilt durch rechnen können und dass die wichtigsten grundrechte gesetze weiterhin gelten wie jetzt allerdings die addition
- subtraktion multiplikation und auch die division komplexer zahlen funktioniert was ist mit der komplexen konjugation auf sich hat und wie du dir das ganze
- geometrisch vorstellen kannst das erkläre ich dir jetzt los geht's los hat die kompletten zahlen dargestellt im kt sicher form das heißt dass man die
- koordinaten dieser komplexen zahl im kt sischen koordinatensystem direkt aus der darstellung ablesen kann dass es geht dabei die anzahl der schritte in
- richtung der reellen achse an deswegen nennt man das ixs auch den real teil der komplexen zahl und das y gibt die anzahl der schritte in richtung der
- imaginären achse an deswegen hält man das y auch den imaginär teil der komplexen zahlen das ist dabei einfach nur die wurzel auf -1
- und trennt damit real und imaginärer teil von einander jede komplexe zahl lässt sich eindeutig in real- und imaginär teile zerlegen wobei ganz
- wichtig noch mal zu bemerken ist dass das selbst nicht zum imaginären teil der zugehört nur das was an dass sie dran multipliziert wird das y
- das ist der e mail den erdteil das heißt sowohl ich als auch y real imaginär teil sind beides reelle zahlen und dank der definition von hamilton
- können wir uns jetzt so eine komplexe zahl auch ganz einfach als einen vektor in der xy ebene vorstellen und das hilft uns dabei zu verstehen was die addition
- subtraktion multiplikation und auch die vision komplexer zahlen eigentlich bewirkt stell dir mal die komplexen zahlen 2 + 3 und 4 plus in der komplexen
- zahlen ebene vor wenn du jetzt die beiden komplexen zahlen miteinander agieren also z 1+2 oder ausgeschrieben 2 +3 +4 fluss einem
- dann sagte ich ja schon dein gefühl dass du direkt die summenden ohne zusammenfassen kannst also 2 plus 4 gleich sechs und die summenden mit einem
- sofort zusammenfassen kannst 3+ einem ist gleich vier und das bedeutet wenn du jetzt zwei komplexe zahlen miteinander agiert
- dann addieren sich lediglich die real teile zwei plus vier gleich sechs und es addieren sich die imaginär teile drei plus eins gleich vier und wenn du dir
- jetzt diese komplexen zahlen als vektoren vorstellst dann bedeutet die addition von komplexen zahlen lediglich dass es zu einer verschiebung entlang
- der vector teile der eigenen komplexen zahl und der anderen komplexen zahl kommen die reihenfolge ist dabei vollkommen egal die subtraktion
- komplexer zahlen funktioniert nach dem gleichen prinzip annahmen wir haben die gleichen beiden komplexen zahlen wenn wir sie jetzt voneinander abziehen
- wollen also z1 - z 2 rechnen wollen und ausgeschrieben 2 +3 ii - 4+ einem dann musst du aufpassen denn die hintere komplexe zahl die die abgezogen wird die
- muss hier in klammern gesetzt werden denn es muss sowohl der real als auch der imaginäre teil abgezogen werden es liegt daran dass die gleichen grund
- rechnen gesetze gelten die auch in den reellen zahlen das heißt wenn wir das hier zusammenfassen wollen dann können wir
- die klammern auflösen müssen noch aus der schule kennen einfach das vorzeichen von jedem einzelnen so nannten ändern 2 3 - 4 - 1
- und dann arbeiten wir genau wie eben wir fassen die real-time zusammen 24 gleich - 2 und wir fassen die romand mit dem i zusammen 3 - eine mir ist gleich zwei
- was bedeutet dass der real teil gleich -2 und der imaginär teil gleich plus zwei ist und wenn du dir jetzt wieder diese komplexen zahlen als vektoren
- vorstellst dann bedeutet diese subtraktion einfach nur dass ein neuer weg dabei herauskommt wenn man ihnen parallel verschiebt dann zeigt er von z2
- auf z1 also kurz zusammengefasst bei der addition und subtraktion komplexer zahlen handelt es sich lediglich um eine verschiebung operation eine transaktion
- bevor wir gleich weitermachen mit der multiplikation mit der division kurz noch was zur komplexen konjugation das ist nämlich nicht nur ein ziemlich
- hilfreiches werkzeug sondern sie hat auch eine ziemlich geniale geometrischer interpretation die komplexe konjugation schreibt man mit so einem strich über
- der komplexen zahl und die bedeutung ist dass sich lediglich das vorzeichen vom imaginär teil also wenn man ins plus oops i lon
- komplex konjugiert dann kommt raus - die y wenn also der imaginär teil von der zahl z positiv ist dann ist der imaginäre
- teil der komplexen konjugation negativ und umgedreht ist der imaginär teil negativ dann wird er nach der komplexen konjugation jetzt positiv sein
- und das bedeutet wenn du das ganze wieder in der komplexen zahlen ebene vorstellst dass es lediglich zu einer spiegelung an der reellen achse kommt
- also wenn man komplex konjugiert dann kommt es zu einer spiegelung an der x-achse oder besser gesagt an der reellen achse war ich dann einfach xbl
- achse und y die imaginäre achse der einfachheit halber jetzt gibt es aber auch noch andere arten der spiegelung zum beispiel wenn man das komplette
- vorzeichen von der komplexen zahl ändert in dem fall kommt es zu einer spiegelung am koordinaten ursprung an nullpunkt also das hier ist eine spiegelung an dem
- punkt null null punkt spiegelung sagt man dazu und wenn wir jetzt schon die spiegelung am koordinaten ursprung haben an der
- x-achse dann ist wahrscheinlich die spiegelung an der y-achse auch nicht weit weg und tatsächlich wenn wir komplex konjugieren und das vorzeichen
- ändern oder andersrum erstes vorzeichen ändern und dann komplex konjugieren die reihenfolge spielt keine rolle
- im übrigen egal bei welcher komplexen zahl ob bei der multiplikation division addition subtraktion immer ist die komplexe konjugation vertauscht war von
- der reihenfolge du kannst ja am anfang an wänden oder erst ganz am ende in dem fall haben wir das gleiche wie hier nur eben mit einem
- geänderten vorzeichen im imaginär teils bedeutet - xy und das ist tatsächlich eine spiegelung an der y-achse weil der imaginär teil
- gleich bleibt aber lediglich der realtime im vorzeichen geändert wird und damit haben wir alle wichtigen spiegel operationen zusammen und du hast die
- komplexe konjugation kennengelernt jetzt können wir weitermachen nehmen wir uns einfach mal für die multiplikation die bei
- in komplexen zahlen 1 + 1 halb ii und 2 +3 wenn wir jetzt die beiden komplexen zahlen miteinander multiplizieren
- das hat 1 x 10.2 rechnen wollen dann funktioniert das grundlegend erstmal so wie auch in den reellen zahlen wir können die beiden in klammern
- nebeneinander schreiben da kann man deswegen weil immer noch gilt punkt vor strich rechnung und wenn wir die klammern auflösen
- wollen also zurückkommen wollen zu dieser gewohnten kt sischen darstellung dann können wir wieder mit dem distributor gesetz arbeiten also
- einfach jeden summenden der eine klammer mit jedem summenden der anderen klammer multiplizieren soll das bedeutet wir haben einmal zwei gleich zwei einmal
- drei gleich drei und dann noch ein halb ii x 2 ist gleich und einzelne und ein halt mal drei oder mehr rechnern eineinhalbmal 323 halvers und email wird
- zu iquadrat das ist neu wir wissen ja dass per definition gleich wurzel aus - einsetzt das bedeutet aber auch wenn wir wurzel aus - 1 quadri an dann haben wir
- wieder minus 1 bei raus ok spannend wenn wir also eine rein imaginäre zahl quartieren dann kommt wieder eine negative reelle zahl raus und siehst du
- das multipliziert ergibt dass hier gerade - drei halbe und diese reelle zahl hier die kann dann wieder mit dieser reellen zahlen dort vorne
- zusammengefasst werden 2 - 3 halbe ist gleich ein halter unbedingt immer auf das ende vorzeichen achten und dann können wir wieder wie gewohnt die so
- manchen zusammenfassung die beide eine beinhalten also drei plus eins ist gleich vier richtig spannend wird es allerdings wenn
- wir uns mal diese komplexen zahlen wieder in der russischen zahlen ebene anschauen das produkt von zwei komplexen zahlen
- ist lediglich abhängig von deren abstand zum koordinaten ursprung und deren winkel zur reellen achse wie ihr chance das ganze auch noch mal genau im
- nächsten video an du kannst ja aber jetzt schon mal für die geometrische vorstellung merken wenn wir zwei komplexe zahlen miteinander
- multiplizieren passiert folgendes der abstand zum koordinaten ursprung denen bezeichnet man auch oft mit dem betrag oder wenn
- ihn später radius und der ist einfach nur das produkt der abstände von den beiden komplexen zahlen die als faktoren hergehalten haben also die beträge der
- beiden faktoren wenn man sie multiplizieren dann kommt gerade der betrag von dem produkt bei raus und noch genialer finde
- ich es mit dem winkel wir nennen das auch manchmal argument der winkel oder das argument der komplexen zahlen das ist einfach nur die summe der beiden
- winkel und interessanterweise funktioniert das tatsächlich für jedes produkt von komplexen zahlen einfach erstmal nur für die vorstellung was bei
- der multiplikation eigentlich passiert bevor wir uns gleich die division anschauen zeige ich dir noch kurz ein unglaublich mächtiges werkzeug dass ich
- nicht nur super einfach merken lässt sondern dass du direkt auch gleich bei der division benutzen kannst und zwar immer wenn du eine komplexe zahl mit
- ihrer komplex konjugierten multipliziert komplex konjugiert war wenn sich das vorzeichen vom imaginär thailänderin und wenn du die beiden
- miteinander multipliziert dann kommt aber es ziemlich genial ist und einfaches bei raus das ist uns aber mal im allgemeinen und auf dem weg der
- multiplikation durchführen so wird es eben gemacht haben wir können also einfach mit dem distributor gesetz jedem so nannten der eine klammer mit jedem
- summenden der anderen klammer multiplizieren dann haben wir x-mal ex gleich iks quadrat dann haben wir noch das produkt
- - xy und dann war da noch irgendwo noch nie doch egal welcher reihenfolge dann haben wir noch das produkt von den beiden also
- plus xy und zu guter letzt noch - wie quadrat x y quadrat siehst du das - xy e-plus xy das hat sich gegenseitig weg und über
- bleibt noch iquadrat was ja lediglich minus 1 ist mit einem minus davor also minus -1 wird zu einer +1 und damit haben wir lange rede kurzer sinn
- realtime quadrat plus imaginär teil quadrat und zwar unabhängig davon ob hier ein plus oder ein minus davor steht wenn du eine komplexe zahl mit ihrer
- konjugierte multipliziert dann kommt als ergebnis raus realtime quadrat plus imaginär teil quadrat im nächsten video werden wir sogar noch sehen dass das
- nichts anderes ist wie der betrag also der abstand zum ursprung zum quadrat aber das ist einfach erst mal nur als kleiner van und genau diesen
- zusammenhang können wir gleich auch bei der division benutzen und zwar ohne diesen lästigen rechten weg hier nehmen wir uns einfach mal für die division die
- beiden komplexen zahlen - 3 + 4 und 1 + 3 iv wenn wir jetzt durcheinander teilen worden also zum beispiel z1 durch z2 rechnen wollen dann gibt es ein kleines
- problem und um das problem ein bisschen greifbarer zu machen schreibt es einmal hier oben in allgemeiner form auf und
- hier unten direkt mit eingesetzten zahlen also - 3 plus vier geteilt durch 1 + 3 das problem ist jetzt dass wir hier
- unten im nenner noch die imaginäre einheit ii haben das wollen wir aber nicht wir wollen am ende dass die komplexe zahl die entsteht wieder in
- katholischer form aufgeschrieben werden kann also schön in reale und imaginäre teil getrennt werden kann
- dafür sollte dass sie wenn überhaupt oben zähler vorkommen aber nicht mehr unten im jänner zum glück gibt's jetzt aber einen super einfachen trick um das
- nie von mir unten verschwinden zu lassen das haben uns gerade eben angeschaut wenn wir hier unten nämlich nicht dem komplex konjugierten multiplizieren
- würden da würde ja nur rauskommen real teil quadrat plus imaginär teil quadrat aber in würde selbst nicht mehr drin vorkommen dann nochmal ein gehört nicht
- zum immer genährt teil dazu und genau das können wir durchführen wir können einfach im c a und männer mit dem komplex konjugierten des nenners
- erweitern also an z1 und z2 multipliziere jetzt jeweils das komplex konjugierte des neckars siehst du das ist genau das gleiche
- damit wir es im zweifelsfall wieder weg kürzen können wenn du doch nicht gefällt es bleibt sat 1 durch z2 und wir können mit genau der gleichen komplexen zahl
- erweitern der vorteil ist jetzt allerdings dass wir unten im jänner eine komplexe zahl mit ihrer komplexen
- zahlen multiplizieren also raus kommt der betrag zum quadrat gut tragen jetzt auch nicht wirklich gesprochen im grunde ist es nur realtime quadrat
- plus imaginär teil quadrat was hier unten steht und dass uns das man hier direkt umsetzen also wir erweitern im zähler und im nenner in beiden mit dem
- komplex konjugierten des nenner ist also die beiden bleiben so bestehen die sie sind jetzt kommt allerdings genau dieselbe komplexe zahl dazu und zwar das
- komplex konjugierte des nenner ist das einfach mit geänderten vorzeichen würde hier ein minus stehen würdest du dir ein plus entscheiden und
- genau das was hier steht jetzt auch hier oben einfach damit wir es im zweifelsfall direkt wieder weg kürzen können wenn es uns doch nicht gefällt
- aber es gefällt uns sehr gut denn wenn wir jetzt hier unten aus multiplizieren den spaß machen wenn e mail ist ein allgemeiner form macht dann kommt gerade
- im nenner realtime quadrat plus imaginär teil quadrat raus also 1 quadrat +3 quadrat das einzige was wir jetzt noch machen müssen und da kommen wir leider
- nicht drum herum ist tatsächlich hier oben im zähler noch so ein produkt aus zu multiplizieren also tatsächlich bei so einer division in katholischen
- koordinaten kommt noch so eine multiplikation drinnen vor okay das ist nicht schlimm denn das ist gerade - dreimal 1 ist eine - 3 -
- dreimal - 3i wird zu einer plus 9 dann haben wir noch vier mal 14 und dann haben wir noch vier mal - 3g also - 12 quadrat schreiben uns auch
- durch noch mal so auf aber in zukunft erst ziemlich gut wenn du iquadrat direkt zu einer -1 machst also dieses iquadrat erinnert lediglich mainz vor
- lässt das vorzeichen das heißt hier steht eigentlich eine +12 und plus 12 - 3 das ist gerade eine 9 und 9 4 das ist gerade 13 und damit haben es
- geschafft da unten ist eins plus 9 gleich 10 und was sie jetzt noch machen kannst wenn du es möchtest und das würde ich
- dir empfehlen das einfach schöner aussieht ist jetzt diesen bruch aufzuteilen dass genau das gleiche recht umgesetzt wie auch im realen
- wir dürfen jeden summenden des zählers durch den gesamten nenner teilen also wir haben hier 19 + 13 10 und damit haben wir neun zehntel als realtime und
- 13 zehnte als imaginärer ist dass wir haben diesen quotienten komplexer zahlen wieder in wunderschöner pathetischer darstellung aufschreiben können
- und wenn du das ganze jetzt wieder geometrisch anschaust also einfach die beiden komplexen zahlen durcheinander teilst in der komplexen zahlen ebene
- dann wirst du dir sicher denken können dass das so ähnlich sich verhält wie auch bei der multiplikation also dass das endergebnis der quotient lediglich
- abhängig ist von den abständen zum koordinaten ursprung und von den winkeln zu reellen achse und tatsächlich ist es so dass wir schauen uns das genauer auch
- noch mal im nächsten video an aber wenn wir zwei komplexe zahlen durcheinander teilen dann ist der abstand der neu
- entstehenden komplexen zahlen einfach nur der quotient aus den abständen von den anderen beiden und mit dem winkel klaps genauso wenn bei der
- multiplikation die winkel addiert werden kannst du dreimal raten was passiert wenn wir sie durch in einer teilen die winkel die argumente werden von einer
- abgezogen dann schreibt man hier weiter - argument von der 2 und das klappt nicht nur bei unserem beispiel hier sondern für alle komplexen zahlen fassen
- einmal kurz zusammen was wir bis hierher geschafft haben wenn wir zwei komplexe zahlen miteinander addieren oder subtrahieren dann kommt es zu einer
- verschiebung einer transaktion das bedeutet im endeffekt nur dass hier lediglich die real-time zusammenfassen sie addieren oder subtrahieren und die
- imaginäre teile zusammen fassen also sie addieren oder subtrahieren aber untereinander haben die keinen einfluss spannender sieht das ganze schon aus bei
- der multiplikation beziehungsweise bei der division dame nämlich herausgefunden dass das produkt beziehungsweise der quotient komplexer zahlen lediglich
- abhängig ist von den abständen zum koordinaten ursprung und vom winkel zu reellen achse und wenn wir jetzt zeit komplexe zahlen miteinander
- multiplizieren beziehungsweise durcheinander teilen dann kommt es also einfach nur zu einer streckung beziehungsweise stauchungen und zu einer
- drehung zu einer rotation weil ja im fall der multiplikation sich die winkel an ihren und dem fall der division die winkel von
- einer abgezogen werden das einzige worauf du wirklich achten musst beim rechnen ist das quadrat gleichen -1 ist das einer der häufigsten
- schüssel fehler bei diesen grundrechenarten und was wir auch noch herausgefunden haben ist die komplexe konjugation die kannst er als ein
- technisches hilfsmittel verstehen trotzdem hat die eine ziemlich geniale geometrische interpretation und zwar haben wir gesagt ist eine komplexe
- konjugation lediglich das vorzeichen vom imaginär thailänder das heißt es kommt zu einer spiegelung an der reellen axa wenn wir allerdings mit den vorzeichen
- von real und imaginär teilen noch ein bisschen rum spielen können wir auch jede andere spiegelung erzwingen und zwar zum beispiel eine spiegelung am
- koordinaten ursprung oder eine spiegelung an der imaginären achse meine empfehlung ist dass du dir diese grundrechenarten nochmal genauer
- anschaut und vielleicht auch ein kleines bisschen trainierst so lange bis du dich damit wohlfühlt und ihr dann das nächste video zu den verschiedenen
- darstellungsmöglichkeiten der komplexen teilen anschaust denn dann geht es richtig los viel spaß heute bis zum nächsten video
- hätte ich auch das video hat der gerade gefallen wenn du dich demnächst auf einer matte prüfung vorbereiten muss dann schaue unbedingt mal unter diesem
- video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen verlinkte dich bestmöglich auf die prüfung vorbereiten wenn ihr das video weitergeholfen hat
- und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann erzählt einfach deinen kommilitonen deinen freunden und seiner familie von mir und abonniert den kanal
- danke dir
Zum Nachlesen
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