Fundamentalsatz der Algebra

Kernaussage und Bedeutung

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt: Jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle. Ist

P(z)=∑_{k=0}^{n} a_k z^k

mit a_k ∈ ℂ und Grad n>0, dann gibt es ein z∈ℂ mit P(z)=0. Genauer hat ein Polynom vom Grad n insgesamt genau n Nullstellen, wenn jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt wird.

Der Satz ist grundlegend, weil er garantiert, dass Polynomgleichungen in den komplexen Zahlen vollständig lösbar sind. Man sagt deshalb, der Körper ℂ sei algebraisch abgeschlossen. Die Aussage schließt Polynome mit ganzzahligen oder reellen Koeffizienten ein, obwohl deren Nullstellen nicht alle reell sein müssen.

Faktorisierung und reelle Koeffizienten

Ist z₀ eine Nullstelle eines Polynoms f, kann der Linearfaktor (z−z₀) abgespalten werden. Durch wiederholtes Abspalten folgt die vollständige Faktorisierung

f(z)=∑{k=0}^{n} a_k z^k=a_n∏{i=1}^{n}(z−z_i),

wobei z₁,…,z_n die mit Vielfachheit gezählten Nullstellen sind.

Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten treten nichtreelle Nullstellen paarweise komplex konjugiert auf: Ist w eine Nullstelle, so auch w̄, und beide besitzen dieselbe Vielfachheit. Ihre Linearfaktoren ergeben zusammen einen reellen quadratischen Faktor:

(z−w)(z−w̄)=z²−(w+w̄)z+w w̄=z²−2 Re(w)z+|w|².

Daher lässt sich jedes reelle Polynom in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades zerlegen. Äquivalent dazu sind irreduzible, also über dem jeweiligen Körper nicht weiter zerlegbare, komplexe Polynome linear; irreduzible reelle Polynome sind linear oder quadratisch.

Weitere gleichwertige Formulierungen lauten: ℂ ist algebraisch abgeschlossen; ℝ ist reell abgeschlossen; ℂ besitzt keine echten endlichen Körpererweiterungen; und die einzige echte endliche Körpererweiterung von ℝ ist ℝ[i]=ℂ. Für ℝ kann reelle Abgeschlossenheit auch durch zwei Eigenschaften beschrieben werden: Jede positive reelle Zahl ist ein Quadrat, und jedes reelle Polynom ungeraden Grades besitzt eine reelle Nullstelle.

Typische Beispiele

Das Polynom z⁴+15z²+4 besitzt nach dem Fundamentalsatz komplexe Nullstellen, obwohl die Gleichung z⁴+15z²+4=0 über den reellen Zahlen keine Lösung hat.

Ein Beispiel mit sichtbarer Vielfachheit ist

P(x)=x⁵−5x⁴+17x³−13x².

Es faktorisiert als

P(x)=x·x·(x−1)·(x−2+3i)·(x−2−3i)=x²(x−1)(x²−4x+13).

Die Nullstellen sind 0 mit Vielfachheit 2 sowie 1, 2−3i und 2+3i jeweils mit Vielfachheit 1. Mit Vielfachheiten gezählt ergeben sich genau fünf Nullstellen, entsprechend dem Grad 5. Außerdem zeigt das Beispiel das konjugierte Auftreten der nichtreellen Nullstellen 2±3i bei reellen Koeffizienten.

Grundideen wichtiger Beweise

Es gibt zahlreiche Beweise aus Analysis, Funktionentheorie, Algebra, Topologie und Geometrie. Der erste vollständige Beweis wurde 1799 von Carl Friedrich Gauß vorgelegt; sein Beweis von 1815 führte eine induktive algebraische Methode weiter. Die wichtigsten Argumentationswege sind:

• Rein analytisch: Der Betrag |f(z)| nimmt auf einer geeigneten kompakten Menge ein globales Minimum an. Ist der Wert an einem Punkt z keine Null, kann durch eine passend gewählte kleine Änderung w stets |f(z+w)|<|f(z)| erreicht werden. Ein Minimalpunkt muss deshalb eine Nullstelle sein.

• Mit dem Satz von Liouville: Hätte f keine Nullstelle, wäre 1/f eine auf ganz ℂ holomorphe, beschränkte Funktion. Nach Liouville wäre 1/f und damit f konstant, im Widerspruch zur Voraussetzung.

• Mit dem Cauchyschen Integralsatz: Aus der angenommenen Nullstellenfreiheit werden Integraldarstellungen gewonnen. Auf immer größeren Kreisen gilt |f(z)|→∞; entsprechende Abschätzungen führen schließlich zum unmöglichen Ergebnis 2π≤0 beziehungsweise zum Widerspruch 1=0.

• Mit dem Satz von Rouché: Auf einem hinreichend großen Kreis dominiert der höchste Term a_nzⁿ die Summe der niedrigeren Terme. Daher haben f(z) und a_nzⁿ innerhalb des Kreises gleich viele Nullstellen. Da a_nzⁿ bei z=0 eine n-fache Nullstelle besitzt, hat auch f genau n Nullstellen mit Vielfachheit.

• Topologisch: Unter der Annahme, f habe keine Nullstelle, betrachtet man die Bilder von Kreisen um den Ursprung. Für sehr große Radien haben diese Kurven dieselbe Umlaufzahl n wie a_nzⁿ; für sehr kleine Radien verhalten sie sich wie die konstante Funktion a₀ und haben Umlaufzahl 0. Ohne Überquerung des Nullpunkts kann sich die Umlaufzahl nicht ändern. Für n>0 entsteht ein Widerspruch.

• Algebraisch mit Zwischenwertsatz: Man schreibt den Grad als n=u·2ᵉ mit ungeradem u und führt Induktion über e. Den Anfang liefert die Tatsache, dass jedes reelle Polynom ungeraden Grades nach dem Zwischenwertsatz eine reelle Nullstelle besitzt. Durch geeignete Hilfspolynome wird der nächste Schritt auf quadratische Gleichungen zurückgeführt. Varianten formulieren dies mit Galois-Theorie oder Sylow-Sätzen. Allgemeiner gilt für einen reell abgeschlossenen Körper K: Positive Elemente sind Quadrate, Polynome ungeraden Grades haben eine Nullstelle in K, und K[√−1] ist algebraisch abgeschlossen.

• Komplexe Geometrie: Das Polynom wird zu einer holomorphen Selbstabbildung der komplexen projektiven Geraden erweitert. Ihr Bild ist wegen des Offenheitsprinzips offen und wegen der Kompaktheit zugleich abgeschlossen. Da der Raum zusammenhängend ist, ist die Abbildung surjektiv und nimmt insbesondere den Wert 0 an. Ein ähnlicher differentialtopologischer Beweis betrachtet die zugehörige Selbstabbildung der Sphäre S² und zeigt ihre Surjektivität.

• Funktionalanalytisch: Ein Polynom ist das charakteristische Polynom seiner Begleitmatrix. Nach dem Satz von Gelfand-Mazur ist das Spektrum eines Elements einer komplexen Banachalgebra mit Einselement nicht leer; bei einer Matrix besteht dieses Spektrum aus den Eigenwerten und damit den Nullstellen des Polynoms.

• Bewertungstheoretisch: Helmut Brückners Beweis von 1990 führt den Satz auf Ostrowskis Vollständigkeitssatz zurück. Dieser besagt, dass jeder bezüglich eines archimedischen Betrags vollständige Körper algebraisch und topologisch zu ℝ oder ℂ isomorph ist. Der komplexe Absolutbetrag lässt sich auf eine endliche Erweiterung L/ℂ durch ‖x‖=|N_{L/ℂ}(x)|^{1/[L:ℂ]} fortsetzen. Ostrowskis Satz schließt dann eine echte endliche Erweiterung von ℂ aus.

Verallgemeinerung

Die topologische Grundidee gilt nicht nur für Polynome. Jede stetige Funktion f:ℂ→ℂ besitzt eine Nullstelle, wenn eine natürliche Zahl n>0 und eine komplexe Zahl c≠0 existieren, sodass

lim_{z→∞} f(z)/zⁿ=c.

Eine Polynomfunktion f(z)=a_nzⁿ+a_{n−1}zⁿ⁻¹+…+a₁z+a₀ vom Grad n>0 erfüllt diese Bedingung mit c=a_n. Der Fundamentalsatz der Algebra ist daher ein Spezialfall dieser allgemeineren Aussage.