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Vergleichszeichen
Vergleichszeichen sind die in der mathematischen Notation üblichen Zeichen für die Darstellung der Größenverhältnisse zweier Zahlen oder Terme.
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Begriff und Grundzeichen
Vergleichszeichen sind mathematische Zeichen, mit denen das Größenverhältnis zweier Zahlen oder Terme dargestellt wird. Die wichtigsten sind das Gleichheitszeichen =, das Größer-als-Zeichen > und das Kleiner-als-Zeichen <. Weitere Zeichen drücken beispielsweise „kleiner oder gleich“, „ungefähr gleich“ oder die Verneinung eines Vergleichs aus.
Das Kleiner-als- und das Größer-als-Zeichen bestehen jeweils aus einem abgeknickten Strich mit gleich langen, geraden Schenkeln. Der Winkel ist normalerweise spitz, und die Endpunkte liegen senkrecht übereinander. Höhe und Lage entsprechen meist dem Pluszeichen. Dadurch sind diese Zeichen in vielen Schriftarten größer als Guillemets, aber kleiner als Winkelklammern, deren Winkel gewöhnlich weiter als ein rechter Winkel ist.
Die Zeichen < und > führte der englische Mathematiker Thomas Harriot 1631 in „Artis Analyticae Praxis“ ein. Das Zeichen ≥ verwendete der französische Mathematiker Pierre Bouguer erstmals 1734.
Vergleiche in der Mathematik
In der Mathematik dienen Vergleichszeichen – abgesehen vom Gleichheitszeichen – zur Bildung von Ungleichungen. In der elementaren Mathematik vergleicht man damit Zahlen; allgemeiner können sie Ordnungsrelationen darstellen, also Regeln, nach denen mathematische Objekte geordnet werden.
Das Zeichen < bezeichnet eine zweistellige Relation. Seine genaue Bedeutung hängt von der verwendeten Algebra ab. Bei natürlichen Zahlen bedeutet a < b, dass a echt kleiner als b ist, also insbesondere nicht gleich b. Dies ist die übliche Infixnotation, weil das Zeichen zwischen den verglichenen Ausdrücken steht. In Präfixnotation lautet derselbe Vergleich < (a, b). Ein richtiges Größenverhältnis wird als „wahr“ ausgewertet.
Beispiele: Die natürliche Zahl 3 ist echt kleiner als 4; man schreibt 3 < 4. Die Ordnung wird durch den Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen vorgegeben. Auch die reellen Zahlen sind geordnet, beispielsweise gilt π < √10.
Als Merkhilfe wird das Zeichen manchmal mit einem Krokodil verglichen, das nach dem größeren „Bissen“ schnappt. Diese Eselsbrücke wird jedoch kritisiert, weil sie nicht aus der mathematischen Logik folgt. Eine mathematisch orientierte Regel lautet: Auf der Seite, auf der das Zeichen weiter geöffnet und damit größer ist, steht die größere Zahl. Beim Gleichheitszeichen sind beide Seiten gleich weit geöffnet.
Arten von Vergleichszeichen
Häufige Vergleichszeichen und ihre Bedeutungen sind:
• = und ≠: gleich beziehungsweise ungleich. • ≈ und ≉: fast gleich beziehungsweise nicht fast gleich. • < und >: kleiner beziehungsweise größer als. • ≤ und ≥: kleiner beziehungsweise größer als oder gleich. • ≮ und ≯: nicht kleiner beziehungsweise nicht größer als. • ≰ und ≱: weder kleiner beziehungsweise größer als noch gleich. • ≲ und ≳: kleiner beziehungsweise größer als oder äquivalent. • ≨ und ≩: kleiner beziehungsweise größer als, aber nicht gleich. • ≪ und ≫: viel kleiner beziehungsweise viel größer als. • ⋘ und ⋙: sehr viel kleiner beziehungsweise sehr viel größer als.
Für allgemeinere Ordnungsrelationen gibt es unter anderem ≺ und ≻ für „vorangehend“ und „nachfolgend“, ≼ und ≽ für „vorangehend beziehungsweise nachfolgend oder gleich“ sowie ⊀ und ⊁ für deren Verneinungen. Weitere Kombinationen unterscheiden zwischen Gleichheit, Äquivalenz und einer Ordnungsbeziehung. Durchgestrichene Zeichen verneinen gewöhnlich das ursprüngliche Verhältnis; manche kombinierten Zeichen haben in vielen Anwendungen dieselbe Bedeutung wie andere Zeichen.
Weitere Verwendungsbereiche
In Auszeichnungssprachen wie HTML und XML kennzeichnen < und > den Beginn und das Ende von Elementen oder Tags. Beispielsweise stehen <p> und </p> für Anfang und Ende eines Absatzes. Sollen die Zeichen selbst in HTML angezeigt werden, können die benannten Ersatzdarstellungen < für „less than“ und > für „greater than“ verwendet werden.
In der Linguistik dienen > und < als Pfeile zwischen einer grammatisch oder phonetisch ursprünglichen und einer daraus abgeleiteten Form. Ein Beispiel ist altgriechisch ἑλληνικός ἀλφάβητος > neugriechisch ελληνικό αλφάβητο.
In der Musiknotation ist das keilförmige Zeichen > über oder unter einer Note das gebräuchlichste Akzentzeichen. Es steht für das schnelle Verklingen eines Tons vom lauten in den leisen dynamischen Bereich. Eine etwas schärfere Betonung kennzeichnet der Dachakzent ∧.
Computer, Tastatur und Varianten
Im ASCII-Zeichensatz haben <, = und > die Codes 0x3C, 0x3D und 0x3E. In Unicode sind unter anderem = als U+003D, < als U+003C, > als U+003E, ≤ als U+2264, ≥ als U+2265 und ≠ als U+2260 festgelegt.
Auf deutschen Standardtastaturen werden < und > mit der Taste rechts neben der linken Umschalttaste eingegeben. Bei der deutschen Belegung T2 nach DIN 2137:2012-06 erzeugt Alt Gr+a das Zeichen ≤ und Alt Gr+s das Zeichen ≥. In macOS wird ≤ mit Alt+< und ≥ mit Alt+Umschalttaste+> eingegeben.
Für „kleiner oder gleich“ und „größer oder gleich“ existieren verschiedene typografische Formen: ≤ und ≥ mit den Unicode-Werten U+2264 und U+2265 sowie den LaTeX-Befehlen \leq und \geq; ≦ und ≧ mit U+2266 und U+2267 sowie \leqq und \geqq; außerdem ⩽ und ⩾ mit U+2A7D und U+2A7E sowie \leqslant und \geqslant. DIN 1302 „Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe“ legt die Varianten ≤ und ≥ fest. Diese lassen sich auch mit der deutschen Standardtastaturbelegung E1 nach DIN 2137-01:2018-12 und der T2-Belegung der Vorgängernorm DIN 2137-01:2012-06 eingeben.
