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Trigonometrische Gleichungen lösen im Intervall – Goniometrische Gleichung mit sin und cos
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 62 Zeilen
- hallo ihr lieben heute möchte ich euch schritt für schritt zeigen wie man diese trigonometrische gleichungen lösen kann die aufgabenstellung lautet bestimme
- alle lösungen der gleichung im intervall von 0 bis 2 wir sollen also nicht nur eine lösung für diese gleichung hier finden sondern eben alle die in einem
- gewissen bereich liegen nämlich zwischen 0 und 2 p schauen wir dann sobald wir lösungen gefunden haben ob sie überhaupt in diesem intervalle liegen wenn wir uns
- die gleichung mal anschauen dann sehen wir das hier sinus von iks und auch cosinus von iks vorkommt in dieser einen gleichung und es ist nicht so angenehm
- da muss man schauen wie man das irgendwie so hinbekommt das in der gleichung nur noch sie nichts oder nur noch tangens von xl nur noch cosinus von
- ex frau kommt dann kann man diese gleichung lösen wenn ihr hier so gemischt vorkommen ist es nicht so angenehm
- deswegen schauen wir einfach mal wie die gleichung hier aufgebaut ist es ist nämlich so dass der sinus von iks hier auf der linken seite vorkommt und der
- sinus von iks auch hier auf der rechten seite vorkommt und damit kommt der sinus von iks in jedem teil dieser gleichung vor also es ist nicht so dass wir hinten
- noch einen teil mit plus oder minus steht in dem kein sinus von iks vorkommt das ist nämlich gut dann können wir nämlich den sinus von iks zusammenfassen
- wir müssen ihn nur auf eine seite bringen also am besten rechnen will - sinus von ex damit alles mit dem sinus auf eine seite kommt auf der linken
- seite steht da nur noch 0 und hier steht dieser teil der davor haben auch stand schön mit einem mal verbunden und dann ziehen wir den sinus von iks noch ab und
- da haben wir es jetzt geschafft dass dieser sinus von iks einmal hier und einmal hier steht und beide stehen auf derselben seite das bedeutet wir können
- den sinus von iks hier aus diesen ausdruck ausklang links steht die null rechts klammern wir sinus von iks aus wartet eine große klammer auf uns was
- steht drin der rest hier vorne von dem teil steht da nur noch der cosinus fonic star weil sinus von iks haben wir raus gezogen dann kommt es - und was bleibt
- hier übrig sinus von iks durch sinus von iks wäre 1 also man kann es auch so begründen dass hier einmal sinus von ex stand und wenn wir den sinus von exam
- rausziehen bleibt nur noch diese einst über ich okay dann haben wir jetzt was geschafft wir können jetzt den satz vom 0 produkt anwenden denn auf der rechten
- seite haben wir ein produkt stehen irgendwas mal irgendwas gleich null und dann dürfen wir diese gleichung aufsplitten in zwei kleinere gleichungen
- nämlich einmal entweder ist er einen teil gleich null also entweder ist sinus von iks gleich null diese gleichung werden wir dann gleich lösen oder dieser
- zweite teil dieses cosinus von x1 gleich null und auch diese gleichung werden wir dann gleich lösen das heißt wir haben jetzt nicht mehr sinus und
- cosinus in unserer gleichung sondern wir haben es geschafft dass nur noch sehen uns vorkommt in der einen und in der anderen kommt nur noch der coolness vor
- und diesen einiges einfacher zu lösen also schnappen wir uns unsere erste gleichung und so und die lösungen davon steht sie wieder ich habe auch mal den
- einheitspreis er aufgezeichnet schauen wir gleich ne wobei der uns helfen kann wenn wir den taschenrechner benutzen dürfen dann können wir jetzt ja um den
- sinus hier wegzubekommen einfach auf beiden seiten die umkehr funktionen des sinus anwenden also den akkus sinus oder sinus hoch - 1 dadurch löst sich der
- sinus auf das ixs steht alleine und wir tippen in den taschenrechner einfach ein - hoch - einst von 0 und der gibt uns dann null raus das wäre die lösung die
- wir mit dem taschenrechner finden konnten achtet nur beim taschenrechner darauf dass ihr im modus radiance steht also
- das in eurem display irgendwo zu sehen ist und nicht das ihr im modus degree unterwegs seid wir haben ja hier das intervall leute von 0 bis 2 das sagt uns
- dann sofort dass wir im bogen mars unterwegs sind und nicht im grab maß also hier stand hingegen 32 grad oder so deswegen immer schön darauf achten in
- welchem modus oder taschenrechner steht der tausend rechner liefert uns also eine lösung das ist aber nicht die einzige lösung die es gibt es ist nur
- eine die wir mit dem taschenrechner finden man kann auch immer noch eine zweite lösung finden und die berechnet man folgendermaßen wenn wir hier sinus
- von iks stehen hatten bevor wir den taschenrechner benutzt haben dann findet man eine zweite lösung indem man immer wenn wir mit dem sinus erarbeiten pi -
- diese lösung rechnet die wir schon gefunden haben also be 0 in unserem fall und wenn wir das mal ausrechnen dann wäre das eben nur also so findet man
- auch immer eine zweite lösung ohne den einheitspreis irgendwie zu benutzen wenn man eine lösung im taschenrechner gefunden hat und beim sinus unterwegs
- war dann macht man einfach p - diese gefundene lösung und findet eine zweite und das können wir uns jetzt am einheitspreis auch mal noch anschauen
- wenn wir eben keinen taschenrechner benutzen dürfen der einheitspreis ist er so aufgebaut dass es eine kreis mit radius 1 ist also läuft hier bei 1 1 - 1
- durch und auf der x-achse finden wir die werte für den cosinus und auf der y-achse die werte für den sinus also bei uns wäre jetzt hier die y-achse
- interessant man startet immer hier das wäre der winkel 0 und läuft dann hier auf dem kreis einfach lang in verschiedenen winkeln also wenn man
- winkel von 90 grad hat läuft man einfach hier an diese position und liest die werte für sinus und cosinus an den achsen eben ab
- was hätten wir hier zu lösen sinus von ex gleich null schauen also wo an welchem winkel bei welchem winkel wird der sinus gleich null naja das ist
- eigentlich an dieser stelle hier denn hier ist der cosinus auf der x-achse 1 aber der sinus wert ist er hier null weil wir gehen ja nicht hoch oder runter
- also auf der y-achse gesehen ist hier an der stelle der wert 0 das bedeutet der winkel beim winkel 0 ist unser sinus 0 und das ist genau das die erste lösung
- die herauskam winkel 0 und wenn wir auch die andere seite hier gehen da als der sinus ja auch 0 weil wir gehen ja auch nicht hoch und nicht runter sondern wir
- liegen ja auf der x-achse und welcher winkel wäre das das wäre neben 180 grad oder im bogen maß eben pi und das ist diese zweite lösung die wir hier
- gefunden haben also auch am einheitspreis könnt ihr diese beiden lösungen natürlich finden dann merken wir uns diese lösung war und tragen die
- hier bei unserer gleichung ein also die erste lösung war 0 die zweite lösung war und dann gehen wir das ganze auch mit der zweiten gleichung durch die wir noch
- hatten die schnappen wir uns eben auch und machen genau dasselbe wir rechnen hier jetzt erstmal +1 damit der cosinus auf einer seite alleine steht 0 + 11 und
- jetzt machen wir eben die umkehr funktion des cosinus also den cosinus hoch - 1 oder markus cosinus damit asics alleine steht tippen im taschenrechner
- ein cosinus hoch - 1 von 1 da müsste diesmal tatsächlich auch noch null rauskommen das ist also das was unser taschenrechner und liefert aber auch
- hier ist es nur eine lösung die wir bekommen eine zweite lösung bekommen wir diesmal wenn wir zwei pi - die lösung machen die wir hatten also - die null
- denn hier sind wir diesmal beim cosinus also beim sinus macht man - die lösung beim cosinus von iks macht man 2 - die lösung und das wäre dann nicht hier wenn
- wir das ausrechnen eben zwei schauen wir uns das noch am einheitspreis hier an da suchen wir also den winkel bei denen der cosinus 1 ist naja cosinus ist hier auf
- der x-achse also an dieser stelle das ist dann auch schon wieder der winkel 0 haben wir auch raus bekommen und wenn man einmal hier drum rum läuft dann
- kommen wir auch wieder hier raus das wäre ein voller kreis also 2 p das wäre die zweite lösung und 0 und 2 p merken wir uns für unsere lösungen hier von
- dieser zweiten gleichung das wäre also die dritte lösung wäre 0 und die vierte lösung wäre 2 p damit hätten wir jetzt alle lösungen gefunden innerhalb von
- einer umdrehung also zwischen 0 und 2 p aber unser intervall war noch ein bisschen angepasst die zwei p sollen nicht mit dabei sein
- das heißt jetzt müssen wir auch hier wieder ein klammern die ist nicht teil der lösung menge die anderen winkel schon also null und pi dann die kommen
- in die lösungs menge rein jetzt müssen wir nur noch ganz kurz schauen wenn euer intervallen bisschen größer gewesen wäre vielleicht von 0 bis 3 oder bis 4 p dann
- könnt ihr auf jede lösung die wir hier gefunden haben nochmal 2p dazu addieren weil sinus und cosinus sind ja zwei periodisch das heißt die lösung
- wiederholen sich alle 2 p also 0 + 2 wäre auch eine lösung gewesen oder wenn man nochmal 2p dazu addiert also viel wie wäre auch eine lösung gewesen und
- genauso hier unten also falls er intervall irgendwie größer sein sollte dann rechnet einfach überall nochmal 2p dazu und guckt wenn ihr dann heimlich
- grenzen stoße aber das sind die wichtigsten winkel die ihr raus bekommen müsst und von denen geht es dann immer mit zwei pi nochmal weiter und man
- findet dann damit alle dann hoffe ich dass euch das video geholfen hat dass sie damit eure aufgaben lösen könnt und dass wir uns bei einem nächsten video
- sehen macht's gut
Zum Nachlesen
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