Geometrischer Ort

Begriff und Grundidee

Ein geometrischer Ort ist in der Elementargeometrie eine Menge von Punkten, die eine bestimmte, gegebene Eigenschaft besitzen. In der ebenen Geometrie bildet diese Punktmenge meist eine Kurve; man spricht dann auch von einer Ortskurve oder Ortslinie. In der Navigation heißt ein solcher geometrischer Ort Standlinie.

Geometrische Örter sind wichtig, weil sich mit ihnen Punkte konstruieren lassen: Ein gesuchter Punkt wird als Schnittpunkt zweier geeigneter Ortslinien bestimmt. Beispiele sind der Schnitt zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden und eines Kreises. Solche Verfahren werden bereits bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal in Euklids Elementen verwendet.

Klassische Ortslinien und andere Punktmengen

Die wichtigsten Ortslinien der ebenen Geometrie sind:

• Alle Punkte mit dem festen Abstand r von einem gegebenen Punkt M bilden den Kreis um M mit Radius r.
• Alle Punkte mit dem festen Abstand d von einer gegebenen Geraden g bilden das Paar der Parallelen zu g im Abstand d.
• Alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke AB.
• Alle Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden g und h gleich weit entfernt sind, liegen auf deren beiden Winkelhalbierenden.
• Alle Punkte, die von zwei parallelen Geraden g und h gleich weit entfernt sind, liegen auf der Mittelparallelen.
• Alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt aus in einer bestimmten Richtung liegen, bilden die Gerade durch diesen Punkt mit dieser Richtung, zum Beispiel bei einer Peilung.

Nicht jeder geometrische Ort ist eine Ortslinie beziehungsweise Kurve. Die Punkte mit einem Abstand von M, der kleiner als r ist, bilden die offene Kreisscheibe um M mit Radius r. Die Punkte, deren Abstand von A nicht größer ist als ihr Abstand von B, bilden die abgeschlossene Halbebene, die durch die Mittelsenkrechte von AB begrenzt wird und A enthält.

Weitere einzelne geometrische Örter sind der Umkreismittelpunkt als einziger Punkt, der von den drei Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt ist, und der Inkreismittelpunkt als einziger Punkt, der von den drei Seiten eines Dreiecks gleich weit entfernt ist.

Weitere Ortslinien der ebenen Geometrie

Mehrere bekannte Kurven werden durch geometrische Ortsbedingungen definiert:

• Die Scheitel aller rechten Winkel, deren Schenkel durch zwei gegebene Punkte A und B gehen, liegen auf dem Thaleskreis über der Strecke AB.
• Alle Punkte, von denen aus A und B unter einem bestimmten Winkel φ gesehen werden, bilden das Fasskreisbogenpaar über AB mit dem Peripheriewinkel beziehungsweise Umfangswinkel φ.
• Haben die Abstände eines Punktes von zwei gegebenen Punkten F₁ und F₂ die feste Summe 2a, so liegt der Punkt auf einer Ellipse mit den Brennpunkten F₁ und F₂ und der großen Halbachse a.
• Hat die Differenz dieser Abstände den festen Wert 2a, so liegt der Punkt auf einer Hyperbel mit den Brennpunkten F₁ und F₂ und der reellen Halbachse a.
• Haben die Abstände eines Punktes von einer gegebenen Geraden g und einem gegebenen Punkt F den gleichen Wert, so liegt der Punkt auf einer Parabel mit dem Brennpunkt F und der Leitlinie beziehungsweise Leitgeraden g.
• Haben die Abstände von zwei gegebenen Punkten einen bestimmten Quotienten λ ≠ 1, so ist der geometrische Ort der Kreis des Apollonios.

Geometrische Örter in der räumlichen Geometrie

Auch im Raum werden Punktmengen durch Abstandsbedingungen beschrieben. Alle Punkte mit dem festen Abstand r von einem gegebenen Punkt M bilden die Kugelfläche um M mit Radius r. Praktische Beispiele sind Schrägdistanzen und die Ortung mit GPS-Satelliten.

Alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt M und einer gegebenen Ebene E den gleichen Abstand haben, bilden ein Paraboloid um M.

Anwendung: Tangenten an einen Kreis

Soll eine Tangente an einen gegebenen Kreis k mit Mittelpunkt M durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P konstruiert werden, genügt es nicht, mit dem Lineal eine Linie durch P zu zeichnen, die den Kreis möglichst gut streift. Zuerst muss der Berührpunkt bestimmt werden.

Der Berührpunkt ist der Schnittpunkt zweier Ortslinien: Die erste Ortslinie ist der gegebene Kreis k. Die zweite ist der Thaleskreis über der Strecke PM. Da sich diese beiden Kreise in zwei Punkten schneiden, entstehen zwei Berührpunkte und damit zwei Tangenten durch P.