Regel von de L’Hospital

Grundidee und Anwendungsbereich

Die Regel von de L’Hospital dient zur Berechnung von Grenzwerten von Quotienten. Sie ist besonders wichtig, wenn beim Einsetzen der Grenzstelle ein unbestimmter Ausdruck entsteht: entweder \frac{0}{0} oder \pm\frac{\infty}{\infty}. Dabei gehen Zähler f(x) und Nenner g(x) beide gegen 0 oder beide bestimmt gegen unendlich.

Unter den erforderlichen Voraussetzungen darf man statt des ursprünglichen Quotienten den Quotienten der ersten Ableitungen betrachten: \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=c\quad\Rightarrow\quad\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c. Hier sind f' und g' die ersten Ableitungen. Der Wert c kann auch ein uneigentlicher Grenzwert, also +\infty oder -\infty, sein.

Auch andere unbestimmte Ausdrücke, etwa 0\cdot\infty, \infty-\infty, 0^0, \infty^0 oder 1^\infty, können vorkommen. Für die Regel müssen sie jedoch zunächst auf einen Quotienten zurückgeführt werden, bei dem der Typ \frac00 oder \frac\infty\infty entsteht. Beispielsweise lässt sich f(x)\cdot g(x) als \frac{f(x)}{1/g(x)} schreiben. Für f(x)-g(x) kann man die Differenz durch Kehrwerte zu einem Quotienten umformen.

Ergibt der Quotient \frac{f'(x)}{g'(x)} erneut einen unbestimmten Ausdruck, können Zähler und Nenner nochmals abgeleitet werden. Das ist gegebenenfalls endlich oft zu wiederholen. Die Umkehrung gilt aber nicht: Aus der Existenz von \lim \frac{f(x)}{g(x)} folgt nicht zwingend, dass auch \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} existiert.

Voraussetzungen und genaue Aussage

Sei I=(\tilde{x}_0,x_0) ein nichtleeres offenes Intervall. Die Funktionen f,g\colon I\to\mathbb R seien differenzierbar. Für x\nearrow x_0, also wenn x von unten gegen x_0 geht, sollen f(x) und g(x) beide gegen 0 konvergieren oder beide bestimmt divergieren.

Zusätzlich muss g'(x)\ne0 für alle x\in I gelten. Konvergiert oder divergiert \frac{f'(x)}{g'(x)} für x\nearrow x_0 bestimmt gegen einen Wert c, dann gilt dies ebenfalls für \frac{f(x)}{g(x)}. Die entsprechende Aussage gilt auch für den linksseitigen Grenzübergang x\searrow\tilde{x}_0, bei dem x von oben gegen \tilde{x}_0 geht.

Sind die Voraussetzungen auf einem offenen Intervall um die Grenzstelle erfüllt, folgt insbesondere: \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=c\quad\Rightarrow\quad\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c. Die Regel gilt auch bei uneigentlichen Intervallgrenzen x_0=\pm\infty.

Anschauliche Begründung und Beweisskizze

Anschaulich beruht die Regel auf der Tangentennäherung differenzierbarer Funktionen an einer Stelle x_0. Die Tangenten haben die Gleichungen f_T(x\mid x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) und g_T(x\mid x_0)=g'(x_0)(x-x_0)+g(x_0). Für x\to x_0 wird der Quotient \frac{f(x)}{g(x)} durch \frac{f_T(x\mid x_0)}{g_T(x\mid x_0)} angenähert. Werden f(x_0) und g(x_0) beide null, bleiben nach dem Kürzen des gemeinsamen Faktors x-x_0 die Ableitungen übrig. Deshalb erscheint \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} als passende Näherung.

Für den Fall f(x)\to0 und g(x)\to0 kann man beide Funktionen durch f(x_0)=g(x_0)=0 stetig fortsetzen. Der erweiterte Mittelwertsatz liefert dann zu jedem x\in I ein \xi zwischen x und x_0, sodass \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(x_0)-f(x)}{g(x_0)-g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}. Beim Grenzübergang x\nearrow x_0 folgt die Regel. Der uneigentliche Fall lässt sich durch die Variablentransformation x\mapsto\frac1{x-x_0} darauf zurückführen.

Typische Grenzwertberechnungen

Für x\to0 soll \frac{\cos(x)-1}{\tan(x)} untersucht werden. Mit f(x)=\cos(x)-1 und g(x)=\tan(x) gilt f(x)\to0 und g(x)\to0. Der Ableitungsquotient ist \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{-\sin(x)}{1/\cos^2(x)}=-\sin(x)\cos^2(x)\to0. Daher existiert der ursprüngliche Grenzwert und hat den Wert \lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{\tan(x)}=0.

Für x\to\infty betrachtet man \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}. Zähler und Nenner gehen gegen \infty. Mit f(x)=\sqrt{x} und g(x)=\ln(x) erhält man \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{1/(2\sqrt{x})}{1/x}=\frac{\sqrt{x}}2\to\infty. Damit folgt als uneigentlicher Grenzwert: \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}=\infty.

Grenzen der Regel und Verallgemeinerung

Die Voraussetzungen müssen wirklich geprüft werden. Für f(x)=\sin x+2x und g(x)=\cos x+2x liegt für x\to\infty zwar der Typ \frac\infty\infty vor. Der Ableitungsquotient \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{\cos x+2}{-\sin x+2} ist wegen seiner Periodizität jedoch unbestimmt divergent. Die Regel ist deshalb nicht anwendbar. Trotzdem konvergiert der ursprüngliche Quotient, denn \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{\sin x-\cos x}{\cos x+2x}\right)=1.

Sind Taylorentwicklungen von Zähler und Nenner bekannt, kann der Landau-Kalkül oft einfacher sein als mehrfaches Ableiten. Das Beispiel \frac{\sin x-x}{x(1-\cos x)}=\frac{-\frac16x^3+\mathcal O(x^5)}{x\left(\frac{x^2}{2}+\mathcal O(x^4)\right)}=\frac{-\frac16+\mathcal O(x^2)}{\frac12+\mathcal O(x^2)}\to-\frac13 gilt für x\to0. Dabei beschreibt \mathcal O(\cdot) die Größenordnung eines Restterms.

Für komplexe Variablen gilt eine Verallgemeinerung: Sind f und g in D holomorph, also komplex differenzierbar, und haben sie an a\in D dieselbe Nullstellenordnung k, dann ist \lim_{z\to a}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(k)}(a)}{g^{(k)}(a)}.