Goldenes Rechteck

Definition und Grundprinzip

Ein Goldenes Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht. Sind a und b seine Seitenlängen, gilt

a:b=(a+b):a.

Der zugehörige Verhältniswert ist die Goldene Zahl

Φ=(1+√5)/2.

Die entscheidende geometrische Eigenschaft lautet: Entfernt man vom Goldenen Rechteck einen quadratischen Abschnitt, bleibt ein kleineres Goldenes Rechteck übrig. Dieses besitzt dasselbe Seitenverhältnis wie das ursprüngliche Rechteck. Dadurch kann die Zerlegung immer wieder fortgesetzt werden.

Konstruktionen

Ein Goldenes Rechteck lässt sich auf verschiedene Arten konstruieren:

• Konstruktion aus einem Quadrat: Zunächst wählt man ein paralleles Seitenpaar des Quadrats und bestimmt die Seitenmitten. Die beiden Seiten werden auf einer Seite des Quadrats verlängert. Um eine Seitenmitte zeichnet man einen Kreis, der durch die gegenüberliegenden Eckpunkte des Quadrats verläuft. Sein Schnittpunkt mit der verlängerten Quadratseite bildet einen Eckpunkt des Goldenen Rechtecks. Der zweite Eckpunkt entsteht durch die entsprechende Konstruktion an der anderen Seitenmitte oder durch eine Senkrechte vom ersten neuen Eckpunkt zur zweiten Seitenverlängerung.

• Konstruktion innerhalb eines Quadrats: Jede Quadratseite wird im Goldenen Schnitt geteilt. An einem Paar gegenüberliegender Ecken liegen nur die kürzeren Teilstücke, am anderen Paar nur die längeren. Die vier Teilungspunkte bilden die Ecken eines Goldenen Rechtecks.

• Konstruktion aus einem regulären Fünfeck: In einem regelmäßigen Fünfeck teilen sich die Diagonalen gegenseitig im Goldenen Schnitt. Man konstruiert ein solches Fünfeck mit der Seitenlänge a und zwei einander schneidenden Diagonalen. Eine Diagonale dient als Grundseite des Rechtecks. An ihren Enden werden senkrechte Strecken der Länge a errichtet; so entsteht ein Goldenes Rechteck.

Unendliche Zerlegung und Spirale

Das nach dem Entfernen eines Quadrats verbleibende Goldene Rechteck kann erneut in ein Quadrat und ein noch kleineres Goldenes Rechteck zerlegt werden. Bei unendlicher Wiederholung schrumpfen die Goldenen Rechtecke im Grenzfall zu einem Punkt.

Dieser Grenzpunkt ist zugleich:

• gemeinsamer Schnittpunkt der Umkreise aller bei der Zerlegung entstehenden Quadrate,

• gemeinsamer Schnittpunkt der Diagonalen aller Goldenen Rechtecke,

• gemeinsamer Schnittpunkt der Diagonalen der Figuren, die jeweils aus einem Quadrat und einem an dessen kleinerer Seite liegenden Goldenen Rechteck bestehen,

• Scheitelpunkt von acht benachbarten 45°-Winkeln. Die beiden dabei betrachteten Gruppen von Diagonalen stehen jeweils orthogonal, also senkrecht, aufeinander.

Die fortgesetzte Zerlegung erzeugt eine spiralförmige, unendliche Folge von Quadraten. Zeichnet man in diese Quadrate zusammenhängende Viertelkreise, entsteht eine ebene Spirale aus immer kleineren Kreisbögen. Hat das Ausgangsrechteck die Seitenlängen 1 und Φ=(1+√5)/2, ist diese Kurve eine relativ genaue Approximation der Goldenen Spirale.

Ineinander liegende Rechtecke und Dreiecksspiralen

Vier kongruente, also deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke können so angeordnet werden, dass ineinander liegende Goldene Rechtecke entstehen. Eine Kathete jedes Dreiecks ist doppelt so lang wie die andere. Setzt man die kleinere Kathete gleich 1 und die größere gleich 2, gilt für das große Rechteck

(1+√5):2=Φ.

Für das kleine Rechteck ergibt sich

2:(√5−1)=2/(√5−1)=2(√5+1)/4=(√5+1)/2=Φ.

Beide Rechtecke sind daher Goldene Rechtecke.

Wendet man dieselbe Anordnung immer wieder auf das jeweils kleinere Rechteck an, entstehen vier unendliche konvergente Reihen ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke. Ihre Grenzwerte sind identisch; die vier Reihen füllen spiralförmig die gesamte Fläche des großen Rechtecks aus. Gleichzeitig konvergieren die Flächenmaßzahlen der mittleren Rechtecke gegen null.

Jede der vier Dreiecksspiralen besitzt die Flächenmaßzahl

A=2(1+√5):4=Φ.

Damit stimmt ihre Flächenmaßzahl mit dem Wert des Goldenen Schnitts überein.

Kreispackung und Goldene Rechtecke

Auch bestimmte Kreispackungen in einem Rechteck stehen mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung. Betrachtet wird eine Packung aus fünf Kreisen: Der grüne Kreis hat den Radius a, zwei rote Kreise haben jeweils den Radius 1 und zwei blaue Kreise jeweils den Radius b. Mit c wird der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des linken roten und dem des oberen blauen Kreises bezeichnet.

Für a, b und c gilt das nichtlineare Gleichungssystem

a+2b=1,

c=a+1,

c²+(a+b)²=(1+b)².

Seine Lösung lautet

a=√5−2,

b=(3−√5)/2,

c=√5−1.

Aus diesen Werten ergeben sich innerhalb der Kreispackung drei Goldene Rechtecke:

• Rechteck 1 hat die Seitenlängen 2 und c; wegen 2/c=Φ ist es ein Goldenes Rechteck.

• Rechteck 2 hat die Seitenlängen c und 2b; wegen c/(2b)=Φ ist es ebenfalls ein Goldenes Rechteck.

• Rechteck 3 hat die Seitenlängen 2a+2b und 2b; wegen (2a+2b)/(2b)=Φ ist auch dieses Rechteck golden.