Spirale

Grundidee und Abgrenzung

Eine Spirale oder Schneckenlinie ist im engeren Sinn eine Kurve, die um einen Punkt oder um eine Achse verläuft und sich je nach Blickrichtung vom Zentrum entfernt oder ihm annähert. Im erweiterten Sinn kann der Begriff auch für andere mathematische Objekte verwendet werden, etwa Zahlen, Zahlenfolgen oder Figuren. Beispiele dafür sind die Ulam-Spirale, die Wurzelspirale, die Fibonacci-Spirale oder Spiralen im Pythagoras-Baum.

Wichtig ist die Abgrenzung zur Schraube, auch Wendel oder Helix genannt. Die prototypische Spirale liegt in einer Ebene, zum Beispiel die Rille einer Schallplatte oder die Arme einer Spiralgalaxie. Eine Schraube oder ein Wendelbohrer ist dagegen ein räumliches Gebilde entlang der Oberfläche eines Zylinders. Die Grenze zu einem Wirbelrad ist im Artikel als letztlich unklar beschrieben.

Ebene Spiralen in der Mathematik

Ebene Spiralen werden besonders gut im Polarkoordinatensystem beschrieben. Dabei gibt man den Abstand r vom Ursprung als Funktion des Winkels φ an:

r = r(φ)

Anders als bei einem einfachen Kreis läuft φ im Allgemeinen nicht nur bis 2π, sondern bis unendlich; auch negative Winkel sind möglich. In x-y-Koordinaten erhält man daraus die Parameterdarstellung:

x = r(φ) cos φ
y = r(φ) sin φ

Wenn man in der Polardarstellung φ durch φ − φ0 ersetzt, wird die Spirale um den Winkel φ0 gedreht; dabei muss eventuell der Definitionsbereich angepasst werden.

Wichtige Beispiele sind:

Archimedische Spirale: r = aφ. Sie entsteht zum Beispiel beim Aufwickeln eines gleichmäßig dicken Teppichs und wird in der r-φ-Ebene durch eine Gerade beschrieben.
Hyperbolische Spirale: r = a/φ. Sie wird in der r-φ-Ebene durch eine Hyperbel beschrieben, entsteht bei der Zentralprojektion einer Schraubenlinie auf eine zur Schraubachse senkrechte Ebene und ist auch das Bild einer archimedischen Spirale bei einer Kreisspiegelung.
Fermatsche Spirale: r = a√φ. Sie heißt auch parabolische Spirale, weil ihre Polargleichung eine Parabel beschreibt.
Lituus-Spirale: r = a/√φ. Sie ist das Bild einer fermatschen Spirale bei einer Kreisspiegelung.
Logarithmische Spirale: r = ae^(kφ). Sie entsteht zum Beispiel beim Wachstum von Schneckenhäusern. Löst man ihre Gleichung nach φ auf, erhält man φ = (1/k) · ln(r/a).

Nicht alle Spiralen passen in dieses einfache Konzept. Die Wurzelschnecke oder Spirale des Theodorus ist keine glatte Kurve, sondern ein Polygon mit Seitenlängen 1. Die Klothoide oder Cornu-Spirale besitzt zwei asymptotische Punkte.

Wichtige Eigenschaften

Eine zentrale Größe ist der polare Steigungswinkel α. Das ist der Winkel, unter dem die Tangente der Spirale den zugehörigen Polarkreis schneidet. Die Tangente ist eine Gerade, die die Kurve an einem Punkt berührt; der Polarkreis ist der Kreis um den Ursprung mit Radius r. Die polare Steigung ist tan α. Es gilt:

tan α = r'/r

Für Spiralen der Form r = aφ^n ist:

tan α = n/φ

Bei der archimedischen Spirale ist n = 1, also tan α = 1/φ. Bei der logarithmischen Spirale ist tan α = k konstant.

Die Krümmung κ beschreibt, wie stark eine Kurve an einer Stelle gebogen ist. Für eine Kurve in Polardarstellung gilt:

κ = (r² + 2(r')² − r r'') / (r² + (r')²)^(3/2)

Für r = aφ^n ergibt sich:

κ = (1/(aφ^(n−1))) · (φ² + n² + n)/(φ² + n²)^(3/2)

Für n = 1, also die archimedische Spirale, ist κ = (φ² + 2)/(a(φ² + 1)^(3/2)); sie hat daher keinen Wendepunkt. Für die logarithmische Spirale r = ae^(kφ) ist κ = 1/(r√(1 + k²)).

Auch Flächen und Längen lassen sich berechnen. Die Sektorfläche zwischen den Winkeln φ1 und φ2 ist:

A = 1/2 ∫ von φ1 bis φ2 r(φ)² dφ

Für r = aφ^n ergibt sich für n ≠ −1/2:

A = a²/(2(2n + 1)) · (φ2^(2n+1) − φ1^(2n+1))

Für n = −1/2 gilt:

A = a²/2 · (ln φ2 − ln φ1)

Die Bogenlänge einer Kurve in Polardarstellung ist:

L = ∫ von φ1 bis φ2 √((r'(φ))² + r(φ)²) dφ

Für r = aφ^n wird daraus:

L = a ∫ von φ1 bis φ2 φ^(n−1)√(n² + φ²) dφ

Diese Integrale sind nicht für alle n geschlossen lösbar; bei der fermatschen Spirale entsteht ein elliptisches Integral. Für die logarithmische Spirale r = ae^(kφ) gilt: L = (√(k² + 1)/k) · (r(φ2) − r(φ1)).

Beschränkte und räumliche Spiralen

Üblicherweise ist r(φ) bei einer Spirale streng monoton, stetig und unbeschränkt. In den Standardbeispielen ist r(φ) meist eine Potenzfunktion oder eine Exponentialfunktion. Man kann aber auch eine beschränkte streng monotone Funktion wählen und erhält dann eine beschränkte Spirale. Als Beispiel eignet sich der Arkustangens.

Ein erstes Beispiel ist r = a arctan(kφ) mit k = 1/10, a = 4 und φ ≥ 0. Diese Spirale beginnt im Ursprung wie die archimedische Spirale und nähert sich dem Kreis mit Radius r = 2π. Ein zweites Beispiel ist r = a(arctan(kφ) + π/2) mit k = 1/5, a = 2 und −∞ < φ < ∞. Diese Spirale nähert sich dem Ursprung wie die hyperbolische Spirale und ebenfalls dem Kreis mit Radius r = 2π.

Räumliche Spiralen entstehen, wenn zur ebenen Parameterdarstellung eine dritte Koordinate z hinzukommt. Bei konischen Spiralen liegt die Kurve auf einem senkrechten Kreiskegel mit der Gleichung m²(x² + y²) = (z − z0)². Aus einer ebenen Spirale mit x = r(φ) cos φ und y = r(φ) sin φ wird durch z = z0 + m r(φ) eine konische Spirale. Bei einer archimedischen Grundspirale r(φ) = aφ erhält man:

x = aφ cos φ
y = aφ sin φ
z = z0 + maφ, φ ≥ 0

In diesem Fall kann die konische Spirale auch als Schnittkurve eines Kegels und einer Wendelfläche verstanden werden.

Kugelspiralen entstehen auf einer Kugel mit Radius r. In Kugelkoordinaten gilt x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ und z = r cos θ. Gibt man φ = cθ mit c > 2 vor, erhält man eine Kugelspirale mit 0 ≤ θ ≤ π. Kugelspiralen sind spezielle Clelia-Kurven. Für c = 1, also φ = θ, entsteht eine vivianische Kurve. Eine Loxodrome ist in diesem Sinn keine Kugelspirale.

Zahlenspiralen und Anwendungen als Bild

Bei Zahlenspiralen wird keine geometrische Kurve, sondern eine Folge von Zahlen spiralförmig betrachtet. Die im Artikel gezeigte Zahlenspirale enthält die ersten 99 natürlichen Zahlen einschließlich der Null. Gerade und ungerade Zahlen sind darin schachbrettartig verteilt: Die diagonal verlaufenden Kästchenreihen sind abwechselnd mit geraden und ungeraden Zahlen belegt.

Die Quadrate der geraden Zahlen liegen auf einem rot markierten Diagonalenteil, die Quadrate der ungeraden Zahlen auf einem gelb markierten Diagonalenteil. Zahlen auf grün markierten Diagonalenteilen haben eine besondere Beziehung zu angrenzenden roten und gelben Feldern: Springt man waagerecht und senkrecht zu diesen Feldern, bildet die Zahl auf dem grünen Feld das geometrische Mittel der beiden anderen Zahlen. Beispiel: 30 = √(25 · 36) = 5 · 6. Die Zahlen in der grünen Diagonale einschließlich der Null bilden außerdem eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.

In den Sozialwissenschaften wird „Spirale“ als Metapher verwendet. Elisabeth Noelle-Neumann nutzte den Begriff „Schweigespirale“ in der Demoskopie für ein gegenseitiges Aufschaukeln sozialer Reaktionen: Bestimmte Minderheitenstandpunkte würden so nachdrücklich vertreten, dass die Mehrheit zögere, sich zu äußern; dadurch werde die Minderheit immer bestimmender und die Mehrheit immer stummer. Der Artikel betont, dass dieser Zusammenhang empirisch sehr schwer zu überprüfen ist. Allgemein spricht man bei Mechanismen, die eine Eskalation eines Zustands bewirken, von einer Spirale, etwa bei der „Spirale der Gewalt“. In der Systemwissenschaft zeigen harmonische Oszillatoren, die exponentiell anwachsen, logarithmische Spiralen in Phasenraumdiagrammen; deshalb sei „Eskalationsspirale“ mathematisch korrekter als „Teufelskreis“, weil dieser keine Eskalation der Zustände enthält.

Spiralen in Kunst und Natur

In der Natur kommen Spiralen bei vielen Pflanzen und manchen Tieren vor. Beispiele sind das Schneckenhaus, fossile Ammoniten, Sonnenblumen, Farnblätter und spiralige Strukturen im Bauplan von Tieren. Biologisch erzeugte Spiralen beruhen meistens auf logarithmischen Spiralen; ihre Anordnung erfolgt in den allermeisten Fällen als Fibonacci-Folge. Weitere Beispiele sind die Hörschnecke des Gehörorgans im Innenohr von Säugetieren, lateinisch Cochlea, und das Horn mancher Schafarten.

In der Physik kann ein elektrisch geladenes Teilchen in einem Magnetfeld eine Spiralbahn ausführen, sofern es sich nicht parallel, antiparallel oder quer zur Nord-Süd-Ausrichtung des Magnetfeldes bewegt. Die Kraft, die es auf diese Bahn zwingt, heißt Lorentzkraft. Genau genommen ist diese Flugbahn aber eine Schraubenlinie. Bei paralleler oder antiparalleler Bewegung entsteht eine gerade Flugbahn, bei Bewegung quer zur Nord-Süd-Ausrichtung eine Kreisbahn. Wenn ein Teilchen auf einer Kreisbahn durch elektromagnetische Strahlung Energie verliert, bewegt es sich auf einer immer enger werdenden Spiralbahn. Bei Energieverlusten und in inhomogenen Magnetfeldern können konische Spiralen aus der Überlagerung von Schraube und Spirale entstehen.

In der Kunst sind Spiralen seit vor- und frühgeschichtlicher Zeit als Ornament auf Stein und Keramik verbreitet. Beispiele nennt der Artikel aus der Bandkeramik der Jungsteinzeit sowie aus frühen Hochkulturen Ägyptens, Kretas und Chinas. In Europa finden sich Spiralmotive von Megalithkulturen über Bronzezeit und frühe Eisenzeit bis zu Kelten und Germanen. Spiralen können eine Vorstellung von Unendlichkeit vermitteln, unheilabwehrend, also apotropäisch, gemeint sein oder als Stammeszeichen dienen.

Tripel- und Mehrfachspiralen erscheinen etwa als Triskele. Auf Gotland wurden Spiralornamente als 4-, 6- und 7-fache Kombination gefunden; vermutlich handelt es sich, ähnlich wie beim Wirbelrad, um ein Sonnensymbol oder um die Darstellung einer Göttervielheit. Im Mittelalter sind Spiralmotive in der europäischen Kunst der Romanik und Gotik eher selten, kommen aber an einzelnen Kirchenportalen, Tür- und Truhenbeschlägen vor. In Renaissance, Barock und Jugendstil wurden Spiralen wieder wichtiger: Sie erscheinen in Arabeske, Groteske, Volute, Rollwerk, figura serpentinata, barocken Voluten und im Jugendstil, zum Beispiel bei Gustav Klimt. Friedensreich Hundertwasser verwendete die Spirale als Symbol von Geburt und Tod und schätzte sie als Gegenbild zur geraden Linie.