Goldener Schnitt

Begriff und Zahlenwert

Der Goldene Schnitt ist die Teilung einer Größe in zwei positive, ungleiche Teile a>b so, dass sich der größere Teil zum kleineren genauso verhält wie die Gesamtgröße zum größeren Teil:

a/b = (a+b)/a.

Anschaulich wird meist eine Strecke geteilt: Der längere Abschnitt heißt Major, der kürzere Minor. Die Definition gilt aber ebenso für andere Größen, auch mit Maßeinheiten. „Goldener Schnitt“ kann den Teilungsvorgang, den Teilungspunkt oder – meist – den Zahlenwert selbst meinen.

Das Verhältnis heißt gewöhnlich Φ (auch φ oder varphi):

Φ = a/b = (a+b)/a = (1+√5)/2 ≈ 1,6180339887.

Sein Kehrwert ist

1/Φ = b/a = a/(a+b) = 2/(1+√5) ≈ 0,6180339887.

Aus der Definitionsgleichung folgt a²=ab+b². Für b=1 erhält man x²-x-1=0; Φ ist deren positive Lösung. Die negative Lösung ist -1/Φ. Φ ist irrational, also nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar; seine Dezimaldarstellung ist daher nicht periodisch. Zugleich ist Φ eine algebraische Zahl vom Grad 2 und mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Wichtige mathematische Zusammenhänge

Die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … entsteht, indem jedes neue Glied die Summe der beiden vorherigen ist. Die Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähern sich Φ an:

lim(n→∞) f(n+1)/f(n) = Φ.

Beispielsweise ist 55/34 ≈ 1,6176 und 144/89 ≈ 1,6181. Die Binet-Formel gibt die Fibonacci-Zahlen direkt an:

f(n) = (1/√5)(Φⁿ-(-1/Φ)ⁿ).

Auch die Lucas-Zahlen erfüllen L(n)=Φⁿ+(-1/Φ)ⁿ. Die Beziehung erklärt sich daraus, dass ein möglicher Grenzwert x der Quotienten die Gleichung x=1+1/x erfüllen muss.

Die Kettenbruchentwicklung von Φ besteht nur aus Einsen: Φ=1+1/(1+1/(1+…)). Bricht man sie ab, entstehen Brüche aus aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen. Da Eins die kleinste natürliche Zahl ist, konvergiert diese Kettenbruchentwicklung besonders langsam. Deshalb gehört Φ, zusammen mit äquivalenten Zahlen, zu den irrationalen Zahlen, die sich besonders schlecht durch rationale Zahlen p/q annähern lassen. Für jede irrationale Zahl x gibt es zwar unendlich viele p/q mit |x-p/q|<1/(√5 q²), doch für Φ gibt es bei jedem C>√5 nur endlich viele Näherungen mit |Φ-p/q|<1/(Cq²).

Weitere Darstellungen sind die Kettenwurzel Φ=√(1+√(1+√(1+…))) sowie die Reihe Φ=Σ(k=1 bis ∞) 1/Φᵏ. Trigonometrisch gilt Φ=2 cos(π/5)=2 sin(3π/10).

Geometrische Formen und Konstruktionen

Eine Strecke lässt sich mit Zirkel und unskaliertem Lineal im Goldenen Schnitt teilen. Bei der inneren Teilung liegt der Teilungspunkt auf der gegebenen Strecke; bei der äußeren Teilung liegt er auf ihrer Verlängerung. Ein klassisches inneres Verfahren errichtet an einem Endpunkt eine Senkrechte der halben Streckenlänge. Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt mit dem Satz des Pythagoras die Länge (√5-1)/2 der gesuchten Teilstrecke, also Φ⁻¹ der Ausgangslänge.

Das regelmäßige Fünfeck und das Pentagramm enthalten den Goldenen Schnitt mehrfach: Die Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks verhält sich zu seiner Seite wie Φ:1. Im Pentagramm teilen sich auch die Diagonalen im Goldenen Verhältnis; das Muster kann in immer kleinere einbeschriebene Pentagramme fortgesetzt werden. Ein Goldenes Rechteck hat das Seitenverhältnis Φ:1, ein Goldenes Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, dessen entsprechende Seiten dieses Verhältnis besitzen. Die zwölf Ecken eines Ikosaeders sind die Ecken von drei gleich großen, paarweise senkrecht stehenden Goldenen Rechtecken.

Der Goldene Winkel entsteht durch Teilung des Vollwinkels von 360° im Goldenen Schnitt. Der kleinere Winkel beträgt etwa 137,5°, der Ergänzungswinkel etwa 222,5°. Wiederholte Drehungen um diesen Winkel führen theoretisch nie genau in dieselbe Richtung zurück.

Die Goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale mit Streckungsfaktor Φ. In Polarkoordinaten lautet ihre Gleichung r(θ)=Φ^(2θ/π); bei einer Drehung um 90° ändert sich der Radius um den Faktor Φ. Sie kann näherungsweise durch Viertelkreise in rekursiv zerlegten Goldenen Rechtecken gezeichnet werden. Die Spira mirabilis ist ebenfalls eine logarithmische Spirale, jedoch mit Streckungsfaktor Φ⁻¹; sie lässt sich aus immer kleineren Goldenen Dreiecken annähern.

Geschichtlicher Rahmen und Verallgemeinerungen

Die erste erhaltene genaue Beschreibung findet sich bei Euklid um 300 v. Chr. in den Elementen. Das Verhältnis war damals als Teilung im inneren und äußeren Verhältnis bekannt. Fibonacci behandelte im Liber abbaci die nach ihm benannte Folge und kannte auch eine Aufgabe zur Teilung im Goldenen Schnitt, stellte aber den Zusammenhang zwischen Folge und Verhältnis nicht dar. In Renaissance und Neuzeit befassten sich unter anderem Luca Pacioli und Johannes Kepler damit. Der Begriff „Goldener Schnitt“ wurde erst in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts allgemein verbreitet; die Symbolbezeichnung Φ beziehungsweise φ führte Mark Barr um 1909 ein.

Eine Verallgemeinerung ist der Silberne Schnitt δ. Er erfüllt (2a+b)/a=a/b und hat den Wert δ=1+√2≈2,414. Seine Kettenbruchentwicklung verwendet nur Zweien: δ=2+1/(2+1/(2+…)).

Als kubische Varianten nennt der Artikel Grenzwerte rekursiver Folgen. Für die Perrin-Folge ist der Grenzwert ψ≈1,3247 die positive Lösung von ψ³-ψ-1=0 und wird gelegentlich Plastik-Konstante genannt. Für eine Tribonacci-Folge erscheint χ≈1,8392 mit χ³-χ²-χ-1=0. Diese Zahlen ähneln Φ insofern, als sie als Grenzwerte von Quotienten aufeinanderfolgender Folgenglieder auftreten.

Naturwissenschaftliche Vorkommen

Bei manchen Pflanzen steht der Winkel zwischen aufeinanderfolgenden Blättern ungefähr im Goldenen Winkel von 137,5°. Diese Blattstellung heißt Phyllotaxis. Sie wird unter anderem bei Sonnenblumen, Kohlarten, Kiefernnadeln junger Äste, Zapfen, Agaven sowie vielen Palmen- und Yuccaarten genannt. Häufig entstehen dabei Fibonacci-Spiralen: Blätter oder Früchte mit einem Abstand, der eine Fibonacci-Zahl ist, liegen räumlich nahe beieinander. Bei Sonnenblumen werden außen beispielsweise 34 und 55, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder 89 und 144 Spiralen gezählt.

Als Erklärung wird diskutiert, dass Wachstumshemmer oder Nährstoffkonzentrationen die Position neuer Knospen steuern. Ein rationaler Winkel würde nach endlich vielen Blättern dieselbe Richtung wiederholen. Die starke Irrationalität von Φ kann dagegen Überdeckungen der Blattflächen selten machen und damit die Lichtnutzung begünstigen. Andere mögliche Vorteile betreffen Stabilität und den Stofftransport. Die Erscheinung ist nicht allgemein: Manche Kakteen zeigen etwa 99,5°, und bei einigen Pflanzen treten andere Blattspiralen auf. Behauptete Goldene-Schnitt-Verhältnisse bei menschlichen Körpermaßen oder etwa Efeublättern sind umstritten; bei Körpermaßen wurden Streuungen im Bereich von 20 % festgestellt.

In der Physik treten goldene Verhältnisse bei Quasikristallen auf. Diese besitzen fünfzählige Symmetrie, sind aber nicht global periodisch. Ihre rhomboedrischen Bausteine haben Rauten, deren Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Dan Shechtman und Kollegen entdeckten solche Strukturen 1982; Shechtman erhielt 2011 den Nobelpreis für Chemie. In Kobalt-Niobat fanden HZB-Forscher 2010 Resonanzfrequenzen benachbarter Spinketten im Verhältnis 1,618… .

Anwendungen, Kunst und Informatik

In Kunst und Architektur wird der Goldene Schnitt oft als harmonische Proportion bezeichnet. Für eine besondere ästhetische Wirkung gibt es jedoch keinen empirischen Beleg. Gustav Theodor Fechner hielt den ästhetischen Wert des Goldenen Schnitts aufgrund seiner Versuche sogar für überschätzt. Zuschreibungen an ältere Bauwerke oder Kunstwerke, etwa Cheops-Pyramide, Parthenon, Notre-Dame, Mona Lisa oder Werke Dürers, sind häufig nicht durch Quellen für eine bewusste Anwendung belegt. Bei Proportionsanalysen können zudem viele mögliche Linien und Maße nachträglich ausgewählt werden. Eine quellenhistorisch gesicherte architektonische Anwendung ist Le Corbusiers ab 1940 entwickeltes Maßsystem Modulor, das er 1949 veröffentlichte.

Auch vermutete Goldene-Schnitt-Strukturen in Literatur und Musik bleiben teils umstritten. In der Musik kann das Frequenzverhältnis 8:5, also eine kleine Sexte, Φ annähern. Behauptungen über eine planvolle Verwendung bei Béla Bartók sind umstritten. Nach 1945 gibt es bewusste Proportionierungen mit Fibonacci-Zahlen, etwa bei Karlheinz Stockhausen und Gérard Grisey. Für Stradivaris bewusste Verwendung im Geigenbau existiert kein Nachweis.

In der Informatik empfiehlt Donald E. Knuth für die multiplikative Hashfunktion h(k)=⌊m(kA-⌊kA⌋)⌋ die Konstante A=1/Φ, um Datensätze in einer Hashtabelle gut zu verteilen. Das Verfahren des Goldenen Schnittes sucht numerisch ein Minimum oder Maximum einer Funktion in [a,b]. Es setzt τ=Φ-1 und verwendet x=b-τ(b-a) sowie x'=a+τ(b-a), um das Suchintervall fortlaufend im Goldenen Schnitt zu verkleinern. Bei Unbestimmtheitsintervallen ist es unter der genannten Annahme über Extrempunkte um 14 % effektiver als Intervallhalbierung. Beim euklidischen Algorithmus beschreibt Φ den schlechtesten Fall: Die maximale Zahl benötigter Divisionen wächst wie log(N)/log(Φ)≈2,07808692 log(N) und damit logarithmisch.