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Wie berechneten Mathematiker den goldenen Schnitt?🤔📝
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 74 Zeilen
- ich werde euch gleich zwei Bilder zeigen und ihr entscheidet welches euch besser gefällt wenn ihr sie seht habt ihr 5 Sekunden Zeit um eine Entscheidung zu
- treffen los [Musik] geht's die Mehrheit von euch müsste das rechte Bild bevorzugen warum ist das so
- neben persönlichen Präferenzen spielt der sogenannte goldene schnit hier eine entscheidende Rolle der Goldene Schnitt ist ein bestimmtes Verhältnis von Längen
- das für unser Auge besonders ästhetisch wirkt wir können den Goldenen Schnitt mathematisch sogar genau angeben doch wie kommt man auf diesen Wert in diesem
- Video schauen wir uns die Mathematik hinter dem Goldenen Schnitt an und was der Mathematiker Fibonacci damit zu tun hat wir beginnen dieses Video im antiken
- Griechenland zu dieser Zeit bestand die Mathematik größtenteils aus der Geometrie der Goldene Schnitt wurde bereits zu dieser Zeit erkannt er wurde
- aber noch nicht so bezeichnet und ein numerischer Wert wurde auch noch nicht berechnet der Mathematiker Euklid schrieb in seinem Werk Elemente bereits
- die Definition des goldenen Schnitts die auch heute noch Gültigkeit besitzt die Definition ist folgende man kann eine Linie in zwei Teile teilen sodass das
- Verhältnis der großen Teilstrecke zur kleinen Teilstrecke gleich ist wie das Verhältnis der gesamten Strecke zur großen Teilstrecke genau wenn das der
- Fall ist würde man heute vom Goldenen Schnitt sprechen wie kommen wir jetzt durch diesen geometrischen Ansatz auf einen numerischen Wert für den Goldenen
- Schnitt wir bezeichnen mit F den Goldenen Schnitt also das Verhältnis von B zu a und von C zu B wenn also F = B dur a ist können wir die Gleichung mit a
- multiplizieren und erhalten f* a ist= b das werden wir gleich noch benutzen also nicht vergessen zunächst können wir jetzt sagen dass F = C dur B ist aber C
- ist ja einfach nur die Summe von A und B jetzt nutzen wir aus dass f* a = b ist und erhalten = A + π* A dur π* a im Zähler können wir
- das a ausklammern und im nächsten Schritt dann das a rauskürzen dann multiplizieren wir die gleiche noch mit F und erhalten ho 2 = 1
- + F die Gleichung stellen wir um und erhalten ho 2 - F - 1 = 0 mit der Mitternachtsformel ergibt sich dann für F 1 +√5 dur 2 und das entspricht
- ungefähr 1,618 auf diesem Weg konnt Mathematiker also einen konkreten numerischen Wert für den Goldenen Schnitt herausfinden doch neben
- dem geometrischen Ansatz gibt es noch eine weitere Möglichkeit um auf den Goldenen Schnitt zu kommen im Jahr 122 verfasste der italienische Mathematiker
- Leonardo Fibonacci das Buch des Abakus dort betrachtete Fibonacci ein kaninchenprem Fibonacci ging davon aus dass es zu Beginn nur ein kaninchenpaar
- gibt und dieses aus einem Männchen und einem Weibchen besteht es dauert einen Monat bis die Kaninchen geschlechtsreif werden und Sie bekommen dann jeden Monat
- zwei neue Kinder und das sind immer ein Männchen und ein Weibchen betrachten wir was dann innerhalb der ersten F Monate passiert im ersten Monat gibt es wie
- gesagt nur das eine kaninchenpaar das noch nicht geschlechtsreif ist im zweiten Monat wird das Paar dann geschlechtsreif und im dritten Monat
- bekommen sie ihre ersten zwei Kinder im vierten Monat werden die Kinder geschlechtsreif und die Eltern bekommen zwei weitere Kinder im fünften Monat
- bekommen die ersten Kinder ihre eigenen Kinder und die Eltern wieder zwei neue Kinder jetzt zählen wir wie viele Paare es in jedem Monat gab na im ersten Monat
- ein paar im zweiten Monat auch ein paar im dritten Monat zwei Paare im vierten Monat drei Paare und im fünften Monat fünf Paare hier machte Fibonacci eine
- interessante Entdeckung die Anzahl der Paare des nächsten Monats kann man bereits durch die Anzahl der beiden vorhergehenden Monate berechnen im
- dritten Monat hatten wir zwei Paare das entspricht gerade 1 + 1 im vierten Monat waren es drei Paare also 1 + 2 und im fünften Monat waren es fünf Paare also 2
- + 3 Fibonacci erkannte dass man dies als mathematische Folge aufschreiben kann an + 1 also die Anzahl des nächsten Monats = an + an - 1 als die Summe der beiden
- vorhergehenden Monate wobei wir als Startwerte für den ersten Monat und für den zweiten Monat 1 festlegen müssen also A0 = 1 und A1 = 1 diese Folge ist
- heute als Fibonacci Folge bekannt schreiben wir die ersten folgenlieder Mal auf na ja ein und 1 sind vorgegeben das dritte Folgenglied ist dann 1 + 1
- also 2 das vierte Folgenglied ist also 1 + 2 = 3 das 5 ist also 2 + 3 = 5 und so weiter dann kommen wir also auf 8 13 21 34 55 ihr fragt euch jetzt vielleicht
- was die Fibonacci Folge mit dem Goldenen Schnitt zu tun hat genau das wollen wir uns jetzt anschauen ich habe hier noch mal die ersten Folgenglieder von der
- Fibonacci Folge aufgeschrieben ne ihr könnt selbst sehen und jetzt wollen wir mal aufeinander folgende Folgenglieder durcheinander teilen also s Teilen jetzt
- quasi das zweite Folgenglied durch das erste Folgenglied sprich 1 geeil 1 und das ist 1 als nächstes nehmen wir die nächsten
- zwei aufeinander folgen also 2 ge 1 das ergibt bekanntlichermaßen 2 dann nehmen wir die nächsten also 3 ge 2 das gibt
- 1,5 sollte auch jeder noch hinkriegen dann die nächsten dann hätten wir also 5 ge
- 3 das entspricht ungefähr 1,66 Periode dann die nächsten zwei wäre 8 ge
- 5 ein fün entspricht der gerade 0,2 das heißt das ganze wären hier 1,6 dann gehen wir weiter 13 ge 8 jetzt fangen wir wahrscheinlich an mit der
- schriftlichen Division 13 ge 8 die schriftliche Division werde ich wahrscheinlich jetzt ein bisschen
- vorspulen so bei 13 ge 8 kommen wir als auf 1,625 ich werde jetzt immer auf drei nachkommerstellen hier gehen bei den Ergebnissen dann nehmen wir die nächsten
- zwei Zahlen also 21 ge 13 und bei 21 ge 13 komme ich auf 1,615 wobei wir eben nur die ersten drei
- nachkommerstellen berechnet haben wir sind mit der Division hier noch nicht ganz fertig dann schauen wir uns aber 44 ge 21 noch
- an hier kommen wir jetzt auf 1,619 und zum Schluss schauen wir uns noch die letzten beiden Folgenglieder an also 55 ge 34
- und bei der letzten Division kommen wir auf 1,617 ihr könnt vielleicht sehen dass wir uns im Laufe der Divisionen immer
- näher einer Zahl annähern und vielleicht könnt ihr euch erinnern dass hier ist ziemlich nah an dem Wert für den Goldenen Schnitt dran die Vermutung
- liegt also nahe dass wenn wir zwei aufeinander folgende Fibonacci Zahlen durcheinander teilen dass wir dann auch auf den Goldenen Schnitt kommen wir
- wollen diese Vermutung jetzt noch beweisen ich habe hier noch mal die formale Definition von der Fibonacci Folge hingeschrieben hatten wir vorhin
- schon gesehen und jetzt hatten wir den Quotienten von zwei Fibonacci Zahlen gebildet also quasi an + 1 geteilt durch eine Fibonacci Zahl davor also an wir
- wissen aber dass an + 1 ja einfach die Summe von den zwei vorherigen zahlen ist also könnten wir jetzt hier schreiben einfach
- an + an - 1 dur an jetzt können wir diese Summe noch auseinander ziehen ist ja ein Bruch dann hätten wir an durch an + an- 1 dur
- an an dur an die gleiche Zahl durch sich selbst ist ja einfach 1 das heißt wir hten hier 1 + an - 1 dur
- an jetzt wollen wir noch eine Substitution einführen und unsen Quotienten hier benennen wir sagen jetzt das
- xn wäre unser Quotient also an + 1 durch an was hätten wir denn da hier vorne hätten wir also gerade eben xn ist gleich und jetzt am Ende hier hat
- wir auch das rausbekommen und wenn wir das mit xn hinschreiben würden hätten wir hier 1 + und hier können wir sehen fast das gleiche wie bei xn es ist aber
- um eine Zahl nach hinten verschoben ne wir haben nämlich n und n-1 das heißt dementsprechend ich schreibst mal hier hin ne xn - 1 wäre nämlich gerade
- an durch an- 1 das wäre eben fast das gleiche wie hier nur dass Zähler und Nenner vertauscht sind dementsprechend bräuchten wir hier nicht + xn - 1
- sondern + 1 durch xn - 1 das gleich eben aus dass Zähler und Nenner vertauscht sind das heißt wir haben diese Gleichung hier schon mal
- rausgefunden wir haben ja vorhin schon gesehen dass dieses xn also unser Quotient eben sich einer Zahl annähert wo wir glauben dass es der Goldene
- Schnitt ist wir wollen jetzt Fibonacci Zahlen betrachten die extrem groß sind als wir wollen dass dieses n gegen Unendlich geht wir sagen also der
- limis von N gegen Unendlich von diesem quortient soll jetzt wir nennen es mal l sein für Limes der nähert sich einer Zahl an und diese Zahl nennen wir l wenn
- wir das jetzt hier in dieser Gleichung berücksichtigen wenn wir also das n gegen Unendlich laufen lassen hten wir hier also
- L ist gleich und hätten hier 1 + 1 durch und auch das xn- 1 auch für das geht das n gegen Unendlich also würde das auch gegen l laufen gegen diesen Grenzwert
- jetzt haben wir also so eine Gleichung bekommen diese Gleichung können wir noch mit L multiplizieren dann bekommen wir also l
- hoch 2 ist GLE na ja ein x L ist L + und 1 dur l mal L ist einfach 1 und jetzt könnten wir noch die beiden das L und die 1 noch auf die linke Seite
- bringen also machen wir noch - L und -1 und hätten dann raus l² - L - 1 = 0 und exakt diese Gleichung hatten wir
- vorhin schon bei dem geometrischen Ansatz wir haben das ganze mit der Mitternachtsformel gelöst und haben dann rausbekommen will ich jetzt auch nicht
- noch mal hinschreiben l = 1 + w√5 halbe und das entspricht ja wirklich genau dem Goldenen Schnitt damit haben wir gezeigt wenn wir extrem große
- Fibonacci Zahl nehmen also das n gegen Unendlich geht und die durcheinander teilen dass wir dann auch auf die Goldenen Schnitt kommen ein
- erstaunliches Ergebnis dass wir bei so einer mathematischen Folge tatsächlich auch den Goldenen Schnitt finden können wir haben jetzt also zwei Varianten
- gesehen wie wir in der Mathematik auf den Goldenen Schnitt kommen können einmal in der Geometrie durch das Verhältnis von Längen und auch bei der
- Division von Fibonacci Zahlen zu Beginn des Videos habt ihr bereits gesehen dass der Goldene Schnitt auch in der Kunst vorkommt es gibt einige bekannte Gemälde
- die Elemente enthalten deren Proportionen dem Goldenen Schnitt Ents brechen z.B die Schule von Athen von
- rapael oder auch die Geburt der Venus von BTY Chelly doch auch in der Natur kann man den Goldenen Schnitt wiederfinden ein
- Beispiel dafür ist z.B die samenanordnung in Sonnenblumen die Mathematik ist in vielen Bereichen nicht nur auf sich selbst beschränkt sondern
- strahlt auch auf andere Bereiche des Lebens aus der Goldene Schnitt ist hierfür ein Paradebeispiel [Musik]
Zum Nachlesen
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Fibonacci-FolgeDie Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die mit zweimal der Zahl 1 beginnt und bei der jede weitere Zahl die Summe der beiden ihr …
Goldenes RechteckEine markante Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist: Entfernt man einen quadratischen Abschnitt, entsteht wiederum ein Goldenes Rechteck.
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