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Mythos oder Mathematik? Was der goldene Schnitt WIRKLICH ist!
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 235 Zeilen
- der Goldene Schnitt taucht angeblich überall auf in der Architektur in menschlichen Körper in der Natur aber ganz ehrlich da kann ich als
- promovierter Mathematiker nur sagen vieles davon ist einfach Quatsch das ist nicht wirklich der Goldene Schnitt wir schauen uns in diesem Video daher mal an
- was der Goldene Schnitt überhaupt ist und wo er tatsächlich zu finden ist und nicht nur rein interpretiert wird hey Freunde ich bin der Fuchs promovierter
- Mathematiker und hier auf diesem Kanal gibt's immer mal wieder Mathe Songs und wir schauen uns regelmäßig spannende mathematische Themen an Sowi heute den
- Goldenen Schnitt wenn ihr mich bei der Erstellung solcher Videos direkt unterstützen wollt könnt ihr das über steady tun ihr findet den Link dazu in
- der Videobeschreibung und wir starten mit der Definition des goldenen Schnitts dafür schauen wir erstmal wie eine Strecke in einem gewissen Verhältnis
- geteilt werden kann und das Verhältnis könnte ich auf zwei Art und Weisen angeben entweder sage ich wie sich A zu B verhält und wie verhält sich denn die
- lange Seite c im Vergleich zu a und wenn ich jetzt hier an dem Slider rumdrehe ja dann z.B wenn er hier ganz weit links steht dann ist a ja viel kleiner als B
- aber C ist viel größer als a aber wenn A jetzt hier wenn ich sehr weit rüber schiebe und a fast so groß wie C ist ist ja das Verhältnis hier unten fast eins
- während das Verhältnis hier oben jetzt sehr groß wird weil a deutlich größer als B ist aber es gibt einen Sweet Spot hier so wo diese beiden Verhältnisse mal
- gleich groß werden der ist ungefähr so bei 1,6 irgendwas und dieses 1,6 irgendwas wo diese beiden Verhältnisse gleich groß
- sind das ist der goldene Schnitt also wir suchen jetzt genau die Einstellung von A B und C sod dass dieses Verhältnis hier gleich ist und dabei sieht es so
- aus als hätte ich hier drei Parameter aber eigentlich kann ich statt C auch einfach die Summe aus A und B nehmen denn wenn A und B gegeben sind lässt
- sich C daraus ja ganz einfach als die Summe A + B ermitteln und dann haben wir schon nur noch zwei Variablen hier drin und wenn ich auf der rechten Seite hier
- den Bruch als a dur A + B dur a schreibe sehe ich dass A dur a einfach 1 ist also steht ja einfach nur 1 + B dur a und jetzt sieht man halt hier das Verhältnis
- a dur B was ja der Goldene Schnitt sein soll wenn diese Gleichheit gilt und hier drüben aber den Kehrwert davon einfach nur also wenn wir dem Goldenen Schnitt
- jetzt mal einen Namen geben und mittlerweile hat sich eingebürgert dass man da ein großes vi den griechischen Buchstaben nimmt dann steht hier also F
- ist 1 + der Kehrwert von F und jetzt habe ich nur noch eine Variable da kann ich jetzt mal diesem goldenen Schnitt mal F rechnen das heißt hier drüben
- steht f²r = 1 x F ist f und viel mal der Kehrwert ist 1 s dass jetzt auch die bruchstriche verschwunden sind und wenn ich alles auf
- eine Seite packe steht hier also f²- F - 1 = 0 und darauf kann ich jetzt die pq Formel anwenden also der Goldene Schnitt F ist dann - p/ also
- --1/ ist + 1/ plus oder minus müssen wir noch gucken was davon dann stimmt die Wurzel aus PBE zum Quadrat also ein halb zum Quadrat oder eigentlich min halb zum
- Quadrat aber das spielt ja keine Rolle - Q also --1 macht also + 1 /b oder ein halb zum Quadrat das ist ein Viertel ein Viertel plus ein ganzes also
- + vi/ sind 5 und die Wurzel aus 5/ vi4el ist die Wurzel aus 5 geeil durch die Wurzel aus 4 die Wurzel aus 4 ist aber 2 also ist vi ein/b plus oder minus die
- Wurzel aus 5 halbe ja und was nehmen wir jetzt nehmen wir plus oder minus nun wenn ich minus nehmen würde würde ich ein/b minus etwas nehmen was mehr als
- halb ist also käme hier was kleiner als Null raus das kann aber nicht sein denn wir suchen hier ein Verhältnis von zwei positiven Strecken das muss positiv sein
- deswegen ist es nicht minus sondern plus was der Goldene Schnitt dann am Ende ist man könnte ih auch direkt als einfach die eine Zahl definieren die einhb Plus
- w√el5/be ist und das ist eine Lösung von dieser quadratischen Gleichung hier aber wir hatten ja auch gesehen es gibt noch eine zweite Lösung die nennt man dann
- oftmals PSI also wenn man mit dieser Gleichung hantiert hat man oftmals F als den Goldenen Schnitt und PSI als die andere Lösung mit minus und da das ja
- alles hier halbe sind sieht man das auch häufig so dass einfach das geteilt durch zwei als ein großer Bruchstrich geschrieben wird und in dieser Form 1 +
- w√el5 halbe sieht man häufig den Goldenen Schnitt dargestellt ja und da halt gerade bei diesem Verhältnis ist auftaucht dass das Verhältnis von der
- kleinen zur großen Strecke genauso groß ist wie von der Gesamtstrecke zur großen Teilstrecke ist das irgendwie so das harmonischste Teilungsverhältnis was ich
- mir vorstellen kann ich schiebe mir hier die Eigenschaften des goldenen Schnitts noch mal so ein bisschen zusammen dass wir die noch mal betrach achten können
- und wir schauen un jetzt noch mal ein paar interessante Sachen an die einfach nur die Zahl betreffen zum einen kann man das einfach mal ausrechnen und sieht
- dann der Goldene Schnitt ist 1,618033988 und so weiter ist auch eine irrationale Zahl und dann ist z.B das lustige beim goldtenen Schnitt dass wenn
- ich hier Quadrat rechne na hier steht eine Formel wie ich f Quadrat ausrechnen kann das ist einfach nur f + 1 also muss ich hier nur + 1 rechnen und der Goldene
- Schnitt zum Quadrat hat exakt die gleichen Nachkommastellen wie der Goldene Schnitt selbst und wenn ich den Kehrwert vom Goldenen Schnitt nehme dann
- kann ich die Formel hier oben einfach mal umstellen indem ich die eins auf die andere Seite ziehe und dann sehe ich der Kehrwert vom golden Schnitt ist der
- Golden Schnitt einfach nur -1 genommen also wenn ich hier -1 rechne dann komme ich auf 0 Komma und dann wieder die gleichen nachkummerstellen wie beim
- Goldenen Schnitt selbst 6180339 und so weiter und das sind halt hier so lustige Effekte und Rechnereien die sich beim golden Schnitt ergeben
- aber auch ergeben müssen weil sie eben von den grundlegenden gleich die aus der Definition des goldenen Schnitts Stamm auch hervorgehen und anhand dieser
- Eigenschaften die der goldenchnitt aufgrund seiner Definition haben muss werden wir sehen warum der goldenschnitt im regelmäßigen Fünfeck steckt was er
- mit den Fibonacci Zahlen zu tun hat und warum der goldenschnitt die irrationalste Zahl überhaupt ist und deswegen auch irgendwie in so
- sonnenblumenkernmäßigen verteilungsmustern drin steckt in der Natur also ihr seht wir haben einiges vor ich versuche das aber jetzt hier
- leicht verdaulich locker flockig rüberzu bringen so s dass ihr das ganz einfach konsumieren könnt und nach diesem Prinzip ich packe alles wichtige in ein
- Produkt was ich dann leicht konsumieren lässt geht auch Hel vor der Sponsor von diesem [Musik]
- Video Jul bietet Trinknahrung an die du schnell und einfach zu dir nehmen kannst bei den pulvermahlzeiten musst du nur etwas Wasser das Pulver von Jul in den
- Shaker geben schütteln und fertig ist die Trinkmahlzeit darin enthalten sind dann viele Mikro und Makronährstoffe und in der Black
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- achtet jel ins besondere darauf dass wenig Zucker enthalten ist und natürlich ersetzen solche trinkmalzeiten jetzt keine ausgewogene Ernährung aber bevor
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- angepintten Kommentar und damit kann es weitergehen mit dem Goldenen Schnitt schauen wir
- zunächst auf das regelmäßige Fünfeck und die Frage die ich mir stellen will ist wie lang ist so eine diagonale x und dazu müssen wir natürlich noch sagen
- welchen Maßstab wir arbeiten sagen wir mal jede Seitenlänge hätte hier genau die Länge 1 müssen da zuerst mal ein paar Winkel bestimmen und dazu habe ich
- hier mal den Mittelpunkt eingezeichnet und von jeder der fünf Ecken des fünfcks jeweils die gerade gezeichnet die durch den Mittelpunkt durchgeht und dann hier
- die andere Seite gerade in zwei teilt dann haben wir nämlich hier insgesamt zehn Unterteilungen gemacht ja und wenn ich die 360° in 10 Teile Teile muss also
- jedes Teil hier jeweils 36° im Winkel sein sind sozusagen hier 10 Pizzastücke oder zehn Kuchenstücke und ich habe noch zwei weitere Diagonalen eingezeichnet
- die müssen auch jeweils aufgrund des rie Länge x haben und jetzt bin ich vor allem hier an diesen beiden Winkeln mal interessiert zum einen kann ich für
- diesen Winkel hier vielleicht auch noch mal auf dieses kleine Dreieck hier erstmal schauen in diesem kleinen Dreieck ist das ein rechter Winkel und
- die beiden anderen Winkel müssen zusammen 90° ergeben das heißt dieser gesuchte Winkel ist gerade 90°- unser 36° Stück und 90 - 36 na ja das ist
- einfach nur 54°. 54° ist also dieser Winkel hier aber auf Grund symmetrie ist dieses Dreieck hier drüben genauso dass ist auch hier in 54° Winkel hat und
- damit ist dieser Winkel hier die vollen 180° die sich aus dem gestreckten Winkel hier ergeben würden - 2 x 54° Winkel also - 108° und das kommt also unterm
- Strich auf 72°. okay und jetzt such wir auch noch diesen Winkel hier unten das ist ja symmetrisch hier auch der gleiche s dass wir mal auf dieses große Dreieck
- gucken können und versuchen können hier die Spitze auszurechnen bzw vielleicht erstmal nur die Hälfte von der Spitze und das über dieses rechtwinklige
- Dreieck hier denn wir kennen hier den anderen Winkel der besteht nämlich aus zwei Kuchenstücken 2 x 36° und damit auch aus 72°. genauso wie dieser Winkel
- man findet hier immer wieder die gleichen Winkel was alles Vielfache von diesen 36° sind oder die Hälfte von den 36° denn hier oben der andere Winkel den
- finde ich jetzt im rechtwinklichen Dreieck wo hier der rechte Winkel ist s dass die Summe der anderenbeiten Winkel 90° sein muss wenn hier aber schon 72
- sind dann fehlen noch 18° bis zu 90 das heißt dieser spitzewinkel hier oben sind 18° und dadurch dass ich den aber aus Symmetriegründen hier daneben noch mal
- habe ergibt das also insgesamt wieder ein 36° Kuchenstück hier oben und jetzt können wir mal auf das große Dreieck hier schauen was ja gleichschenklich ist
- weil es hier und hier die Seitenlänge X hat sod dass diese beiden Winkel hier gleich groß sind nennen wir den Alpha dann ist es hier Alpha + Alpha + 36°
- gleich der in Winkelsumme im Dreieck und damit 180°. das heißt 2 Alpha sind 180 - 36 und damit
- 144° und damit ist Alpha selbst auch 72° groß also all diese Rechnereien und winkelbestimmungen galten jetzt nur dazu um rauszufinden dass hier und hier der
- gleiche Winkel ist denn wenn hier jetzt die gleichen Winkel sind heißt es auch dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein müssen und das heißt
- dass auch diese Seite dann hier die Länge ein haben muss genauso wie eben hier diese Seite die eine Außenlänge von dem regelmäßigen Fünfeck war und
- wiederum da das hier eine Symmetrieachse ist ist das dann gespiegelt hier drüben genauso der Fall auch diese Seite muss dann Seitenlänge eins haben und was von
- der roten Strecke noch übrig ist ist eben nicht mir die ganze Länge x der Diagonale sondern x- die Länge 1 und auf Grrund der Symmetrie hat auch dieses
- Stück hier die Länge x - 1 und das hier außen war jetzt eine Seite vom Fünfeck hier außen und wenn ich einmal dabei bin nicht aufs Wesentliche zu konzentrieren
- kann auch das alles weg denn wir sehen jetzt hier einfach nur noch dass wir ja hier und hier den gleichen Winkel haben müssen weil das ja hier einfach nur mit
- geraden durchgeht ich glaube gegenwinkel ist hier der richtige Begriff und da dieses beides hier gleichschenkliche Dreiecke mit dem gleichen Winkel sind
- müssen also auch die Seiten im gleichen Verhältnis stehen also in jedem Dreieck ist das Verhältnis von der Länge der Schenkel zur dritten Seite gleich und
- auch in diesem Dreieck haben wir hier die Länge der Schenkel geteilt durch die Länge der dritten Seite ne und hier steht eben 1 dur x = X - 1 und das war
- eben eine der Gleichungen die den Goldenen Schnitt definiert haben und eindeutig charakterisieren wenn ich auf positive Zahlen Schauer und eben diese
- zweit Lösung vergesse aber der Kehrwert ist gleich die Zahl selbst -1 das ist genau das was hier steht und das geht eben mit positiven Zahlen nur mit dem
- Goldenen Schnitt und deswegen ist die Länge der Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck mit Seitenlänge 1 exakt der Goldene Schnitt vi das merken wir uns
- mal das braucht man nämlich für den nächsten mathong der demnächst erscheinen wird ich mache ja schließlich eigentlich Matthe und Musik ich weiß
- lange kam jetzt keine Musik aber der nächste Matte so Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks steht vor der Tür deswegen habe ich auch das zum Anlass
- genommen jetzt mal wirklich den Goldenen Schnitt herzunehmen und zu beweisen dass die Diagonale im regelmäßigen Fünfeck mit Seitenlänge 1 exakt der Goldene
- Schnitt ist und auch noch erwähnenswert ist ja dass dieses Stück x- 1 hier jetzt genau ausgerechnet werden kann als 1 ge dur x das heißt diese Teilstücke haben
- genau die Länge 1 geteilt durch der Goldene Schnitt also wenn es um regelmäßige Fünfecke geht steckt da auch immer irgendwie der Goldene Schnitt drin
- nächstes Thema die Fibonacci Folge sieht erstmal gar nicht nach goldenem Schnitt aus ich mache nämlich einfach mit den Startwerten 0 und 1 immer folgendes ich
- addiere die letzten beiden Zahlen und schreib das Ergebnis als nächste 0 + 1= 1 1 + 1= 2 1 + 2= 3 2 und 3 ist 5 3 und 5 ist 8 5 und 8 ist 13 8 und 13 21 und
- so weiter ja und was soll das jetzt mit dem Goldenen Schnitt zu tun haben nun dafür bauen wir das vielleicht mal schnell in Google sheets nach also wir
- nehmen hier immer als nächstes folglied die Summe der beiden vorhergehenden und dann kann uns der Computer jetzt auch viel schneller als ich das be Hand kann
- noch weitere Folgenglieder ausrechnen die werden auch ziemlich schnell ziemlich groß denn es wird auch ungefähr immer mit dem gleichen Faktor
- multipliziert also ich will jetzt gucken was ist die Zahl geteilt durch ihr Vorgänger jeweils genauso will ich das Weiterführen aha und das konvergiert
- scheinbar gegen ein Wert von etwa 1,6180339 und so weiter können wir uns mal kurz als Diagramm anzeigen lassen ja
- das scheint ziemlich schnell zu konvergieren und zwar konvergiert das na ihr könnt euch schon denken wahrscheinlich gegen den Goldenen
- Schnitt wir können das mal nachrechnen wenn wir einfach noch mal uns klar machen was war denn die definierende Eigenschaft der Fibonacci Folge wir
- haben die nächste Fibonacci Zahl immer bekommen indem wir die letzte und die vorletzte Fibonacci Zahl zusammen addiert haben und hier rechne ich mal
- geteilt durch die Ente Fibonacci Zahl denn dann habe ich hier eine ein erzeugt und hier vor steht ja jetzt immer das nächste Folgenglied geteilt durch das
- vorhergehende Folgenglied also sozusagen wenn ich jetzt n gegen undendlich laufen lasse sollte das hier falls es konvergiert gegen unseren
- gesuchten Multiplikator unseren Faktor X konvergieren und hier drüben steht allerdings das nächste Folgenglied und das vorhergehende Folgenglied anders
- herum da das heißt das ist der Kehrwert von unserem Grenzwert wenn wir x gegen Unendlich laufen lassen na ja und jetzt suchen wir also eine Zahl x so dass x =
- 1 + der Kehrwert ist ihr erinnert euch vielleicht am Anfang wir hatten das hier mal umgestellt wenn ich die ein wieder auf die andere Seite bringe dann ist
- auch die Zahl selbst ist 1 plus der Kehrwert der Zahl eine der definierenden den goldenenn definierenden Gleichungen zumindest wenn ich mich auf die
- positiven Lösungen einschränke und auch bei den Fibonacci zahlen ist natürlich die Zahl geteilt durch die vorgehende Zahl immer ein Quotient aus positiven
- Zahlen so das D eben tatsächlich dieser Grenzwert wenn er existiert der Goldene Schnitt sein muss und dadurch kriege ich auch immer wenn ich hier eine Fibonacci
- Zahl durch die vorende Teile immer approximation des goldenen Schnitts raus also z.B 55 34 ist ungefähr der Goldene Schnitt und man kann auch noch eine
- kleine schöne Spielerei machen wenn ich jetzt zwei kleine Quadrate nebeneinander setze dann haben die die Seitenlänge hier insgesamt zwei gebaut wenn ich
- jetzt also noch mal ein Quadrat dranitze mit noch mal der zwei kann ich hier 2 plus hier eine kleine 1 als 3 erzeugen und jetzt kann ich die 3 plus hier die
- Seitenlänge von dem mittelgroßen quadrat+ die 2 nehmen und er halte ich hier Seitenlänge 5 und jetzt kann ich die 5 plus hier unten die Seitenlänge 3
- nehmen erhalteet die Seitenlänge 8 also ich schreib mal jeweils nur die Seitenlängen noch mal auf denn das sind jetzt genau die Fibonacci zahlen und
- dadurch dass ich jetzt aus 8 und 5 zusammen das nächste Quadrat bauen würde käme dann hier Seitenlänge 13 zustande und jetzt kann ich hier die Seitenlänge
- 8 plus die Seitenlänge 13 nehmen die jetzt in der Höhe schon vertikal da sind und dann komme ich so hier auf die Seitenlänge 21 und das er giibt n
- sogenannte fibonaccipale weil ich hier halt auch noch mal so eine Spirale quasi reinlegen könnte manchmal wird das hier mit Halbkreisen gemacht aber da muss man
- ein bisschen aufpassen und hier natürlich dann in der Mitte bei den einzen ja hört's dann bei Fibonacci irgendwann auf dass sozusagen die
- Auflösung zu gering ist aber wenn ich jetzt andersrum mit einem goldenen Rechteck anfange also mit einem Rechteck was Seitenverhältnis eins zu Goldenen
- Schnitt hat da kann ich hier mal in Quadrat rausnehmen ja und was ist denn wenn ich jetzt hier gerade mit Seitenlänge 1 Quadrat rausnehme dann
- bleibt ihr hier der Goldene Schnitt minus eben diese Seitenlänge 1 V Quadrat übrig aber der Goldene Schnitt -1 das ist ja gerade eine Eigenschaft vom
- Goldenen Schnitt ist das wieder der Kehrwert vom Goldenen Schnitt ist und das heißt ja dass das übrig gebliebene Rechteck gehitze ist nicht maßstabsgreu
- dann wieder das gleiche Seitenverhältnis lange Seite durch kurze Seite ist 1 durch 1 durch vi also wieder der Goldene Schnitt selbst ist so wie beim großen
- Rechteck goldener Schnitt zu ein Seitenverhältnis lange zu kurze Seite ist und so kann ich immer wieder jeweils ein Quadrat hier rausnehmen und dann
- wieder ein Quadrat hier rausnehmen und habe immer wieder in Rechteck mit dem gleichen Seitenverhältnis was hier übrig bleibt was ich jetzt hier schlecht
- gezeichnet habe aber ihr versteht hoffentlich den Punkt der dieser groben Skizze und dann liegt hier tatsächlich eine Spirale die genau durch die Punkte
- dieser Quadrate durchgeht nämlich die goldene sp die wenn ich sie nach außen gedreht betrachte mit jeder Vierteldrehung ihren Abstand zum Zentrum
- genau mit dem Faktor goldener Schnitt vergrößert und hier muss man ein bisschen aufpassen manchmal wird einfach hier der Halbkreis in jedem dieser
- Quadrate jeweils reingelegt aber wenn ich hier nur Halbkreise reinlege dann hat das ja jemand auf Wikipedia mal schön aufbereitet dann ist es mit den
- Halbkreisen nicht exakt das gleiche wie die goldene Spirale also in rot ist die tatsächliche goldene Spirale und auf grün sind jetzt einfach nur die
- Viertelkreise nicht halb Kreise die Viertelkreise die hier drin liegen auf gelb sind es die Übereinstimmungen aber hier am Anfang sieht man schon deutlich
- na ja das ist nicht exakt dass hier eine goldene Spirale rauskommt wenn ich Viertelkreise verwende ja und diese goldene Spirale die wird halt oftmals
- irgendwo reininterpretiert wo sie gar nicht drin ist wo nur irgendeine Spirale auch in der Natur wieder auftaucht aber dass da tatsächlich exakt der Goldene
- Schnitt der Faktor ist der mit jeder Vierteldrehung drauf kommt das ist dann doch nur selten und in der Natur eigentlich nicht der Fall aber noch mal
- zurück zur Fibonacci Folge selbst wir haben ja bei der Herleitung dass der Goldene Schnitt hier immer der Faktor ungefähr ist mit dem hier multipliziert
- wird nur verwendet dass wirklich das nächste folgeg die Summe der voragenden ist und gar nicht dass wir konkret mit 01 oder mit 11 angefangen haben ja und
- tatsächlich kann ich auch andere Startwerte nehmen z.B 2 und 1 und kommen dann auch wieder auf Konvergenz gegen den Goldenen Schnitt mit 21 beginnt ist
- das dann übrigens die Lukas Folge und egal mit welchen zwei Zahlen ich hier anfange hier unten könnt achten ist eigentlich immer dass der Grenzwert
- 1,618 und so weiter bleibt und das muss ebeno sein und ist selbst dann auch noch der Fall wenn ich weg von ganzen Zahlen gehe und hier auch mit gebrochenen
- zahlen und irrationalen Zahlen irgendwas mache es gibt übrigens noch weitere Zusammenhänge von den Fibonacci Zahlen zum Goldenen Schnitt z.B gibt es eine
- explizite Formel wie ich die Ente Fibonacci Zahl nicht nur rekursiv indem ich alle vorrecken ausrechnen muss ausrechnen kann sondern indem ich direkt
- n hier einsetze wobei V und pS Die beid be Lösungen von der quadratischen Gleichung war die den Goldenen Schnitt definiert hatte und hier unten die
- Differenz f- PSI ist übrigens einfach nur exakt die Wurzel aus 5 also wenn ich jetzt auch noch mal den Bruch hier auflöse dann sehe ich aha die Fibonacci
- zahlen die sind sozusagen einmal hier der Goldene Schnitt hoch n dieses exponentielle Wachstum mit Faktor goldener Schnitt aber auch noch mal
- irgendwie so ein anderer THM was ist denn dieses PSI noch mal na ja dieses PSI war ja die andere Lösung mit dem Minus der wurzla aus 5 drin und im
- Zahlenwert ist das also -0 die nach Stellen von goldenen Schnitt 6180339 und so weiter übrigens auch einfach über den Goldenen Schnitt als 1-
- der Goldene Schnitt darstellbar und jetzt habe ich aber eine Zahl im Betrag zwischen 0 und 1 und im Vorzeichen minus s dass jetzt hier diese Potenzen hier
- immer Plus und Minus alternieren und wenn ich aber eine Zahl zwischen 0 und 1 im Betrag hoch n nehme dann fällt das exponentiell schnell ab deswegen wird
- der Term hier für große n sehr sehr klein und das hier ist sagen wenn ich den Term einfach weglasse schon eine gute Neo für die Ente Fibonacci Zahl
- einfach goldener Schnitt hoch n durch wurel5 also wenn wir hier noch mals auf unsere Fibonacci Zahlen gehen und jetzt nehmen wir jeweils 1 + wurel 5 halbe
- also den Goldenen Schnitt hoch das n und teilen das jetzt durch die Wurzel aus 5 dann sehen wir ja aha das das kommt recht gut hin schon am Anfang ist das
- hier mit 0 und 0,4 weniger als 0,5 entfernt 10,7 1 und 1,1 2 und 1,9 wenn wir tatsächlich hier einfach mal runden dann ist halt das coole dass
- schon am Anfang diese gerundeten Potenzen vom Goldenen Schnitt durch Wurzel 5 mit den Fibonacci Zahlen übereinstimmen und die Abweichung da
- schon klein genug ist und die Abweichung wird nur noch kleiner je weiter ich das mache tatsächlich kann man auch um die Fibonacci Zahlen exakt zu rechnen
- einfach nur den ersten Teil hier berechnen den Goldenen Schnitt hoch n nehmen das geteilt durch die Wurzel aus fünf Teilen und dann einfach auf die
- nächstliegende ganze Zahl runden also das die Klammer hier außen bedeutet jetzt runter auf eine ganze Zahl und dann kommt exakt die Ente Fibonacci Zahl
- raus eine weitere schöne Rechnerei kann man machen wenn man mal diese Potenzen vom Goldenen Schnitt exakt ausrechnet also z.B F Quadrat hatten wir ganz am
- Anfang schon mal das ist einfach nur 1 + einm der Goldene Schnitt und hatte ja deswegen auch die gleichen Nachkommastellen wie der Goldene Schnitt
- selbst so wenn ich jetzt F hoch 3 ausrechne na ja dann rechne ich f²rat mal den Goldenen Schnitt noch mal f²rat ist aber 1 + F da mal F gerechnet kommt
- also f + f² und f² ist aber 1 + F also komme ich hier auf 1 + 2 x F ja und F hoch 4 na ja das ist das was bei F hoch 3 schon stand und noch mal mal dem
- Goldenen Schnitt genommen dann steht also hier 1 x f + 2 x f² f² ist aber einfach nur 1 + F also steht hier 2 + 2 f und F 2 + 3 f für F hoch 5 muss ich
- das von F hoch 4 noch mal mal F rechnen 2 f + 3 f² wobei wir von f²r wissen dass ist 1 + F ist also ist das hier 3 + 3 f oder wenn ich dann die 2 f und die 3 f
- noch zusammenfasse ist das hier 3 + 5 f und wer Freude daran hat kann das noch paar mal weiter selber nachrechnen es kommt tatsächlich das hier raus wo euch
- vielleicht etwas auffällt hier stecken nämlich 1 1 2 3 5 8 die Fibonacci Zahlen drin und 1 1 2 3 5 8 13 noch mal die Fibonacci Zahlen drin die Potenzen vom
- Goldenen Schnitt beinhalten sozusagen zweimal die Fibonacci Zahlen folgen und einmal den Goldenen Schnitt selbst wieder aber der Goldene Schnitt selbst
- ist ja auch irgendwie aus zwei Bestandteilen nämlich aus einem rationalen Bestandteil un im Vielfachen von der Wurzel aus 5 ich könnte das
- alles hier nämlich auch noch irgendwie darstellen als rationale Zahl plus rationales Vielfaches von der Wurzel aus 5 also z.B 4 hoch 0 selbst ist ja 1 ist
- also Z halbe ich habe immer schon noch als halbe mit dargestellt und keine Wurzel 5 Anteil der Goldene Schnitt selbst ist 1 + einmal die Wurzel aus 5
- vielleicht schreibe ich diese eine Wurzel aus 5 hier auch noch mal explizit mit rein damit das klarer wird denn jetzt sieht man hier vielleicht auch 01
- 1 2 3 5 8 tauchen auch wieder die Fibonacci Zahlen auf und hier drüben vielleicht erinnert ihr euch noch das sind die lucaszahlen also die die mit 21
- beginnen und dann auch immer die von den vorergenden nehmen also 2 und 1 ist 3 und 1 und 3 ist 4 und 3 und 4 ist 7 und 4 und 7 ist 11 und 7 und 11 ist 18 und
- so weiter tatsächlich kann ich die Ente Potenz vom Goldenen Schnitt auch als die Ente luukaszahl plus die Ente Fibonacci Zahl mal wurzel5 halbe
- darstellen also hier tauchen sozusagen in den Potenzen vom golden Schnitt wenn ich es als Wurzel 5 vielfache mit rationalen Zahlen ausdrücken will die
- lucaszahlen und die Fibonacci Zahlen gleichzeitig auf ja und wir hatten ja zu den Fibonacci Zahlen auch noch gesehen dass man direkt den Goldenen Schnitt
- einfach hoch n nehmen kann und das dann rundet mit durch wurzel5 das kam alles von dieser expliziten Darstellung der Fibonacci zahlen und mit den luukas
- Zahlen wird das fast noch eleganter denn die Ente lukaszahl die ist einfach nur der Goldene Schnitt hoch n plus das PSI hoch n und da muss nichts irgendwie mit
- Wurzel 5 rausgerechnet werden das ist direkt die Formel für die Ente lukaszahl zum direkten ausrechnen und wir hatten ja schon gesehen dass dieses PSI hoch n
- als eine Zahl die zwischen -1 und 1 liegt einfach immer nur exponentiell abfällt s dass ich das im Prinzip auch gerade für große n unbedeutend weglassen
- kann und die Ente lukaszahl ist direkt eine gute Lösung für die Potenzen vom Goldenen Schnitt tatsächlich ist wenn ich den Goldenen Schnitt direkt
- ausrechne und Runde dann das Ergebnis die Ende lukaszahl also rechnen wir mal nach wir nehmen jetzt hier die Lucas zahlen die also mit 2 und 1 beginnen und
- machen hier drüben hoch n selbst sprich wir können uns das durchwurzel 5 sparen und ziehen das jetzt hier mal nach unten und okay hier oben mit 1 und 2 das hat
- jetzt nicht hingehauen weil es hier mit 2 und 1 vertauscht wird das muss wir kurz als Fehler noch rausrechnen aber ansonsten haben wir jetzt hier 3 und 3 4
- und 4 die sieben Stimme mit der sieben überein und ich komme tatsächlich bei den Lukas Zahlen genau auf die Potenzen des Goldenen Schnittes zumindest wenn
- ich die noch auf die richtige ganze Zahl die am nächsten liegt R ich sollte also bei der Formel hier unten dazu sagen dass das ab n größer g= 2 dann gilt
- kommen wir jetzt zu der Aussage warum der goldenschnitt die irrationalste Zahl überhaupt sein soll also warum ist der goldenschnitt überhaupt irrational nun
- das liegt an dieser Eigenschaft hier also wenn wir nämlich mal annehmen würden der Goldene Schnitt wäre irgendwie in Verhältnis a durch B da
- kann ich das jetzt mal in diese Formel hier einsetzen der Kehrwert wäre also B dur a und F ist also a dur B -1 ja gut -1 ist ja einfach nur zu sagen -b ge B
- und jetzt kann ich alles auf den Hauptnenner B bringen steht hier a - B dur B und wenn ich jetzt also eine rationale Zahl vi hätte könnte ich
- irgendwie den Bruch gekürzt angeben a dur B gekürzt heißt auch dass ich im Betrag die kleinsten möglichen Werte A und B verwende wie ich den Bruch hier
- darstellen kann aber B ist genauso groß wie B und A- B genommen ist dann sogar noch kleiner als A und das heißt ich könnte hier also unseren Bruch zumindest
- im Kehrwert so darstellen bzw wenn ich dann aus dem Kehrwert rausnehme hätte ich dann ja auch die Darstellung B geeil durch A - B und dann hätte ich also eine
- Darstellung gefunden die noch kleinere Zahlen als A und B verwendet also kann ich den Goldenen Schnitt niemals in kleinster Form mit den kleinstmöglichen
- Zahlen A und B darstellen und damit kann es keine rationale Zahl sein ein anderer Weg wie man über die Irrationalität nachdenken kann ist wenn ich jetzt noch
- mal die -1 hier rüber hole als + 1 dann sehe ich der Goldene Schnitt selbst ist also g=ich 1 plus seinem Kehrwert okay hier steht aber wieder der Goldene
- Schnitt drin das heißt das kann ich ersetzen durch 1 plus der Kehrwert vom Goldenen Schnitt ja warte mal aber hier steht der Goldene Schnitt das kann ich
- also ersetzen durch 1 plus den Kehrwert vom Goldenen Schnitt und das kann ich jetzt immer wieder so machen und damit sieht man jetzt hier die
- Kettenbruchentwicklung vom Goldenen Schnitt und die besteht nur aus Einsen ich kann tatsächlich so eine Kettenbruchentwicklung für jede Zahl
- machen also hier vorne muss natürlich das stehen was der ganzzahlige Anteil ist bei PI also 3 + ja 3 + irgendwas eben 3,14 und so weiter und das ist eben
- ungefähr 3 + 7b Siebel ist ja 0,142857 das also ungefähr 3 +7 und das ist schon eine gute Näherung für PI 3 +7 das S nämlich genau dann hier die 22/7
- die man immer mal wieder als gute Näherung für P kennt aber wir können es auch noch verfeinern indem wir halt noch mal hier ein weiteren Bruch hinten dran
- hängen und dass eben die 22/7 so gut an PI ran kommen es liegt daran dass ich hier abschneide und das was ich abschneide ist eben nur ein 15
- oder eben ungefähr ein 15 und ein 15 ist halt wenig was ich weglasse es wird schon schwieriger wenn ich hier halt so ein ganzes weglasse aber wenn ich z.B
- auch hier wieder nur ein 292 weglasse na 292 wegzulassen ist fast so wie Null wegzulassen also wenn ich hier vor der 292 abschneide dann komme
- ich in dem Fall auf die nähung von PI die nämlich genau 355 113 ist und diese Näherung die ist auch sehr sehr genau und dies dass die
- Nährung so gut dran liegt liegt eben daran dass hier so ein großer Bruch da ist das heißt ich kann zahlen dann gut durch andere Brüche durch rationale
- Zahlen annähern wenn ich in der kettenbentwicklung hohe Zahlen habe ja und der Goldene Schnitt ist halt die Zahl mit den niedrigsten Zahlen in der
- Kettenbruchentwicklung die ich mir vorstellen kann nämlich nur mit einzen und desweg lässt sich der Golden Schnitt besonders schlecht durch rationale
- Zahlen annähern also so eine coole Näherung wie 22/7 oder 355 133 wie es bei PI existiert die gibt's beim Goldenen Schnitt einfach nicht und das
- ist auch ein gewisses Maß für Irrationalität von Zahlen und eine Anwendung wo es darauf ankommt nicht rationale Zahlen zu treffen und auch
- nicht in der Nähe zu sein ist wenn ich Dinge im Kreis anordne und immer die gleiche Drehung weitermachche also z.B ordne ich hier irgendwas an ich tue
- irgendein Objekt hin mach dann äh eine Vierteldrehung also nehmen jetzt hier z.B a = ein Viertel und dann mache ich eine Vierteldrehung und eine
- Vierteldrehung und eine Vierteldrehung eine Vierteldrehung Vierteldrehung Vierteldrehung und mit einem Viertel ergeben sich halt ja vier solche Arme
- die sich ausbreiten und damit ich aber den Platz dazwischen noch gut ausfülle sollte ich halt nicht in Viertel nehmen sondern irgendwas anderes also mit
- rationalen Zahlen ergeben sich immer nur endlich viele arme wenn ich aber jetzt irgendeine irrationale Zahl nehme z.B 1 durch PI na ja dadurch dass PI halt
- ungefähr ist wird das auch am Anfang erstmal ungefähr so aussehen als würde ich hier ungefähr drei Arme rausgehen hier habe ich das mal mit ein durch PI
- gemacht also hier werden jeweils 0,318 Umdrehungen gegangen und das sieht eben erst so wie ein Drittel aus und später dann ungefähr wie ein 22 also
- geht's dann in 22 Arme weil eben 22/7 in guter nährungswert für PI sind wenn wir hier statt 1 durch PI genau PI lang gehen dann kommen wir sieben Arme weil
- 22/7 eben nah an PI dran liegt und jetzt kann man halt hier mit diesem Parameter mal rumspielen und sieht dann das immer interessante Blumenmuster rauskommen
- aber halt immer mal wieder so gewisse Regelmäßigkeiten dann doch wieder auftauchen und die Spiralen dann den Platz nicht so richtig gut ausnutzen
- aber wenn ich jetzt genau den Goldenen Schnitt hier eingebe dann stehen hier Muster die halt am wenigsten mit irgendwelchen Spiralen zu tun haben
- und die am besten den Platz noch ausfüllen bzw man sieht hier so ein paar Spiralen die sich ergeben wo man wenn man das jetzt auszählen würde auch
- darauf kommen dass hier tatsächlich immer die Anzahl der Spiralen die in eine Richtung gehen gerade wieder Fibonacci Zahlen sein werden und sobald
- ich aber weg von diesem optimalen Winkel gehe kommen wieder Muster die den Platz nicht so gut ausfüllen wo sozusagen auch die Samen bei einer Sonnenblume nicht
- gut verteilt werden und weil das eben den Platz optimal nutzt aufgrund dessen dass in der Kettenbruchentwicklung die kleinstmöglichen Zahlen drin stehen ist
- das mathematisch der beste Weg um hier Dinge gut anzuordnen und kommt wahrscheinlich einfach auf und dieser Optimalität in der Natur z.B vor bei
- Sonnenblumenkern diese Muster die ähneln schon diesem Verteilungsmuster was entsteht wenn ich immer im nächsten Abstand eine goldene schnittumdrehungen
- Anzahl rumgehe bzw goldener Schnitt -1 oder Kehrwert goldener Schnitt das sind dann ja alles die gleichen Nachkommastellen die auf die gleichen
- Umdrehungen führen und dieser Winkel ist dann auch der goldene Winkel und das ist noch am ersten der Punkt wo der goldenschnitt tatsächlich in der Natur
- wieder zu finden ist alle anderen Sachen dass das irgendwie menschlichen Körper tritt steckt oder in der Architektur überall angeblich drin stecken soll sind
- entweder hereininterpretiert von Betrachtern obwohl der goldenchnitt gar nicht wirklich drin steckt da gibt's auch eine ganze Wikipedia Liste von
- Sachen wo fälslicherweise der Goldene Schnitt drin erkannt wurde oder aber das ist natürlich manchen Leuten wie Leonardo da Vinci zuzutrauen das wurde
- von dem Künstler der das gemacht hat absichtlich hineingelegt und der hat absichtlich den Goldenen Schnitt sozusagen darin versteckt aber das
- wirürde auch funktionieren wenn man 1,6 statt 1,618 verwendet und so weiter also oftmals hängt es nicht wirklich an genau exakt dem Goldenen Schnitt übrigens an
- der Stelle shoutout an die Flagge von Togo die ist nämlich tatsächlich die einzige Nationalflagge die vom Design her exakt das Seitenverhältnis eins zu
- goldener Schnitt und damit das goldene Rechteck verwendet wenn dir dieses Video gefallen hat gibt gerne Daumen nach oben und abonnieret den Kanal hier findet ihr
- noch ein Video zur einsteinkachre wo auch der Goldene Schnitt auftaucht und ein großes Dankeschön an alle die ihr hier gerade seht die im Fuchsbau dabei
- sind und ohne die das hier nicht geht wie auch du mit machen kannst du auf steady genau und für dieses Video sage ich nur noch ciao
Zum Nachlesen
Goldener SchnittZentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten …
Goldenes RechteckEine markante Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist: Entfernt man einen quadratischen Abschnitt, entsteht wiederum ein Goldenes Rechteck.
Fibonacci-FolgeDie Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die mit zweimal der Zahl 1 beginnt und bei der jede weitere Zahl die Summe der beiden ihr …
Goldenes Dreieck (Geometrie)In Geometrie und Elementargeometrie ist ein Goldenes Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Längen der Schenkel zur Länge der Grundseite im …