Gleichheit (Mathematik)

Bedeutung der Gleichheit

Gleichheit wird in der Mathematik mit dem Gleichheitszeichen „=“ geschrieben und bedeutet vollständige Übereinstimmung. Ein mathematisches Objekt ist nur sich selbst gleich. Dasselbe Objekt kann jedoch verschieden bezeichnet oder beschrieben werden: Eine Zahl kann durch unterschiedliche arithmetische Ausdrücke dargestellt werden, eine geometrische Figur kann verschiedene Definitionen haben, und verschiedene Aufgabenstellungen können dieselbe eindeutige Lösung besitzen.

Solche Bezeichnungen und Beschreibungen heißen in der mathematischen Formelsprache Terme. Welches Objekt ein Term bezeichnet, hängt vom Zusammenhang ab, in dem der Term interpretiert wird. Deshalb hängt auch die Aussage, ob zwei Terme gleich oder ungleich sind, von diesem Zusammenhang ab.

Gleichheit ist ein grundlegender Begriff der gesamten Mathematik und wird daher vor allem in der mathematischen Logik untersucht. Im allgemeinen Sprachgebrauch kann „gleich“ auch bedeuten, dass zwei Dinge in allen gerade wichtigen Merkmalen übereinstimmen, ohne dass sie dasselbe Objekt sind. In der Mathematik spricht man in einem solchen Fall von Äquivalenz oder Kongruenz, nicht von Gleichheit. Der Begriff „Identität“ wird in der Mathematik nur selten als Bezeichnung für Gleichheit verwendet.

Austauschbarkeit und algebraische Umformungen

Was gleich ist, kann im jeweiligen Zusammenhang ausgetauscht werden. Gilt für zwei Terme s und t die Aussage s = t, dann kann jedes Vorkommen von s in einer Aussage durch t ersetzt werden, ohne dass sich deren Wahrheitswert ändert. Ebenso kann s in einem größeren Term durch t ersetzt werden; der dadurch entstehende Term ist im selben Zusammenhang gleich dem ursprünglichen.

Dieses Prinzip heißt: „Gleiches darf durch Gleiches ersetzt werden.“ Es ist eine Grundlage algebraischer Umformungen. Wird beispielsweise ein enthaltenes Teilstück eines Terms oder einer Formel vereinfacht oder berechnet und das Ergebnis anschließend an derselben Stelle eingesetzt, wird dieses Prinzip angewandt. Dasselbe gilt, wenn auf beide Seiten einer Gleichung dieselbe Operation angewendet wird.

Die Austauschbarkeit erklärt, warum verschiedene Schreibweisen für dasselbe mathematische Objekt in Rechnungen verwendet werden können. Entscheidend ist dabei immer, dass die Gleichheit im gleichen Zusammenhang gilt. Ob zwei Terme austauschbar sind, darf nicht unabhängig von der zugrunde liegenden Menge, den definierten Rechenoperationen und der Belegung ihrer Variablen beurteilt werden.

Gleichheit in Mengen und mathematischen Strukturen

Die Mathematik untersucht mathematische Objekte innerhalb von Mengen, die mit einer mathematischen Struktur versehen sind. Sie betrachtet nicht das Wesen eines Objekts unabhängig von allen Mengen und Strukturen, denen es angehört. Deshalb ist die Frage, ob zwei Objekte aus verschiedenen Mengen gleich sind, nur sinnvoll, wenn eine der Mengen Teil der anderen ist oder eine gemeinsame übergeordnete Menge verwendet wird.

Ob beispielsweise die Kardinalzahl 3, also die Mächtigkeit einer dreielementigen Menge, dasselbe Objekt ist wie die reelle Zahl 3, wird erst relevant, wenn beide in einem gemeinsamen Zusammenhang vorkommen sollen. In einem solchen ungewöhnlichen Fall muss durch eine Definition festgelegt werden, wie die Gleichheit gemeint ist.

Sind eine oder mehrere Mengen eindeutig definiert, ist die Gleichheit festgelegt: Jedes Element einer Menge ist nur sich selbst gleich. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Diese Gleichheit überträgt sich auf zusammengesetzte Objekte wie geordnete Paare und n-Tupel, die mithilfe des Cartesischen Produkts von Mengen gebildet werden, sowie auf Funktionen. Zusammengesetzte Objekte sind gleich, wenn sie in gleicher Weise aus gleichen Komponenten aufgebaut sind.

Die Gleichheit ist dabei nicht einfach eine zusätzliche Relation, die nachträglich in jeder Menge definiert wird. Bei bestimmten Konstruktionen entsteht sie bereits mit der Definition der betreffenden Menge und ihrer Objekte. Weitere Aussagen über diese Objekte benötigen dagegen definierte Funktionen und Relationen, etwa Rechenoperationen oder die Kleiner- und Größerrelation.

Beispiel: rationale Zahlen

Die Konstruktion der rationalen Zahlen veranschaulicht, warum die Definition der Gleichheit wichtig ist. Zunächst erscheinen rationale Zahlen als Brüche aus ganzen Zahlen mit einem von null verschiedenen Nenner. Als Paare wären sie Elemente der Menge ℤ × (ℤ \ {0}). Das Paar ⟨14, 6⟩ und das Paar ⟨21, 9⟩ wären nach der gewöhnlichen Definition der Gleichheit von Paaren jedoch verschieden. Dann wären auch 14/6 und 21/9 verschiedene rationale Zahlen, obwohl beide denselben Bruchwert darstellen.

Eine bloße nachträgliche Festlegung, dass diese Paare gleich sein sollen, würde zu einem Widerspruch führen. Deshalb werden rationale Zahlen mithilfe von Äquivalenzklassen konstruiert. Auf diese Weise erhält man eine Menge paarweise verschiedener rationaler Zahlen, in der verschiedene Bruchdarstellungen denselben rationalen Zahlenwert repräsentieren. Die genaue Konstruktion wird im Artikel „Rationale Zahl“ über die Bildung von Äquivalenzklassen beschrieben.

Interpretation von Gleichungen

Eine mathematische Aussage hat nur dann einen eindeutigen Sinn, wenn ihr Interpretationszusammenhang feststeht. Für die Gleichung (x + y)(x − y) = x² − y² müssen insbesondere drei Bestandteile festgelegt sein:

• die Grundmenge der betrachteten Objekte, hier die Menge ℚ der rationalen Zahlen;
• die auf dieser Menge definierten Funktionen und Relationen, hier die vier Grundrechenarten; die Potenzierung mit konstanten natürlichen Zahlen ist dabei nur eine abkürzende Schreibweise für wiederholte Multiplikationen;
• die Belegung der freien Variablen x und y mit Elementen der Grundmenge.

Die Grundmenge sowie die darauf definierten Funktionen und Relationen bilden zusammen die mathematische Struktur. Die Gleichheit selbst gehört nicht zu den Relationen, die in diesem Zusammenhang noch zusätzlich definiert werden müssen; sie ist durch die Definition der Objekte und der Struktur bereits festgelegt.

Oft ergibt sich aus dem Kontext, wie freie Variablen belegt werden. Bei Formeln in Formelsammlungen ist meist gemeint, dass eine Aussage für alle Elemente der Grundmenge gilt. Die genannte Gleichung ist in der Struktur aus ℚ mit den Grundrechenarten allgemeingültig. In einer Struktur mit nichtkommutativer Multiplikation gilt sie dagegen nicht allgemein, beispielsweise bei 2×2-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und der üblichen Matrizenmultiplikation.

Eine Gleichung mit freien Variablen kann je nach Zusammenhang allgemeingültig, erfüllbar oder unerfüllbar sein. Sie ist allgemeingültig, wenn sie für alle Belegungen der Variablen wahr ist, erfüllbar, wenn sie für manche Belegungen wahr ist, und unerfüllbar, wenn sie für keine Belegung wahr ist. Dieselbe Formel kann außerdem als allgemeine Aussage oder als Aufgabe verstanden werden, zu einem gegebenen y alle x zu bestimmen, für die die Gleichung erfüllt ist.