Goldenes Dreieck (Geometrie)

Definition und Formen

Ein Goldenes Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Längen der Schenkel zur Länge der Grundseite im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Es gibt zwei Formen:

• Das Goldene Dreieck erster Art ist gleichschenklig und spitzwinklig. Seine Winkel sind 72°, 72° und 36°.
• Das Goldene Dreieck zweiter Art ist gleichschenklig und stumpfwinklig. Seine Winkel sind 36°, 36° und 108°.

Eine wichtige Charakterisierung lautet: Die Goldenen Dreiecke sind exakt diejenigen gleichschenkligen Dreiecke, die einen Winkel von 36° enthalten.

Bestimmung der Winkel

Elementargeometrisch wird auf der längsten Seite eines Goldenen Dreiecks die kürzeste Seite abgetragen. Der Abtragungspunkt wird mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbunden. Dadurch zerfällt das Dreieck in zwei Teildreiecke. Nach den Ähnlichkeitssätzen ist eines dieser Teildreiecke zum ursprünglichen Dreieck ähnlich. Daraus folgt, dass die Innenwinkelsumme das Fünffache des kleinsten Winkels beträgt. Deshalb ist ein Winkel 36° groß. Liegt dieser Winkel an der Spitze, handelt es sich um ein Dreieck erster Art; liegt er an der Grundseite, um eines zweiter Art. Mit dem Innenwinkelsummensatz ergeben sich die Winkeltripel (72°, 72°, 36°) beziehungsweise (36°, 36°, 108°).

Trigonometrisch sei beim Dreieck erster Art die Grundseite c = |AB| und die Schenkellängen a = |BC| sowie b = |AC|. Es gilt a = b und \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\Phi^{-1}. Für den Basiswinkel α bei A folgt \cos\alpha=\frac{c}{2\cdot b}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}, also α = β = 72°. Der Spitzenwinkel ist daher γ = 36°.

Beim Dreieck zweiter Art gilt entsprechend \frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\Phi^{-1} und \cos\alpha=\frac{c}{2\cdot b}=\frac{1}{2}\cdot\frac{c}{b}=\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}. Damit sind α = β = 36° und γ = 108°.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Goldene Dreiecke lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren. Die Vorgehensweise hängt davon ab, ob der Umkreis, die Grundseite oder ein Schenkel gegeben ist.

Ist der Umkreis gegeben, zeichnet man ihn mit Mittelpunkt O und trägt zunächst einen Durchmesser DE ein. Der Radius DO wird in F halbiert. In O errichtet man eine Senkrechte, die den Umkreis in C schneidet. Ein Kreisbogen um F mit Radius FC liefert auf DE den Punkt G; CG ist die Seitenlänge eines Fünfecks. Mit drei weiteren Kreisbögen dieses Radius entstehen die Punkte H und B sowie die Grundseite AB. Durch Einzeichnen von AC und BC erhält man das gesuchte Dreieck ABC.

Bei gegebener Grundseite AB, die der Seitenlänge eines Fünfecks entspricht, wird der Goldene Schnitt mit äußerer Teilung verwendet. AB wird auf einer Halbgeraden abgetragen und in E halbiert. Kreisbögen um A und B liefern D. Nach einer Verlängerung über A hinaus und dem Errichten einer Senkrechten in A entsteht F. Ein Kreisbogen um E mit Radius EF liefert G; BG ist die Schenkellänge. Ein letzter Kreisbogen um B und die Halbgerade durch E und D bestimmen C. Die Verbindungen AC und BC vervollständigen das Dreieck.

Bei gegebener Schenkellänge AB wird diese nach der inneren Teilung nach Euklid im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt. Der Teilungspunkt X bestimmt die Abschnitte AX und XB. Ein Punkt C mit gleichen Abständen zu B und X liefert zusammen mit den Verbindungen AX, BX, AC und BC die Goldenen Dreiecke ABC und XBC erster Art sowie AXC zweiter Art.

Vorkommen in Fünfeck und Zehneck

Die Zerlegung eines Goldenen Dreiecks in zwei ähnliche Teildreiecke liefert stets beide Formen: ein Goldenes Dreieck erster Art und eines zweiter Art. Beide treten daher gemeinsam auf. Sie entstehen regelmäßig bei der Konstruktion eines regulären Fünfecks und eines regulären Zehnecks mit Zirkel und Lineal. Deshalb sind die Winkel 36°, 72° und 108° allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Im regulären Fünfeck lässt sich ein großes Goldenes Dreieck erster Art in ein Goldenes Dreieck erster Art und ein Goldenes Dreieck zweiter Art zerlegen. Dasselbe gilt für ein großes Goldenes Dreieck zweiter Art.

Ein reguläres Zehneck kann auf zahlreiche Arten mit Goldenen Dreiecken parkettiert werden. Beispiele sind eine Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 zweiter Art sowie eine mittlere Anordnung aus 20 Dreiecken erster Art und 10 Dreiecken zweiter Art.

Bezug zur bildenden Kunst

Das Bild „Dreiecke im Goldenen Schnitt“ von Irene Schramm-Biermann zeigt neben den Goldenen Dreiecken eine dünn eingezeichnete logarithmische Spirale. Sie entspringt aus dem kleinsten gelben Dreieck. Offen bleibt, ob die Spirale zur Formung des Goldenen Dreiecks verwendet wurde oder ob sie aus einem Goldenen Dreieck bestimmt wurde; beide Vorgehensweisen sind möglich.