Gerade und ungerade Funktionen

Grundidee und Definition

Gerade und ungerade Funktionen sind Klassen reeller Funktionen mit besonderen Symmetrien. Eine gerade Funktion hat einen Graphen, der achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Eine ungerade Funktion hat einen Graphen, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. In der Schulmathematik ist diese Untersuchung oft ein früher Schritt der Kurvendiskussion.

Für eine reelle Funktion f: D -> R muss die Definitionsmenge D bezüglich der Null symmetrisch sein: Wenn x in D liegt, muss auch -x in D liegen. Dann heißt f gerade, wenn für alle x in D gilt: f(-x) = f(x). Sie heißt ungerade, wenn für alle x in D gilt: f(-x) = -f(x).

Typische Beispiele

Beispiele für gerade Funktionen sind die konstante Funktion f(x)=1, die Betragsfunktion f(x)=|x|, die Normalparabel f(x)=x^2, die Kosinusfunktion f(x)=cos(x), die Sekansfunktion f(x)=sec(x) und die Gaußsche Glockenkurve f(x)=exp(-x^2/2).

Beispiele für ungerade Funktionen sind die Vorzeichenfunktion f(x)=sgn(x), die identische Funktion f(x)=x, die kubische Funktion f(x)=x^3, die Sinusfunktion f(x)=sin(x), die Tangensfunktion f(x)=tan(x) und die Gaußsche Fehlerfunktion f(x)=erf(x).

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion f(x)=0.

Erkennungsregeln für Funktionstypen

Bei Potenzfunktionen f(x)=a x^n mit a != 0 entscheidet der Exponent n: Die Funktion ist genau dann gerade, wenn n gerade ist, und genau dann ungerade, wenn n ungerade ist.

Eine Polynomfunktion f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n ist genau dann gerade, wenn alle ungeradzahligen Koeffizienten a1, a3, a5, ... gleich null sind. Sie ist genau dann ungerade, wenn alle geradzahligen Koeffizienten a0, a2, a4, ... gleich null sind.

Ein trigonometrisches Polynom a0+a1 cos(x)+b1 sin(x)+...+an cos(nx)+bn sin(nx) ist genau dann gerade, wenn alle Koeffizienten bi=0 sind. Es ist genau dann ungerade, wenn alle Koeffizienten ai=0 sind.

Zerlegung in gerade und ungerade Anteile

Nicht jede Funktion ist gerade oder ungerade. Ein Beispiel ist f(x)=x+1. Jede Funktion mit einer bezüglich der Null symmetrischen Definitionsmenge D lässt sich aber eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben: f(x)=fg(x)+fu(x).

Der gerade Anteil ist fg(x)=(f(x)+f(-x))/2. Der ungerade Anteil ist fu(x)=(f(x)-f(-x))/2. Diese Zerlegung ist eindeutig, weil die geraden Funktionen und die ungeraden Funktionen jeweils Untervektorräume des Raums aller Funktionen bilden und weil nur die Nullfunktion gleichzeitig gerade und ungerade ist.

Für f(x)=x+1 erhält man fg(x)=((x+1)+(-x+1))/2=1 und fu(x)=((x+1)-(-x+1))/2=x.

Wichtige Rechenregeln

Vielfache erhalten die Symmetrie: Jedes Vielfache einer geraden Funktion ist wieder gerade, und jedes Vielfache einer ungeraden Funktion ist wieder ungerade. Die Summe zweier gerader Funktionen ist gerade; die Summe zweier ungerader Funktionen ist ungerade. Die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion ist im Allgemeinen weder gerade noch ungerade, außer eine der beiden Funktionen ist die Nullfunktion.

Für Produkte gilt: gerade mal gerade ist gerade, ungerade mal ungerade ist gerade, und gerade mal ungerade ist ungerade. Für Quotienten gilt entsprechend: gerade durch gerade ist gerade, ungerade durch ungerade ist gerade, und gerade durch ungerade ist ungerade.

Bei Kompositionen gilt: Die Komposition einer beliebigen Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade. Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.

Analysis und Verallgemeinerungen

In der Analysis haben gerade und ungerade Funktionen nützliche Eigenschaften. Wenn 0 im Definitionsbereich liegt, hat jede ungerade Funktion im Nullpunkt den Funktionswert 0. Die Ableitung einer geraden differenzierbaren Funktion ist ungerade; die Ableitung einer ungeraden differenzierbaren Funktion ist gerade. Das bestimmte Integral einer ungeraden stetigen Funktion ist 0, wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.

Die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt x=0 enthält bei einer geraden Funktion nur gerade Potenzen und bei einer ungeraden Funktion nur ungerade Potenzen. Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion enthält nur Kosinus-Terme, die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion nur Sinus-Terme.

Allgemeiner kann man gerade und ungerade Funktionen auch für Funktionen f: X -> Y zwischen Mengen X und Y definieren, wenn dort eine Verknüpfung mit additiv Inversem gegeben ist, zum Beispiel bei additiven Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen. So lassen sich auch komplexe oder vektorwertige Funktionen als gerade oder ungerade beschreiben. In der mathematischen Physik wird das Konzept durch den Begriff der Parität verallgemeinert, besonders bei Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.