Vorzeichenfunktion

Grunddefinition auf den reellen Zahlen

Die Vorzeichenfunktion, auch Signumfunktion genannt, ordnet einer reellen Zahl ihr Vorzeichen zu. Sie bildet die reellen Zahlen auf die Menge {−1, 0, 1} ab:

sgn(x) = { +1 für x > 0, 0 für x = 0, −1 für x < 0 }.

Positive Zahlen erhalten also den Wert +1, negative Zahlen den Wert −1 und die Zahl 0 den Wert 0. Die Funktion beschreibt damit ausschließlich, auf welcher Seite der 0 eine Zahl liegt, nicht ihre Größe.

Je nach Anwendung kann die Zuordnung für 0 abweichend festgelegt werden. Möglich sind beispielsweise sgn(0) = 1, sgn(0) = −1, sgn(+0) = +1 und sgn(−0) = −1, sgn(0) = ±1 oder sgn(0) = undefiniert. Da die Null eine Nullmenge bezüglich des Lebesgue-Maßes ist, spielt diese unterschiedliche Festlegung in praktischen Anwendungen oft keine Rolle. In der Gleitkommadarstellung wird dem Vorzeichen üblicherweise unabhängig davon ein eigenes Bit zugewiesen.

Falls sgn(0) = 1 gesetzt wird, besteht der Zusammenhang mit der Heaviside-Funktion Θ(x):

sgn(x) = 2Θ(x) − 1.

Wichtige Rechenregeln

Für reelle Zahlen gelten mehrere Regeln, die sich durch Fallunterscheidung überprüfen lassen:

• Jede reelle Zahl lässt sich als x = |x| · sgn(x) schreiben. Umgekehrt gilt x · sgn(x) = |x|.
• Die Signumfunktion ist ungerade, also sgn(−x) = −sgn(x) für alle x ∈ ℝ.
• Ist k ∈ ℝ eine Konstante und f eine ungerade Funktion, gilt f(k · x) = f(sgn(k) · |k| · x) = sgn(k) · f(|k| · x).
• Für x ≠ 0 verändert der Übergang zum Kehrwert das Vorzeichen nicht: sgn(x⁻¹) = (sgn(x))⁻¹ = sgn(x).
• Die Funktion ist mit der Multiplikation verträglich: sgn(x) · sgn(y) = sgn(x · y) für alle x, y ∈ ℝ.
• Sie ist idempotent. Das bedeutet, dass eine erneute Anwendung keinen neuen Wert erzeugt: sgn(sgn(x)) = sgn(x).

Aus der Verträglichkeit mit der Multiplikation und der Idempotenz folgt: In einem Produkt innerhalb der Signumfunktion kann ein Faktor xⱼ durch sein Vorzeichen sgn(xⱼ) ersetzt werden, ohne den Funktionswert zu ändern. Für beliebige reelle xᵢ und xⱼ gilt:

sgn(xⱼ · ∏ᵢ xᵢ) = sgn(sgn(xⱼ) · ∏ᵢ xᵢ).

Stetigkeit, Ableitung und Integral

Die Vorzeichenfunktion ist bei x = 0 nicht stetig. Deshalb ist sie dort auch nicht klassisch differenzierbar. An allen anderen Stellen x ≠ 0 ist sie konstant und somit differenzierbar; dort gilt sgn′(x) = 0.

Eine schwache Ableitung besitzt die Vorzeichenfunktion nicht. Im Sinne der Distributionen ist sie jedoch differenzierbar. Ihre Ableitung ist 2δ, wobei δ die Delta-Distribution bezeichnet.

Für alle reellen x gilt außerdem:

|x| = ∫₀ˣ sgn(t) dt.

Die Betragsfunktion entsteht also als Integral der Vorzeichenfunktion. Umgekehrt ist die Vorzeichenfunktion die schwache Ableitung der Betragsfunktion. Dabei bezeichnet |x| den Betrag einer reellen Zahl, also ihren nichtnegativen Abstand von 0.

Erweiterung auf komplexe Zahlen

Eine Erweiterung der Vorzeichenfunktion auf komplexe Zahlen wird seltener betrachtet. Für z ∈ ℂ ist sie definiert durch:

sgn(z) = { z/|z| für z ≠ 0, 0 für z = 0 }.

Für z ≠ 0 liegt der Funktionswert auf dem Einheitskreis und hat dasselbe Argument wie z. Schreibt man eine komplexe Zahl in Polarform als z = r eⁱφ mit r > 0, dann gilt:

sgn(r eⁱφ) = eⁱφ.

Die Funktion entfernt somit den Betrag und behält die Richtung beziehungsweise das Argument der komplexen Zahl bei.

Beispiel: Für z₁ = 2 + 2i ist |z₁| = 2√2. Daher gilt:

sgn(2 + 2i) = (2 + 2i)/(2√2) = (1 + i)/√2 = √2/2 + (√2/2)i.

Rechenregeln im Komplexen

Für komplexe Zahlen z und w gelten folgende Regeln:

• Es gilt z = |z| · sgn(z), wobei |z| der Betrag von z ist.
• Die komplexe Konjugation wird berücksichtigt durch sgn(z̄) = sgn(z)̄. Der Querstrich bezeichnet die komplexe Konjugation.
• Die Funktion ist multiplikativ: sgn(z · w) = sgn(z) · sgn(w).
• Für eine positive reelle Zahl λ gilt sgn(λ · z) = sgn(z); für eine negative reelle Zahl λ gilt sgn(λ · z) = −sgn(z).
• Insbesondere gilt sgn(−z) = −sgn(z).
• Für den Betrag des Funktionswertes gilt sgn(|z|) = |sgn(z)| = 1 für z ≠ 0 und 0 für z = 0.
• Falls z ≠ 0 ist, gilt für den Kehrwert: sgn(z⁻¹) = sgn(z)⁻¹ = sgn(z)̄.

Damit überträgt die komplexe Vorzeichenfunktion die wichtigsten Eigenschaften der reellen Funktion auf die Richtung einer komplexen Zahl. Bei reellen positiven Zahlen liefert sie 1, bei reellen negativen Zahlen −1 und bei 0 den Wert 0.