Kubische Funktion

Definition und Grundidee

Eine kubische Funktion ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades auf den reellen Zahlen. Ihre Funktionsgleichung kann in der Form f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d geschrieben werden, wobei a,b,c,d\in \mathbb{R} gelten und a\neq 0 sein muss. Der Koeffizient a heißt führender Koeffizient; er bestimmt unter anderem das Verhalten des Graphen im Unendlichen.

Kubische Funktionen können als reelle Polynomfunktionen von Polynomen über \mathbb{R} verstanden werden. Ihr Graph heißt auch kubische Parabel. Typisch für kubische Funktionen ist, dass sie mindestens eine reelle Nullstelle besitzen, höchstens drei reelle Nullstellen haben können und genau einen Wendepunkt besitzen, zu dem der Graph punktsymmetrisch ist.

Verhalten, Nullstellen und Diskriminante

Da kubische Funktionen ganzrationale Funktionen ungeraden Grades sind, gehen ihre Funktionswerte für große positive und negative x-Werte in entgegengesetzte Richtungen. Ist a>0, gilt \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty und \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty. Ist a<0, gilt \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty und \lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty.

Weil eine kubische Funktion als Polynomfunktion stetig ist, folgt aus diesem Verhalten im Unendlichen und dem Zwischenwertsatz, dass sie immer mindestens eine reelle Nullstelle hat. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann aber nicht mehr als n Nullstellen besitzen. Deshalb hat eine kubische Funktion in \mathbb{R} mindestens eine und maximal drei Nullstellen.

Zur Klassifikation der Nullstellen dient die Diskriminante der allgemeinen kubischen Funktion f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d: D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd. Für D>0 existieren drei verschiedene reelle Nullstellen. Für D<0 gibt es nur eine reelle Nullstelle. Für D=0 gibt es entweder eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle oder eine dreifache reelle Nullstelle.

Zum Auffinden von Nullstellen verweist der Artikel auf die kubische Gleichung und die Cardanischen Formeln. Wenn der Funktionsgraph genau eine reelle Nullstelle besitzt, kann diese mit einer kubischen Nullstellenformel bestimmt werden; dabei ist der Ausdruck unter der Quadratwurzel positiv. Numerisch lassen sich Nullstellen zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren finden.

Monotonie, Extrema und Wendepunkt

Kubische Funktionen sind als Polynomfunktionen beliebig oft differenzierbar. Ihre erste Ableitung lautet f'(x)=3ax^{2}+2bx+c. Diese Ableitung ist eine quadratische Funktion und hilft zu entscheiden, ob die kubische Funktion lokale Extrempunkte besitzt.

Ist die Diskriminante der Ableitung 4b^{2}-12ac positiv, also b^{2}>3ac, dann besitzt f genau ein lokales Maximum und genau ein lokales Minimum. Ein lokales Maximum ist ein Punkt, an dem die Funktion in einer Umgebung ihren größten Wert annimmt; ein lokales Minimum entsprechend einen kleinsten Wert in einer Umgebung. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, ist f streng monoton. Für a>0 ist sie dann streng monoton wachsend, für a<0 streng monoton fallend.

Jede kubische Funktion besitzt genau einen Wendepunkt (x_{W};f(x_{W})). Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Die Wendestelle ist x_{W}=-\frac{b}{3a}. Sie ist die eindeutig bestimmte Nullstelle der zweiten Ableitung f''(x)=6ax+2b. Der Graph einer kubischen Funktion ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

Normalform und typische Fälle

Durch Verschiebung und Umskalierung lässt sich jede kubische Funktion in die Normalform g(u)=u^{3}+ku bringen, wobei k\in\{-1,0,1\} gilt. Diese Normalform zeigt, welche grundlegenden Formen kubische Funktionen haben können.

Für k=-1 besitzt der Graph von g zwei Extrempunkte. Für k=0 fallen die Extrempunkte zu genau einem Sattelpunkt zusammen. Ein Sattelpunkt ist hier ein besonderer Punkt, an dem die Steigung verschwindet, ohne dass ein lokales Maximum oder Minimum entsteht. Für k=1 besitzt der Graph weder Extrema noch Sattelpunkt, weil die Ableitung auf dem gesamten Definitionsbereich positiv ist.

Die Transformation auf Normalform verändert die Existenz von Extrempunkten nicht. Daher gilt diese Einteilung auch für die ursprüngliche Funktion f. Der Koeffizient k ist das entgegengesetzte Vorzeichen der Diskriminante der Ableitung der ursprünglichen Funktion.

Darstellungen und Beispiel

Kubische Funktionen können in einer Nullpunktform dargestellt werden, zum Beispiel als f(x)=(x+a)(x+b)(x+c). Im Artikel werden a, b und c dabei geometrisch als Seiten eines Quaders gedeutet. In der erweiterten Form f(x)=mx^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+ac+bc)x+abc entspricht der Faktor vor x^{3} der Quaderzahl oder dem Anteil eines Quaders, der Faktor vor x^{2} der Seitensumme, der Faktor vor x der Hälfte einer Quaderoberfläche und die Konstante einem Quadervolumen.

Analog zur Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion kann mithilfe der kubischen Ergänzung eine Wendepunktform aufgestellt werden: f(x)=\left(x+\frac{a+b+c}{3}\right)^{3}+dx+e. Als Beispiel nennt der Artikel f(x)=x^{3}+9x^{2}+20x+12. Diese Funktion wird umgeformt zu (x+3)^{3}-7x-15, also 7x+15=(x+3)^{3}. Daraus wird als erste Nullstelle x=-3+2=-1 angegeben. Der Wendepunkt wird mit \frac{-3}{f(-3)} angegeben. Außerdem gelten b+c=8=p und bc=12=q; durch quadratische Ergänzung ergeben sich die zweite und dritte Nullstelle x=-3+1=-2 und x=-3-3=-6.

Kubische Polynome und Kurven

Über einem beliebigen Ring R nennt man Ausdrücke der Form ax^{3}+bx^{2}+cx+d\in R[x] mit a,b,c,d\in R und a\neq 0 kubische Polynome über R. Formal sind sie Elemente des Polynomrings vom Grad 3 und definieren Abbildungen von R nach R. Für R=\mathbb{R} handelt es sich um kubische Funktionen im oben beschriebenen Sinn.

Ist R ein algebraisch abgeschlossener Körper, zerfällt jedes kubische Polynom als Produkt dreier Linearfaktoren. Allgemeiner gibt es kubische Polynome in n Variablen. Sie haben die Form \sum_{i,j,k=1}^{n}a_{i,j,k}x_{i}x_{j}x_{k}+\sum_{i,j=1}^{n}b_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{i=1}^{n}c_{i}x_{i}+d\in R[x_{1},\ldots,x_{n}], wobei nicht alle a_{i,j,k} Null sein sollen. Solche Polynome definieren Abbildungen von R^{n} nach R. Ihre Nullstellenmengen heißen für n=2 kubische Kurven, falls die Kurve keine Singularitäten hat elliptische Kurven, und für n=3 kubische Flächen.