Geometrischer Schwerpunkt

Grundidee und Bedeutung

Der geometrische Schwerpunkt einer geometrischen Figur ist ein besonderer Punkt, der auch bei unsymmetrischen Figuren als eine Art Mittelpunkt verstanden werden kann. Mathematisch entsteht er durch die Mittelung aller Punkte der Figur. Je nach Art der Figur spricht man genauer vom Linienschwerpunkt bei Linien, vom Flächenschwerpunkt bei Flächen und vom Volumenschwerpunkt bei Körpern.

Der geometrische Schwerpunkt entspricht dem Massenmittelpunkt eines physikalischen Körpers aus homogenem Material, also aus Material mit überall gleicher Dichte. Deshalb kann man ihn bei geeigneten Modellen auch mechanisch durch Balancieren bestimmen. Diese Idee wird zum Beispiel bei geografischen Mittelpunkten von Kontinenten oder Ländern verwendet. Für geografische Mitten gibt es allerdings manchmal auch eine andere Definition: der Ort der Halbierenden der Erstreckung in geografischer Länge und Breite.

Der Schwerpunkt muss nicht innerhalb des Objekts liegen. Bei konkav begrenzten Linien, Flächen oder Körpern, etwa bei einer sehr schlanken Mondsichel oder einer Sichel, kann er außerhalb der Figur liegen. Bei achsensymmetrischen oder rotationssymmetrischen Figuren liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse. Bei Figuren mit mehreren Symmetrieachsen oder bei punktsymmetrischen Objekten, etwa Quadrat oder Kreis, liegt er im Schnittpunkt der Symmetrieachsen, also im Mittelpunkt.

Schwerpunkt endlich vieler Punkte

Für endlich viele paarweise verschiedene Punkte x_1, ..., x_m in einem reellen Vektorraum ist der geometrische Schwerpunkt s als arithmetisches Mittel definiert:

s := (1/m) · Summe von x_i für i = 1 bis m.

Bei einem k-dimensionalen Simplex Δ im R^n mit Eckpunkten v_0, ..., v_k ist der Schwerpunkt s_Δ entsprechend der Mittelwert seiner Eckpunkte:

s_Δ = (1/(k+1)) · Summe von v_i für i = 0 bis k.

Ein Simplex ist eine Verallgemeinerung von Strecke, Dreieck und Tetraeder. Der Schwerpunkt eines solchen Simplexes hat in Bezug auf das Simplex gleiche baryzentrische Koordinaten, nämlich jeweils 1/(k+1). Baryzentrische Koordinaten beschreiben einen Punkt als gewichtete Mischung der Eckpunkte.

Wenn die betrachteten Punkte alle Eckpunkte einer geometrischen Figur sind, heißt ihr Schwerpunkt Eckenschwerpunkt. Beispiele sind Strecke, Dreieck und Tetraeder. Bei Vierecken gilt nach Pierre de Varignon (1654–1722): Der Eckenschwerpunkt eines Vierecks ist zugleich der Mittelpunkt der beiden Mittellinien, also der Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte.

Linien und ebene Figuren

Bei Linien ist der Schwerpunkt der Mittelwert entlang der Linie. Der Schwerpunkt einer Strecke liegt genau in ihrer Mitte. Bei einem Kreisbogen kann man den Schwerpunkt berechnen, wenn der Bogen so liegt, dass die y-Achse Symmetrieachse ist und der Kreismittelpunkt im Ursprung liegt. Dann gilt x_s = 0 und y_s = (2r^2 sin α)/b = r · l/b. Dabei ist r der Radius, b die Bogenlänge und l die Sehnenlänge; es gilt 0 < α ≤ π. Für α = 0 versagt die Formel, für kleine Winkel wird der Grenzwert verwendet.

Bei ebenen Flächen kann der Schwerpunkt praktisch bestimmt werden, indem man die Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine Schwerelinie, einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerelinien ist der Schwerpunkt. Bei Vielecken unterscheidet man Flächenschwerpunkt, Kantenschwerpunkt und Eckenschwerpunkt. Der Flächenschwerpunkt gehört zu einer homogenen Fläche konstanter Dicke. Der Kantenschwerpunkt gehört zu einer Figur, die nur aus ihrer Umrandung besteht, etwa dünnen Stangen oder Draht. Der Eckenschwerpunkt gehört zu einem Modell, bei dem die Masse nur in den Ecken liegt.

Beim Dreieck fallen Eckenschwerpunkt und Flächenschwerpunkt zusammen. Der Schwerpunkt S ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden und teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Außerdem teilt er das Dreieck durch Verbindungsstrecken zu den Eckpunkten in drei Teildreiecke gleichen Flächeninhalts. Sind die Eckpunkte A, B und C mit kartesischen Koordinaten bekannt, dann gilt x_s = (1/3)(x_A + x_B + x_C) und y_s = (1/3)(y_A + y_B + y_C). Seine normierten baryzentrischen Koordinaten sind (1/3 : 1/3 : 1/3). Der Kantenschwerpunkt eines Dreiecks ist der Spieker-Punkt.

Für Trapeze, Polygone und unregelmäßige Vierecke gibt es eigene Konstruktions- und Rechenverfahren. Beim Trapez kann eine Schwerelinie durch Halbieren der beiden parallelen Seiten gefunden werden. Bei einem nicht überschlagenen, geschlossenen Polygon mit N Eckpunkten kann der Flächeninhalt A mit der Gaußschen Dreiecksformel berechnet werden; daraus folgen Summenformeln für x_s und y_s. Der Schwerpunkt eines regelmäßigen Polygons ist der Mittelpunkt seines Umkreises. Bei einem unregelmäßigen Viereck kann man die Diagonalen nutzen, das Viereck in Dreiecke zerlegen und die Verbindungslinien der Dreiecksschwerpunkte schneiden lassen.

Kreis-, Parabel- und Körperformen

Für Kreisausschnitte und Kreisabschnitte gibt es spezielle Formeln. Bei einem Kreisausschnitt mit Symmetrieachse auf der y-Achse und Kreismittelpunkt im Ursprung gilt für den Schwerpunkt im Bogenmaß y_s = (2r sin α)/(3α) = (2rl)/(3b), mit 0 < α ≤ π. Bei einem Kreisabschnitt kann der Flächenschwerpunkt näherungsweise berechnet werden, wenn der Mittelpunkt der Verbindungslinie der Endpunkte im Ursprung liegt. Für h < r liegt der Schwerpunkt näherungsweise etwas oberhalb von z_s ≈ 2h/5. Bei h = r, also beim Halbkreis, liegt er exakt bei 4r/(3π).

Beim Parabelsegment kann der Schwerpunkt auch konstruktiv mit Zirkel und Lineal bestimmt werden. Dabei wird die Höhe |AB| betrachtet, unabhängig davon, ob die Grundlinie senkrecht oder schräg zur Hauptachse der Parabel verläuft. Für den Schwerpunkt S wird die Höhe im Verhältnis |BS| : |SA| = 3 : 2 geteilt.

Bei dreidimensionalen Körpern unterscheidet man den Volumenschwerpunkt des Vollkörpers und den Flächenschwerpunkt der begrenzenden Oberfläche. Bei Pyramide und Kegel wird das Koordinatensystem so gewählt, dass der Schwerpunkt der Grundfläche im Ursprung liegt und die y-Achse durch die Spitze geht. Dann liegt der Volumenschwerpunkt bei x_s = 0, y_s = h/4, z_s = 0; der Flächenschwerpunkt der Mantelfläche liegt bei x_s = 0, y_s = h/3, z_s = 0.

Beim Rotationsparaboloid mit Grundflächenschwerpunkt im Ursprung gilt für den Volumenschwerpunkt x_s = 0, y_s = h/3, z_s = 0. Der Flächenschwerpunkt der Mantelfläche hat ebenfalls x_s = z_s = 0, für y_s wird eine Integralformel angegeben. Für das Verhältnis f/h gilt: Ab (f/h) ≳ 3 strebt y_s gegen h/2, sonst gegen 2h/5. Bei einem Kugelsegment mit Kugelmittelpunkt im Ursprung gilt für den Volumenschwerpunkt x_s = 0, y_s = 3(2r-h)^2/[4(3r-h)], z_s = 0 und für den Flächenschwerpunkt x_s = 0, y_s = r - h/2, z_s = 0, mit 0 ≤ h ≤ 2r.

Rechnen mit Schwerpunkten

Schwerpunkte zusammengesetzter Figuren können aus den Schwerpunkten einzelner einfacher Teile berechnet werden. Dabei werden die Teil-Schwerpunkte gewichtet: bei Linien mit ihren Längen l_i, bei Flächen mit ihren Flächeninhalten A_i und bei Körpern mit ihren Volumen V_i. Zum Beispiel gilt bei einer ebenen zusammengesetzten Fläche:

x_s = Summe(x_s,i · A_i) / Summe(A_i), y_s = Summe(y_s,i · A_i) / Summe(A_i).

Bei Körpern werden entsprechend x_s, y_s und z_s mit den Volumen V_i gewichtet. Allgemein kann man den Schwerpunktvektor schreiben als r_s = Summe(r_s,i · V_i) / Summe(V_i). Alle Koordinaten müssen in einem frei wählbaren, aber einheitlichen kartesischen Koordinatensystem angegeben werden. Aussparungen in Flächen oder Körpern können einbezogen werden, indem ihre Flächeninhalte oder Volumen mit negativem Vorzeichen eingehen.

Die allgemeine mathematische Definition verwendet Integrale, also kontinuierliche Summen. Für eine Linie C der Länge L gilt x_S = (1/L) ∫_C x ds, y_S = (1/L) ∫_C y ds, z_S = (1/L) ∫_C z ds, mit L = ∫_C ds. Für eine Fläche F mit Flächeninhalt A gilt x_S = (1/A) ∫_F x dA, y_S = (1/A) ∫_F y dA, z_S = (1/A) ∫_F z dA. Für einen Körper K mit Volumen V gilt x_S = (1/V) ∫_K x dV, y_S = (1/V) ∫_K y dV, z_S = (1/V) ∫_K z dV.

Bei symmetrischen Objekten vereinfacht sich die Integration, weil der Schwerpunkt im Symmetrieelement liegt. Für ebene Flächen zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) mit a < x < b und g(x) < y < f(x) gibt es außerdem die Formeln x_s = [∫_a^b x(f(x)-g(x)) dx] / [∫_a^b (f(x)-g(x)) dx] und y_s = [∫_a^b (f(x)^2-g(x)^2) dx] / [∫_a^b 2(f(x)-g(x)) dx].

Ein Beispiel ist die Fläche zwischen der Parabel y = x^2 - 4 und der x-Achse. Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen -2 und 2. Der Flächeninhalt ist A = |∫_-2^2 (x^2 - 4) dx| = 32/3. Wegen der Symmetrie ist x_s = 0; die Rechnung ergibt y_s = -1,6. Der Schwerpunkt liegt also bei (0; -1,6).