Wachstumsfaktor (Mathematik)

Grundidee

Der Wachstumsfaktor ist der konstante Quotient q aus zwei aufeinander folgenden Gliedern einer geometrischen Folge. Eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der man von einem Glied zum nächsten immer mit demselben Faktor multipliziert. Der Begriff wird besonders verwendet, wenn die Folge einen realen exponentiellen Wachstumsprozess beschreibt.

Bei der Verzinsung von Kapital oder Schulden heißt der Wachstumsfaktor auch Zinsfaktor. Ist q>1, spricht man umgangssprachlich von Wachstum; in der Finanzmathematik heißt der Faktor dann Aufzinsungs- oder Askontierungsfaktor. Ein Wachstum um 100 % entspricht q=2, also einer Verdopplung. Ein Wachstum um 200 % entspricht q=3, also einer Verdreifachung. Liegt 0<q<1, spricht man von negativem Wachstum, also einer Abnahme. In der Finanzmathematik heißt der Faktor dann Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor. Bei geometrischen Folgen mit negativem q ist die Bezeichnung Wachstumsfaktor nicht gebräuchlich.

Berechnung aus Folgengliedern

Aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern a_n und a_{n+1} einer geometrischen Folge berechnet man den Wachstumsfaktor mit

q = a_{n+1} / a_n.

Beispiel: Für die Folge a_0=5, a_1=15, a_2=45, a_3=135, … kann man etwa a_1 und a_2 verwenden. Dann gilt q = a_2 / a_1 = 45 / 15 = 3. Jedes Glied ist also dreimal so groß wie das vorherige.

Berechnung über größere Abstände

Wenn zwei beliebige Glieder a_n und a_{n+i} mit dem Abstand i>0 bekannt sind, berechnet man q mit

q = ⁱ√(a_{n+i} / a_n) = (a_{n+i} / a_n)^{1/i}.

Beispiel: Bei a_0=5 und a_3=135 ist der Abstand i=3. Es gilt q = (a_3 / a_0)^{1/3} = (135 / 5)^{1/3} = 3.

Wenn die Glieder zu einer fehlerbehafteten Folge mit exponentiellem Wachstum gehören, bestimmt diese Rechnung den mittleren, also geometrischen, Wachstumsfaktor zwischen den betrachteten Gliedern. Beispiel: Für a_0=5+1, a_1=15-2, a_2=45+1, a_3=135-1 ergibt sich mit a_0=6 und a_3=134 der mittlere Wachstumsfaktor q = (134 / 6)^{1/3} ≈ 2,82.

Zusammenhang mit Wachstumsrate

Ist die Wachstumsrate p bekannt, dann gilt für den Wachstumsfaktor

q = 1 + p.

Bei einem prozentualen Wachstum muss der Prozentwert zuerst durch 100 geteilt werden. Beispiel: Eine Wachstumsrate von p=0,1 entspricht einem Wachstum von 10 %. Dann ist q = 1 + 0,1 = 1,1. Mit Prozentangabe rechnet man entsprechend q = 1 + 10/100 = 1,1.

Negatives Wachstum

Für q zwischen 0 und 1 liegt negatives Wachstum vor. Das bedeutet eine Abnahme, weil die Wachstumsrate p dann negativ ist. Finanzmathematisch ist q in diesem Fall der Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor, der üblicherweise mit v bezeichnet wird.

Der zugehörige Zinsfuß wird im Artikel mit

p* = (-100 · p) / (100 + p)

angegeben. Beispiel: Bei einem negativen Wachstum von -20 % ist q=0,8 und der Zinsfuß p*=25. Zu diesem Zinsfuß gehören der Askontierungsfaktor q*=1,25 und der Diskontierungsfaktor v*=0,8.