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Bernoullische Ungleichung
In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten …
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Kernaussage
Die bernoullische Ungleichung ist eine wichtige Abschätzung für Potenzen: Sie ersetzt die Potenzfunktion von unten durch eine einfache lineare Funktion. Für jede reelle Zahl x ≥ −1 und jede ganze Zahl n ≥ 0 gilt
(1+x)^n ≥ 1+nx.
Anschaulich liegt der Graph von f(x)=(1+x)^n für x ≥ −1 oberhalb oder auf dem Graphen von g(x)=1+n·x. Die Ungleichung ist nach Jakob I Bernoulli benannt.
Beweis durch Induktion
Vollständige Induktion zeigt die Aussage für alle n ∈ ℕ₀. Beim Induktionsanfang n=0 gilt
(1+x)^0=1 ≥ 1=1+0x.
Als Induktionsvoraussetzung nehme man (1+x)^n ≥ 1+nx an. Da x ≥ −1 und damit 1+x ≥ 0 ist, darf mit 1+x multipliziert werden:
(1+x)^(n+1)=(1+x)^n(1+x) ≥ (1+nx)(1+x) =1+x+nx+nx² ≥ 1+x+nx=1+(n+1)x.
Damit folgt die Ungleichung für alle n ∈ ℕ₀. Für x ≥ 0 ergibt sich sie auch aus dem binomischen Lehrsatz: In (1+x)^n=1+nx+ n(n−1)/2·x²+… sind alle weiteren Terme nicht negativ.
Verallgemeinerungen
Für x>−1, x≠0 und natürliche Zahlen n ≥ 2 gilt die strikte Form
(1+x)^n > 1+nx.
Für reelle Exponenten r gilt bei x>−1:
(1+x)^r ≥ 1+rx, wenn r ≥ 1 oder r ≤ 0; (1+x)^r ≤ 1+rx, wenn 0 ≤ r ≤ 1.
Bei unterschiedlichen Faktoren gilt
∏ᵢ₌₁ⁿ(1+xᵢ) > 1+∑ᵢ₌₁ⁿxᵢ,
falls für alle i entweder −1<xᵢ<0 gilt oder xᵢ>0 gilt und n ≥ 2. Mit uᵢ:=−xᵢ und 0 ≤ uᵢ ≤ 1 erhält man die Weierstraß-Produkt-Ungleichung
∏ᵢ₌₁ⁿ(1−uᵢ) ≥ 1−∑ᵢ₌₁ⁿuᵢ.
Grenzwerte und Exponentialfunktion
Für a ≥ 1 lässt sich zeigen:
limₙ→∞ ⁿ√a=1.
Dazu wird ⁿ√a=1+xₙ mit xₙ ≥ 0 gesetzt. Aus a=(1+xₙ)^n ≥ 1+nxₙ folgt
(a−1)/n ≥ xₙ ≥ 0.
Weil (a−1)/n gegen 0 geht, gilt auch xₙ→0 und daher ⁿ√a→1.
Für festes x ∈ ℝ ist x/n für hinreichend großes n mindestens −1. Daher gilt
(1+x/n)^n ≥ 1+x.
Mit e^x=limₙ→∞(1+x/n)^n folgt die wichtige Abschätzung
1+x ≤ e^x für alle x ∈ ℝ.
Abschätzen von Potenzen
Die Ungleichung hilft beim Nachweis, dass q^n gegen 0 konvergiert, wenn 0<q<1. Für ein vorgegebenes ε>0 soll ein N ∈ ℕ mit q^N<ε gefunden werden. Äquivalent dazu ist
(1/q)^N > 1/ε.
Setzt man 1+x=1/q, dann ist x>0 und die Bernoulli-Ungleichung liefert
(1/q)^N=(1+x)^N ≥ 1+N·x.
Es genügt also, N so zu wählen, dass 1+N·x>1/ε. Die Existenz eines solchen N folgt aus dem archimedischen Axiom. So wird kein Logarithmus benötigt. Außerdem kann mit einer Abschätzung durch die Bernoulli-Ungleichung die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel per vollständiger Induktion bewiesen werden; beide Ungleichungen sind äquivalent.