Formelsammlung Geometrie

Grundbegriffe und Winkelregeln

Die Formelsammlung behandelt die euklidische Geometrie, also Geometrie in der Ebene und im Raum. Punkte werden meist mit lateinischen Großbuchstaben wie A, B, C bezeichnet, Linien wie Geraden, Strecken und Bögen mit Kleinbuchstaben wie a, b, c. Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben wie α, β, γ bezeichnet. Winkelangaben erfolgen im Gradmaß.

Wichtige Regeln für Winkel:

• Nebenwinkel ergeben zusammen 180°: α + β = 180°.
• Scheitelwinkel sind gleich groß: α = β.
• Stufenwinkel und Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind jeweils gleich groß.
• In einem Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
• Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.
• In einem n-Eck beträgt die Innenwinkelsumme (n − 2) · 180°.
• Die Außenwinkelsumme eines konvexen n-Ecks beträgt unabhängig von n immer 360°.

Für die Teilung einer Strecke AB in n gleiche Teile wird ein beliebiger, nicht zu AB paralleler Strahl durch A gezeichnet. Auf ihm werden n gleich lange Abschnitte abgetragen. Der letzte Punkt C wird mit B verbunden. Durch die übrigen Teilungspunkte zeichnet man Parallelen zu BC. Ihre Schnittpunkte mit AB teilen AB nach dem Strahlensatz in n gleiche Teile.

Flächen und Umfänge ebener Figuren

Bei einem Dreieck liegen die Eckpunkte A, B, C, die Seiten a, b, c jeweils gegenüber den gleich bezeichneten Ecken und die Winkel α, β, γ in diesen Ecken. Für ein allgemeines Dreieck gilt:

• Fläche: A = ½gh = ½bc sin α = abc/(4R) = k·r = √(k(k−a)(k−b)(k−c)). Die letzte Formel heißt Satz des Heron. Dabei ist k der halbe Umfang, R der Umkreisradius und r der Inkreisradius.
• Umfang: U = a + b + c.

Spezielle Dreiecke:

• Gleichseitiges Dreieck: A = ¼a²√3, U = 3a. Alle Seiten sind gleich lang, alle Winkel betragen 60°. Höhenlinien, Symmetrieachsen, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Mittennormalen fallen zusammen.
• Gleichschenkliges Dreieck: A = ½c√(a² − ¼c²), U = 2a + c. Die Schenkel a und b sind gleich lang, c ist die Basis. Die Basiswinkel α und β sind gleich groß; die Höhe durch C halbiert γ und die Basis c.
• Rechtwinkliges Dreieck: A = ½ab, U = a + b + c. γ = α + β = 90°. Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber; die Katheten bilden den rechten Winkel.

Für Vierecke gelten unter anderem:

• Quadrat: A = a², U = 4a, Diagonale d = a√2.
• Rechteck: A = ab, U = 2(a + b), Diagonale d = √(a² + b²).
• Raute: A = ½ef = a² sin α, U = 4a; e und f sind die Diagonalen.
• Parallelogramm: A = a·hₐ, U = 2(a + b), wobei hₐ die Höhe auf a ist.
• Trapez: A = m·h = ½(a + c)h, U = a + b + c + d. a und c sind parallel, m = ½(a + c) ist die Mittellinie.
• Symmetrischer Drachen: A = ½ef, U = 2(a + b).
• Sehnenviereck: A = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)) sowie A = e(ab + cd)/(4R) oder A = f(ad + bc)/(4R). Es besitzt einen Umkreis; s ist der halbe Umfang.
• Tangentenviereck: A = r(a + c) = r(b + d), U = a + b + c + d. Für die Seiten gilt a + c = b + d; r ist der Inkreisradius.

Für ein regelmäßiges n-Eck mit Umkreisradius rᵤ, Inkreisradius rᵢ und Seitenlänge lₖ gelten: A = n·rᵤ²·sin(360°/n)/2 = n·rᵢ²·tan(180°/n) = n·lₖ²·cot(180°/n)/4. Der Umfang ist U = 2n·rᵤ·sin(180°/n) = 2n·rᵢ·tan(180°/n) = n·lₖ.

Für Kreisfiguren gilt:

• Kreis: A = πr² = ¼πd², U = 2πr = πd; π = 3,14159… ist die Kreiszahl.
• Kreisring: A = π(R² − r²), U = 2π(R + r); R und r sind Außen- und Innenradius.
• Kreisausschnitt: A = πr²·α/360° = ½r²φ = ½br. Die Bogenlänge ist b = πr·α/180° = rφ und φ = απ/180°.
• Kreisabschnitt: A = ½r²(φ − sin φ), mit φ = απ/180°.

Dreiecke und ihre wichtigsten Sätze

In der Dreiecksgeometrie gibt es mehrere ausgezeichnete Punkte und Linien:

• Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt S. Sie teilen einander im Verhältnis 2:1 und zerlegen die Dreiecksfläche jeweils in zwei gleich große Teilflächen.
• Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises.
• Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.
• Die Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt H. Die Höhe h꜀ ist der Normalabstand von C zur Seite c; der rechte Winkel liegt am Fußpunkt D.

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a und b, Hypotenuse c sowie Hypotenusenabschnitten p und q gilt die Satzgruppe des Pythagoras:

• Satz des Pythagoras: a² + b² = c². Das Quadrat über der Hypotenuse ist flächengleich zur Summe der Quadrate über den Katheten.
• Kathetensatz: a² = p·c und b² = q·c. Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich zum Rechteck aus der Hypotenuse und der zugehörigen Projektion auf die Hypotenuse.
• Höhensatz: h² = p·q. Das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse ist flächengleich zum Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite ist.

Kongruente beziehungsweise deckungsgleiche Dreiecke stimmen in mindestens einem der folgenden Kriterien überein: drei Seiten (sss), zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws), zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw) oder einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw).

Dreiecke sind ähnlich, wenn drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben, zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und der eingeschlossene Winkel gleich ist, zwei Seitenverhältnisse sowie die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen oder zwei Winkel gleich sind.

Die Strahlensätze beschreiben Streckenverhältnisse bei zwei Strahlen, die von einem Scheitelpunkt ausgehen und von zwei parallelen Geraden geschnitten werden: Entsprechende Strahlenabschnitte stehen im gleichen Verhältnis. Außerdem stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte auf demselben Strahl.

Körper und Raumformeln

Für Körper werden das Volumen V und die Oberfläche O angegeben. Bei einem allgemeinen Prisma mit Grundfläche Aᴳ, Mantelfläche Aᴹ und Höhe h gilt V = Aᴳh und O = 2Aᴳ + Aᴹ. Für ein Parallelepiped gilt V = Gh und O = 2(ahₐ + bhᵦ + ch꜀). Für einen Quader gelten V = abc, O = 2(ab + ac + bc) und Raumdiagonale √(a² + b² + c²).

Bei Säulen und Kegeln:

• Zylinder: V = πr²h, O = 2πr(r + h).
• Hohlzylinder: V = πh(R² − r²) = πh(R + r)(R − r), O = 2π((R + r)h + R² − r²). R und r sind Außen- und Innenradius; die Mantelflächen sind außen 2πRh und innen 2πrh.
• Allgemeine Pyramide: V = ⅓Aᴳh, O = Aᴳ + Aᴹ.
• Pyramidenstumpf: V = ⅓h(Aᴳ + √(AᴳAᴰ) + Aᴰ), O = Aᴳ + Aᴰ + Aᴹ. Aᴰ bezeichnet die Deckfläche.
• Gerader Kreiskegel: V = ⅓πr²h; für senkrechte Kegel O = rπ(r + s). Seitenhöhe s, Radius r und Höhe h erfüllen s² = r² + h².
• Gerader Kegelstumpf: V = ⅓πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²), O = πr₂² + πr₁² + πs(r₁ + r₂). Dabei ist s = √((r₂ − r₁)² + h²).

Die fünf platonischen Körper haben folgende Formeln:

• Tetraeder: V = ¹⁄₁₂a³√2, O = a²√3.
• Würfel (Hexaeder): V = a³, O = 6a², Raumdiagonale a√3.
• Oktaeder: V = ⅓a³√2, O = 2a²√3.
• Dodekaeder: V = ¼a³(15 + 7√5), O = 3a²√(25 + 10√5).
• Ikosaeder: V = ⁵⁄₁₂a³(3 + √5), O = 5a²√3.

Für die Kugel gilt V = ⁴⁄₃πr³ = ¹⁄₆πd³ und O = 4πr² = πd². Für eine Kugelkalotte ist die Oberfläche 2rπh. Für ein Kugelsegment gilt V = (h²π/3)(3r − h) und O = 2rπh + ρ²π mit ρ² = h(2r − h). Für eine Kugelzone gelten V = ⅙πh(3a² + 3b² + h²) und O = π(2rh + a² + b²); 2a und 2b sind die Durchmesser der unteren beziehungsweise oberen Schnittkreise.

Beim Ellipsoid mit Halbachsen a, b, c gilt V = ⁴⁄₃πabc. Beim Torus gelten V = 2π²Rr² und O = 4π²Rr.

Kegelschnitte und weiterführende Bereiche

Zu den ebenen Kegelschnitten gehören Ellipse, Hyperbel und Parabel:

• Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant 2a ist. Ihre Fläche beträgt A = πab = ¼πDd. Der Umfang wird durch ein elliptisches Integral beschrieben: U = 4a∫₀^(π/2)√(1 − ε²(sin t)²) dt = 4aE(ε). In kartesischen Koordinaten gilt x²/a² + y²/b² = 1; D und d sind großer und kleiner Durchmesser.
• Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Sie besitzt keine geschlossene Fläche und keine geschlossene Kurve. Ihre Gleichung lautet x²/a² − y²/b² = 1.
• Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und zu einer festen Geraden, der Leitgeraden l, konstant ist. Ihre kartesische Gleichung lautet y² = 2px.

Die Formelsammlung verweist für Trigonometrie auf eine eigene Formelsammlung Trigonometrie und für Vektoren, Geraden und Ebenen auf die Formelsammlung zur analytischen Geometrie. Als ergänzende Themen werden außerdem der Eulersche Polyedersatz und das Prinzip von Cavalieri genannt.